Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Modelado Inductivo En

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modelado Inductivo • En esta presentación, estudiaremos técnicas más generales para la identificación de modelos no lineales complejos a partir de observaciones de comportamientos de entradas y salidas. • Estas técnicas intentan imitar las habilidades humanas del aprendizaje vicario, es decir, de aprender a partir de observaciones. • Estas técnicas deberían funcionar en general, es decir, los algoritmos deberían ser capaz de capturar una relación funcional arbitraria y reproducirla fielmente. • La técnicas además no tendrán ninguna inteligencia, es decir, su habilidad de generalizar patrones a partir de observaciones es casi nula. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Contenido • • • Modelado basado en conocimientos y en observaciones Taxonomía de metodologías de modelado Modelado basado en observaciones y optimización Modelado basado en observaciones y complejidad Redes neuronales artificiales Modelado paramétrico y no paramétrico Modelado cuantitativo y cualitativo Modelado borroso Razonamiento inductivo borroso El sistema cardiovascular Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modelado Basado en Conocimientos y Observaciones • Hasta ahora usamos casi exclusivamente técnicas de modelado basadas en conocimientos a priori. • En muy pocas situaciones generamos modelos a partir de observaciones. • La única vez cuando intentamos hacerlo identificando un modelo estilo Lotka-Volterra de la población de insectos Zeiraphera diniana (Guenée), no nos funcionó muy bien. • Por otro lado, si usamos conocimientos a priori, como en el caso de modelar un resistor eléctrico usando la ecuación: u = R·i, no estamos modelando verdaderamente – estamos usando modelos ya hechos por otra gente. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Taxonomía de Metodologías de Modelado Técnicas basadas en conocimientos Modelos profundos SD Técnicas basadas en observaciones Modelos superficiales Razonadores inductivos Redes neuronales FIR Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modelado Basado en Observaciones y Optimización • Cada metodología de modelado basada en observaciones está relacionada íntimamente a una optimización. • Veamos otra vez más nuestro modelo Lotka-Volterra: · Ppred = -a · Ppred + k · b · Ppred · Pprey P· = c · P - b · P prey pred prey • Si aceptamos esta estructura para modelar la dinámica de la población de los insectos, capturamos el conocimiento de observaciones disponible en los valores de los parámetros del modelo Lotka. Volterra, es decir, a, b, c, k, xprey 0 y xpred 0. • Modelando aquí implica identificar los valores de estos parámetros, es decir, minimizar el error entre los comportamientos observados y simulados usando optimización. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modelado Basado en Observaciones y Complejidad • El modelado basado en observaciones es muy importante, especialmente cuando tratamos con sistemas desconocidos o solamente conocidos de forma parcial. Si modelamos nuevos tipos de sistemas, realmente no tenemos opción. Estos sistemas tienen que modelarse de forma inductiva, es decir, usando las observaciones disponibles. • Cuanto menos sabemos de un sistema, más generales tienen que ser los métodos de modelado que usamos. Si no sabemos nada, tenemos que prepararnos para cualquier cosa. • Para modelar un sistema totalmente desconocido, debemos permitir una estructura del modelo de complejidad arbitraria. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Redes Neuronales Artificiales (ANN) I • Una técnica popular y exitosa para el modelado de sistemas a partir de observaciones es usando redes neuronales artificiales (ANNs). • ANNs se modelan copiando ciertos aspectos de las neuronas del cerebro. u 1 u 2 … + y activación() es una función no lineal, normalmente de forma sigmoidea: un x = w’ · u + b y = activación(x) Febrero 15, 2008 w’ es el vector de pesos b es el sesgo 1. 0 y = sigmoid(x) = 1. 0 + exp(-x) © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Redes Neuronales Artificiales (ANN) II • Muchas “neuronas” se agrupan en una estructura de matriz: + u 1 + u 2 + + + + + • Las matrices de pesos y los vectores de sesgos capturan la información de la función que requiere modelarse. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación y

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Redes Neuronales Artificiales (ANN) III • Se puede mostrar que una ANN con una sola capa escondida y bastante neuronas puede aprender cualquier función con un dominio compacto de variables de entrada. u 3 y 3 u 2 u 1 Mapeo entrada/salida y 2 y 1 • Con al menos dos capas escondidas, pueden aprenderse incluso funciones arbitrarias con agujeros en sus dominios de entrada y salida. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modelos Paramétricos y no Paramétricos I • Las ANN representan modelos paramétricos. El conocimiento de observaciones del sistema se mapea al (posiblemente muy grande) conjunto de parámetros de la ANN. • Una vez entrenada la ANN, el conocimiento original se descarta. En su lugar se usa el comportamiento aprendido de la ANN para hacer predicciones. • Eso puede ser peligroso. Si los datos de prueba, es decir, los patrones de entrada encontrados mediante el uso de la ANN son fuera del dominio de los datos de entrenamiento, la ANN probablemente predice basura, pero no se da cuenta de ello, ya que el conocimiento original se descartó. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modelos Paramétricos y no Paramétricos II • Por otro lado, los modelos no paramétricos siempre hacen referencia a los datos de entrenamiento originales, y por consecuencia pueden programarse de tal manera que rechacen datos de prueba incompatibles con los datos de entrenamiento. • El motor del Razonamiento Inductivo Borroso (FIR) que introducimos en esta presentación, es no paramétrico. • Mediante la fase del entrenamiento, el FIR organiza los patrones observados y los deposita en una base de datos. • Mediante la fase de prueba, FIR busca los cinco patrones de entrenamiento más similares (los cinco vecinos más próximos) en la base de datos comparando el nuevo patrón de entrada con los almacenados antes. Luego FIR predice la nueva salida como promedio ponderado de las salidas de los cinco vecinos más próximos. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modelos Cuantitativos y Cualitativos I • Entrenar un modelo (sea paramétrico o no) implica resolver un problema de optimización. • En el caso paramétrico, hay que resolver un problema de identificación de parámetros. • En el caso no paramétrico, hay que clasificar los datos de entrenamiento, y guardarlos de una manera óptima en la base de datos. • Entrenar tal modelo puede ser atrozmente lento. • Por eso, tiene sentido buscar técnicas que ayuden a acelerar el proceso de entrenamiento. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modelos Cuantitativos y Cualitativos II • ¿Cómo puede controlarse la velocidad de la optimización? De alguna forma hay que reducir el espacio de búsqueda. • Una manera de lograr esto es convertir las variables continuas en variables discretas equivalentes antes de la optimización. • Por ejemplo, si una de las variables de interés es la temperatura ambiente, podríamos considerar clasificar los valores de la temperatura en un espectro que vaya desde muy frío hasta extremadamente caliente tal como el siguiente conjunto discreto: temperatura = {helado, frío, fresco, moderado, templado, caliente} Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Variables Cualitativas • Una variable que sólo toma valores en un conjunto discreto se denomina variable discreta. A veces, se denomina también variable cualitativa. • Evidentemente, debe ser más barato buscar en un espacio discreto de búsqueda que en un espacio continuo de búsqueda. • El problema con los esquemas de discretización, tales como el antes propuesto, es que en el proceso se pierde mucha información detallada potencialmente valiosa. • Para evitar este inconveniente, L. Zadeh propuso un enfoque diferente denominado borrosificación (“fuzzification”). Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Variables Borrosas I • La borrosificación actúa de la siguiente forma. Una variable continua se borrosifica al descomponerla en un valor de clase discreta y en un valor de pertenencia borrosa. • Para el propósito del razonamiento, se tiene en cuenta sólo el valor de clase. Sin embargo, para el propósito de la interpolación, el valor de pertenencia borrosa también se tiene en cuenta. • Las variables borrosas no son discretas, sino que se consideran cualitativas. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Variables Borrosas II Presión sanguínea sistólica = 110 { normal, 0. 78 } { muy baja, 0. 15 } Presión sanguínea sistólica = 141 { normal, 0. 78 } { muy alta, 0. 18 } Los pares { Clase, pertenencia } de menor verosimilitud deben considerarse también, ya que de otra forma el mapeo no sería único. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Variables Borrosas en el FIR El FIR realiza un enfoque algo distinto para resolver el problema de la unicidad. En lugar de mapear en reglas borrosas múltiples, el FIR mapea en una única regla, la que tiene mayor verosimilitud. Sin embargo, para evitar el problema de ambigüedad mencionado, el FIR guarda una información más: el “valor de lado. ” Éste indica si el punto del dato está a la izquierda o a la derecha del pico del valor de pertenencia borrosa de una clase dada. left Presión sanguínea sistólica= 110 { normal, 0. 78, izquierda } Febrero 15, 2008 right Presión sanguínea sistólica = 141 { normal, 0. 78, derecha} © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Redes Neuronales y Razonamiento Inductivo Redes Neuronales Febrero 15, 2008 FIR © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Razonamiento Inductivo Borroso (FIR) I • Discretización de Información Cuantitativa (Recodificación Borrosa) • Razonamiento sobre categorías discretas (Modelado Cualitativo) • Inferencia de consecuencias sobre categorías (Simulación Cualitativa) • Interpolación entre categorías vecinas utilizando lógica borrosa (Regeneración Borrosa) Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Razonamiento Inductivo Borroso (FIR) II Datos nítidos FIR Datos nítidos Recodificación Borrosa Regeneración Modelado Borroso Simulación Borrosa Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Borrosificación en el FIR Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modelado Cualitativo en el FIR I • Tras recodificar los datos, hay que determinar cual de los conjuntos posibles de variables de entrada representa mejor el comportamiento observado. • Entre todas las combinaciones posibles de entrada, tomamos la que da una relación de entrada/salida tan determinística como sea posible. Esto es, cuando se observa varias veces el mismo patrón de entrada en los datos de entrenamiento, queremos que los patrones de salida obtenidos sean tan consistentes como sea posible. • Cada patrón de entrada debe observarse al menos cinco veces. