Modelagem e Simulao de Sistemas Enrique Ortega Laboratrio

Modelagem e Simulação de Sistemas Enrique Ortega Laboratório de Engenharia Ecológica e Informática Aplicada Faculdade de Engenharia de Alimentos Unicamp, março 2006. Revisão: julho 2015 www. unicamp. br/fea/ortega 1

Modelagem e simulação Para fazer a simulação de sistemas é necessário conhecer: a. As leis da Termodinâmica; b. Os balanços de massa e energia; c. O conceito de sistema fechado e aberto; d. A tipologia das fontes de energia, e. As funções que descrevem as interações entre os elementos de um sistema. 2

Modelagem e simulação Para representar um sistema usaremos o diagrama de fluxos de energia. Nesse diagrama, usam-se símbolos gráficos (ícones e linhas de conexão) para mostrar os componentes e as interações do sistema. Existem símbolos para: fontes externas, linhas de escoamento de energia e/ou massa, interações de forças e estoques de energia. “Ecossistemas e Políticas Públicas”: http: //www. unicamp. br/fea/ortega/eco “Modelagem e Simulação de Ecossistemas”: http: //www. unicamp. br/fea/ortega/ecosim 3

Símbolos da Linguagem de Fluxos de Energia Fonte externa ilimitada Fonte externa renovável limitada Símbolos com conexões Fluxo de Energia Sumidouro de Energia Sistema ou subsistema Fonte externa não renovável limitada Interação Produtor Estoque interno Consumidor Interruptor preço Transação 4

Modelagem e simulação Existem várias técnicas de modelagem: q a estatística, q a fenomenológica, q a determinística, q e outras. A técnica determinística consiste em propor um tipo de comportamento entre forças, interações e produtos para um sistema, ela exige testar o desempenho do modelo com dados reais e achar os valores corretos para os coeficientes utilizados (calibração). 5

Modelagem e simulação DQ = J*DT - K*Q*DT Por que simular? Geralmente se quer prever o Q desempenho de um sistema, sabendo como mudam os estoques internos com o tempo (Q versus T). T O modelo permite visualizar o impacto de: § alteração na composição das forças externas § alteração nos fluxos internos § formação de novos arranjos internos. Assim, formulam-se ações de controle e melhoria de desempenho e atingir padrões de qualidade. 6

Modelagem e simulação Para fazer a simulação de um sistema pode-se usar qualquer linguagem de programação, planilhas eletrônicas ou aplicativos específicos (Mat. Lab, Matemática, Stella, i. Think, Simile, Em. Sim). Todos os programas são adequados para a simulação matemática (equações, cálculo de coeficientes, etc. ). Além disso, alguns foram adaptados para fazer a simulação diretamente a partir do diagrama (EXTEND, Stella, Em. Sim). 7

Leis da Termodinâmica Primeira lei: “A energia não se cria e não desaparece, ela apenas muda de forma" E = constante = soma de energias Segunda lei: "A energia potencial se converte em trabalho (W) e energia degradada (Q)" E = W + Q 8

Princípios dos Sistemas Abertos 4ª lei: "Os sistemas criam laços autocatalíticos e se autoorganizam. " Evoluem num processo que depende das energias externas disponíveis, da organização interna e da capacidade de aproveitamento dos resíduos do sistema. 5ª lei: “Os sistemas interagem para criar redes de fluxos”. As redes aumentam a circulação de materiais e a captura de energia potencial disponível. 6ª lei: “Os sistemas pulsam, crescem e decrescem”. Os sistemas funcionam em ciclos (produção, consumo, reciclagem) em várias escalas, conectadas. 9

Princípios dos Sistemas Abertos q Os conceitos desenvolvidos pela Termodinâmica para a energia se aplicam também à massa: M = constante no sistema = soma de massas M disponível = M transformada + M dispersada q Os sistemas pulsam, desenvolvendo-se em ciclos de produção, consumo, reciclagem. q Os ciclos aumentam de intensidade e duração quando o sistema cresce. q O sistema cresce quando amplia suas fronteiras para incorporar mais estoques. q O sistema terrestre vive um momento de consumo intenso de estoques e esse crescimento é visto como um processo contínuo, autônomo e infinito, porém é apenas parte de um ciclo. Após o crescimento ocorre um declínio. 10

Modelos básicos Exemplo 1 - TANQUE 11

Estoque com fonte de fluxo constante q q q Um estoque é a quantidade de energia ou matéria acumulada em um reservatório (tanque) e é representado pelo símbolo abaixo. Q é o estoque interno que muda com o tempo, como resultado do balanço de entrada e saída, que devem ser do mesmo tipo (matéria, energia, emergia). Para cada símbolo de estoque em um minimodelo, há uma equação de balanço associada. 12

Modelo TANK DQ = J*DT - K*Q*DT Figura 1: Diagrama sistêmico elaborado com os símbolos da linguagem de fluxos de energia e equação do modelo de tanque. 13

Modelo TANK q q Na Figura 2, J é um fluxo de energia externa constante e Q é o estoque do sistema. S é a saída do estoque, considerada proporcional ao volume estocado, ou seja, quanto mais matéria, energia ou informação houver no estoque, maior será sua saída. S α Q S = KQ K = coeficiente de esvaziamento 14

Modelo TANK q T é o tempo que varia desde zero até um valor máximo (T MAX) pré-estabelecido. A mudança no tempo ocorre em pequenos saltos iguais ou “intervalos de tempo regulares”. Como é o gráfico Q x T? 15

Modelo TANK q q q O incremento do tempo é DT, constante. O incremento de Q no intervalo DT é DQ, variável. A taxa de mudança do estoque Q é expressa na equação do balanço entre entrada e saída: Num instante: Taxa de O que Acúmulo = entra - sai (DQ/DT) = J – KQ A mudança no estoque é: DQ = J*DT – K*Q*DT Equação do modelo 16

Modelo TANK q q DQ = J*DT – K*Q*DT Finalmente, podemos analisar como mudou o estoque (DQ) no intervalo DT: O estoque novo é o estoque anterior mais o incremento calculado. Q novo = Q anterior + DQ Podemos supor um certo valor de DT para fazer os cálculos, por exemplo, DT = 1. T novo = T anterior + DT 17

Gráfico q Podemos fazer o cálculo manualmente em uma tabela se temos todos os dados de que precisamos. 18

Simulação em planilha Feita com o cálculo de diversos pontos (Qi, Ti) do gráfico, cada um em uma linha da planilha. Um ponto (Qi, Ti) representa a quantidade, Qi, estocada no tanque no tempo Ti. 1) Definir valores iniciais das variáveis: Incremento de tempo Aumento no tempo entre uma linha e a próxima. Fluxo de energia que vem da fonte Neste modelo, ele é constante e, por isso, possui o mesmo valor em todas as linhas. Senão, ele seria calculado linha a linha. Constante de esvaziamento, K Definida no slide 14 e presente na equação diferencial do modelo TANK, do slide 16 Quantidade inicial estocada 19

Simulação em planilha 2) Construir uma tabela na planilha para cálculos sucessivos de T e Q equivalente a cada T. O cálculo dos primeiros valores é mostrado, passo a passo, a seguir. Instante inicial da análise, T=0 No primeiro instante da análise, ainda não há entrada nem saída e, portanto, não há variação em Q. Quantidade dentro do tanque no tempo (T) definido nesta linha (T=0) na primeira linha, é o valor inicial de Q. 20

Simulação em planilha 2) Construir uma tabela na planilha para cálculos sucessivos de T e Q equivalente a cada T. O cálculo dos primeiros valores é mostrado, passo a passo, a seguir. SAÍDA entre T=0 e T=1 (slide 16) Neste modelo, a saída é variável, porque é proporcional à quantidade estocada, que varia. Em cada Instante linha, ela terá um valor representado nos diferente, calculado cálculos desta linha. com base em Q da linha Como DT = 1 (slide anterior), o tempo de K definido K x Q x DT = cada linha será: inicialmente 0, 05 x 10 x 1 = 0, 5 Tanterior + 1 (slide 19) ENTRADA entre T=0 e T=1 (slide 16) Neste modelo, a entrada é sempre igual, porque tanto J quanto DT são constantes. J x DT = 4 x 1 = 4 VARIAÇÃO EM Q entre T=0 e T=1 (slide 16) Definida na equação do modelo (slide 16), sempre é igual à entrada menos a saída. Como entraram 4 e saíram 0, 5, a variação total é de 3, 5 (a quantidade estocada aumenta, porque entra mais do que sai) DQ = 4 – 0, 5 = 3, 5 Quantidade dentro do tanque no tempo (T=1) Como anteriormente havia 10 no tanque e houve um aumento de 3, 5, o novo valor de Q é 13, 5 Q = Qant + DQ = 10 + 3, 5 = 13, 5 21

Simulação em planilha 2) Construir uma tabela na planilha para cálculos sucessivos de T e Q equivalente a cada T. O cálculo dos primeiros valores é mostrado, passo a passo, a seguir. ENTRADA entre T=1 e T=2 (slide 16) Neste modelo, a entrada é sempre igual, porque tanto J quanto DT são constantes. J x DT = 4 x 1 = 4 Instante representado nos cálculos desta linha. T = Tanterior + 1 SAÍDA entre T=1 e T=2 (slide 16) Como Q da segunda linha é maior que o da primeira, a saída, que é proporcional a Q, que aumentou, também será maior. K x Q x DT = 0, 05 x 13, 5 x 1 = 0, 675 VARIAÇÃO EM Q entre T=1 e T=2 (slide 16) Como a saída aumentou, a variação em Q (ENTRADA – SAÍDA) diminui da segunda linha para a terceira. Como entraram 4 e saíram 0, 675, a variação total é de 3, 325 (a quantidade estocada ainda aumenta, porque entra mais do que sai) DQ = 4 – 0, 675 = 3, 325 Quantidade dentro do tanque no tempo (T=2) Como anteriormente havia 13, 5 no tanque e houve um aumento de 3, 325, o novo valor de Q é 16, 825 Q = 13, 5 + 3, 325 = 16, 825 22

Simulação em planilha 2) Construir uma tabela na planilha para cálculos sucessivos de T e Q equivalente a cada T. O cálculo dos primeiros valores é mostrado, passo a passo, a seguir. ENTRADA entre T=2 e T=3 (slide 16) Neste modelo, a entrada é sempre igual, porque tanto J quanto DT são constantes. J x DT = 4 x 1 = 4 Instante representado nos cálculos desta linha. T = Tanterior + 1 SAÍDA entre T=2 e T=3 (slide 16) Como Q da terceira linha é maior que o da segunda, a saída também será maior. K x Q x DT = 0, 05 x 16, 825 x 1 = 0, 841 VARIAÇÃO EM Q entre T=2 e T=3 (slide 16) Como a saída aumentou ainda mais, a variação em Q (ENTRADA – SAÍDA) diminui mais da segunda linha para a terceira. Como entraram 4 e saíram 0, 841, a variação total é de 3, 159 DQ = 4 – 0, 841 = 3, 159 Quantidade dentro do tanque no tempo (T=3) Como anteriormente havia 16, 825 no tanque e houve um aumento de 3, 159, o novo valor de Q é 19, 984 Q = 16, 825 + 3, 159 = 19, 984 23

Simulação em planilha 2) Na planilha Excel, esses cálculos são feitos como mostrado abaixo. Célula de cálculo da saída (K x Q x DT = $C$8*E 11*$A$8) A fórmula desta célula inclui: $C$8 = valor da célula C 8 (valor de K) travado, porque é constante E 11 = valor da célula E 11 (valor de Q do instanterior) destravado (quando se copia esta célula e se cola na debaixo, ela passa a referenciar a célula E 12. Assim fica mais fácil copiar e colar as fórmulas. Experimente!) $A$8 = valor da célula A 8 (valor de DT) travado Aqui é possível ver e editar o conteúdo da célula selecionada. Quando há um sinal de igual no início, a célula contém uma fórmula. Ao clicar sobre um dos termos, cada termo da fórmula é destacado com uma cor diferente e as células equivalentes, destacadas com a mesma cor. Isto é uma célula! Sua referência é E 7 (Coluna E, Linha 7) 24

Simulação em planilha 2) Na planilha Excel, esses cálculos são feitos como mostrado abaixo. Célula de cálculo da variação (DQ = J x DT – K x Q x DT =B 12 – C 12) A fórmula desta célula inclui: B 12 = valor da célula B 12 (J x DT) destravado. Desta forma, ao copiá -lo e colá-lo para nas linhas seguintes, ele usará, para cada linha, seu próprio valor de entrada. C 12 = valor da célula C 12 (K x Q x DT) destravado Aqui é possível ver e editar o conteúdo da célula selecionada. Quando há um sinal de igual no início, a célula contém uma fórmula. Ao clicar sobre um dos termos, cada termo da fórmula é destacado com uma cor diferente e as células equivalentes, destacadas com a mesma cor. Isto é uma célula! Sua referência é E 7 (Coluna E, Linha 7) 25

Simulação em planilha 2) Na planilha Excel, esses cálculos são feitos como mostrado abaixo. Célula de cálculo de Q (Q = Qanterior + DQ = E 11 + D 12) Aqui é possível ver e editar o conteúdo da célula selecionada. Quando há um sinal de igual no início, a célula contém uma fórmula. Ao clicar sobre um dos termos, cada termo da fórmula é destacado com uma cor diferente e as células equivalentes, destacadas com a mesma cor. Isto é uma célula! Sua referência é E 7 (Coluna E, Linha 7) 26

Simulação em planilha 3) Gerar gráfico a partir dos valores de Q e t. Como a entrada inicial é maior que a saída, o tanque vai enchendo com o tempo. Porém, com o aumento do estoque, aumenta-se a saída e, assim, diminui-se a variação de Q com o tempo, o que leva o estoque a atingir um equilíbrio (valor constante), em que a entrada é igual à saída. 27

Aplicativos disponíveis para Modelagem e Simulação Emergética de um tanque Excel com VBA Java. Script Applets Java Em. Sim 28

Gráficos DQ = J*DT - K*Q*DT K=0. 05 J=4 Q=10 K=0. 05 T=0 DT=1 TMAX=10 K=0. 0025 K=1. 0 29

Exemplo de Modelos de Estoque q q O modelo de estoque representa qualquer sistema que possua entrada constante e saída proporcional à quantidade estocada. Exemplo: um tanque de estocagem em que a saída depende da pressão exercida pela coluna de fluido estocada. Uma lagoa pode ser representada por este modelo, considerando-se uma entrada média constante de água proveniente de um rio e saída proporcional a altura do reservatório. 30

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Exemplo de Modelos de Estoque q Já em sistemas econômicos, pode-se usar o modelo do tanque para representar uma conta pessoal de banco, com entrada constante de um salário e gastos proporcionais ao dinheiro em conta. 32

Em. Sim aplicado ao Modelo TANK 33

Modelos básicos Outros Exemplos 34

DQ = J - K*Q*DT Q Energia externa J K*Q Tanque Energia dispersada DQ = - K*Q*DT Q K*Q Dreno Energia dispersada 35

DQ = K 1*E – K 2*Q Q E K 2*Q K 1*E Dreno Estoque não renovável DQ = K 1*J*Q – K 2*Q K 1*J*Q Q Energia externa K 2*Q X Dreno Fonte ilimitada Laço de retro-alimentação 36

Fonte ilimitada Laço de retro- K 1*J*Q alimentação Energia externa DQ = K 1*J*Q – K 2*Q*Q Q X X Dreno DQ = K 1*R*Q – K 2*Q K 1*R*Q Energia externa Q J R K 2*Q X Dreno Fonte limitada na origem + Laço de retro-alimentação 37

Fonte limitada DQ = K 1*E*Q – K 2*Q K 1*E*Q Q E K 2*Q X Dreno Laço de retroalimentação Fonte limitada DQ = K 1*R*Q + K 2*E*Q – K 3*Q K 2*E*Q E X Energia externa R J Q K 3*Q X K 1*R*Q Fonte limitada na origem Dreno 38