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Qualitative Modeling in FIR II Base de reglas borrosas y 1(t) = f ( y 3(t-2 t), u 2(t- t) , y 1(t- t) , u 1(t) ) Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modelado Cualitativo en el FIR III • El modelo cualitativo es la máscara óptima, o sea, el conjunto de entradas que mejor predice una salida dada. • Generalmente, la máscara óptima es dinámica, es decir, la salida actual depende de los valores actuales y pasados de las entradas y salidas. • La máscara óptima puede aplicarse a los datos para obtener un conjunto de reglas borrosas que se pueden ordenar de manera alfanumérica. • La base de reglas borrosas es nuestra base de datos de entrenamiento. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Simulación Cualitativa en el FIR Matriz de Comportamientos Matriz de datos crudos 2 Máscara óptima Patrón de entrada 2 3 1 Patrones de coincidencia Computación de distancia Euclidiana dj 1 ? Clase Pertenencia Lado Febrero 15, 2008 5 vecinos más próximos Valor predicho Computación de salida fi=F(W*5 -NN-out) © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Predicción de Series Temporales en el FIR Demanda de agua de la ciudad de Barcelona, Enero 85 – Julio 86 Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Resultados de la Simulación I Prediction Real Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modelado Cuantitativo y Cualitativo • Técnicas de Modelado Deductivas Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modelado Mixto Cuantitativo y Cualitativo • Es posible combinar técnicas de modelado cualitativas y cuantitativas. Modelo FIR Regenerar Subsistema cuantitativo Recodificar Modelo FIR Recodificar Regenerar Subsistema cuantitativo Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Aplicación: Sistema Cardiovascular I • Aplicamos esta técnica a un sistema bastante complejo: el sistema cardiovascular humano. • El sistema cardiovascular es compuesto de dos subsistemas: el sistema hemodinámico y el control nervioso central. • El sistema hemodinámico trata con la física del flujo de sangre a través el corazón y los vasos sanguíneos. • El control nervioso central sincroniza el control del flujo de sangre a través el corazón y los vasos sanguíneos. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Aplicación: Sistema Cardiovascular II • El sistema hemodinámico es esencialmente un sistema hidrodinámico. El corazón y los vasos sanguíneos pueden describirse por bombas, válvulas y tubos. Por consecuencia, gráficos de ligaduras sirven para su descripción. • El control nervioso central aún no se entiende completamente. El modelado cualitativo basado en observaciones puede ser la herramienta más apropiada para describirlo. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Sistema Hemodinámico I Las cavidades del corazón y los vasos sanguíneos son los contenedores de la sangre. Cada contenedor almacena masa y por eso se describe por un elemento C. Algunos de los elementos C son no lineales y en el caso de las cavidades del corazón dependen del tiempo. El elemento m. Se del lado izquierdo representa el volumen residual del vaso o de la cavidad. El elemento m. Se del lado derecho representa la presión torácica que está influenciada por la respiración. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Sistema Hemodinámico II Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Sistema Hemodinámico III Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Sistema Hemodinámico IV • Los contenedores son representados por cajas. Terminan en uniones 0. • Los flujos entre contenedores son representados por flechas. Terminan en ligaduras. • Mientras los contenedores y los flujos intercambian, pueden conectarse entre sí sin ligaduras. • Algunos de los flujos contienen inductores, mientras que otros solamente contienen resistores. Algunos también contienen válvulas que son representadas por elementos Sw. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Corazón El modelo del corazón contiene las cuatro cavidades y las cuatro válvulas del corazón: la válvula pulmonaria y la válvula aórtica a las dos salidas de los ventrículos, y la válvula mitral y la válvula tricúspide entra las aurículas y los ventrículos. El bloque del ritmo sinusal controla las contracciones y relajaciones del músculo cardíaco. Los vasos coronarios son responsables de suministrar oxígeno al músculo cordíaco. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Tórax El tórax contiene el corazón y los vasos sanguíneos más importantes. La función tabular por debajo calcula la presión torácica en función de la respiración. La sangre arterial es representada en rojo, mientras la sangre venosa es representada en azul. A la izquierda se ven las señales llegando desde el control nervioso central. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Las Partes del Cuerpo • De forma similar se modelan también las demás partes del sistema circulatorio de la sangre. Incluyen la cabeza y los brazos (el tronco braquiocefálico y sus vasos), el abdomen (las arterias y venas gastrointestinales) y las extremidades inferiores. • Todos juntos forman el sistema hemodinámico. • Faltan todavía las funciones del control nervioso central. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Sistema Cardiovascular Control Nervioso Central (Modelo cualitativo) Controlador del ritmo cardíaco Sistema Hemodinámico (Modelo cuantitativo) Regenerar TH Corazón Controlador de la contractilidad del miocardio Regenerar Controlador de la resistencia periférica Regenerar Controlador de la elasticidad de las venas Regenerar Controlador de la resistencia coronaria Regenerar Recodificar Febrero 15, 2008 B 2 Q 4 D 2 Q 6 PAC © Prof. Dr. François E. Cellier Dinámica de flujos circulatorios Presión sanguínea de la carótida Presión de las arterias del cerebro. Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Resultados de Simulación II Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Discusión I • El gráfico de arriba muestra el controlador de resistencia periférica, Q 4, durante una maniobra de Valsalva. • Los datos medidos están superpuestos con los de simulación. Los resultados de simulación son en general muy buenos. Sin embargo, en el centro del gráfico los errores son algo mayores. • Debajo hay dos gráficos que muestran la estimación de la probabilidad de que la predicción sea correcta. Puede verse que el FIR se da cuenta que los resultados de simulación en la zona central tienen poca probabilidad de tener alta calidad. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Discusión II • Esto puede aprovecharse. Se pueden realizar en paralelo varias predicciones junto con sus estimaciones de la probabilidad de que sean correctas. • Pueden entonces conservarse las predicciones que están acompañadas por el mayor valor de confianza. • Esto se muestra en el siguiente gráfico. Dos modelos distintos (máscaras subóptimas) se comparan entre sí. La segunda máscara funciona mejor, y además sus valores de confianza asociados son más altos. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Resultados de Simulación III Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Conclusiones I • El modelado cuantitativo, es decir, basado en los primeros principios, es la herramienta más adecuada para las aplicaciones que se comprenden bien, y donde las metaleyes están bien establecidas. • El modelado físico es lo más deseable, ya que ofrece una mayor comprensión y se puede extender más ampliamente más allá del rango de los experimentos previos. • El modelado cualitativo es adecuado en áreas que no se comprenden muy bien, y donde todo el conocimiento que hay consiste esencialmente en observaciones crudas, es decir, donde aún no se han extraído meta-leyes a partir de observaciones previas. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Conclusiones II • El modelado borroso es un enfoque de modelado inductivo muy atractivo, ya que permite obtener medidas de confianza de las predicciones. • El FIR es uno de los varios enfoques del modelado borroso. Ha sido aplicado extensa y exitosamente en una gama bastante amplia de aplicaciones de la ingeniería y de las ciencias blandas. • Los modelos cualitativos no aportan conocimiento sobre el funcionamiento de un sistema. Sólo pueden usarse para predecir el comportamiento futuro, siempre y cuando los patrones de comportamiento se mantengan dentro de sus normas observadas. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Aplicaciones industriales • Modelado del Sistema Cardiovascular para Clasificación de Anomalías. • Modelo de Anestesiología para Control del Nivel de Anestesia Durante Cirugías. • Modelo de Crecimiento de Gambas para el criadero de gambas “El Remolino” en el norte de México. • Predicción de la Demanda de Agua en Barcelona y Rotterdam. • Diseño de Controlador Borroso para el manejo de Buques Petroleros. • Diagnóstico de fallos en Centrales Nucleares. • Predicción de Cambios Telecomunicaciones. Febrero 15, 2008 Tecnológicos en © Prof. Dr. François E. Cellier la Industria Principio de la presentación de

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Referencias I • Cellier, F. E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 13. • Cellier, F. E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 14. • Cellier, F. E. , A. Nebot, F. Mugica, and A. de Albornoz (1996), “Combined Qualitative/Quantitative Simulation Models of Continuous-Time Processes Using Fuzzy Inductive Reasoning Techniques, ” Intl. J. General Systems, 24(1 -2), pp. 95 -116. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Referencias II • Nebot, A. , F. E. Cellier, and M. Vallverdú (1998), “Mixed Quantitative/Qualitative Modeling and Simulation of the Cardiovascular System, ” Computer Methods and Programs in Biomedicine, 55(2), pp. 127155. • Cellier, F. E. (2006), The Dymola Cardiovascular System Model, Version 2. 0. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Tesis de Doctorado Recientes • Nebot, A. (1994), Qualitative Modeling and Simulation of Biomedical Systems Using Fuzzy Inductive Reasoning. • Mugica, F. (1995), Diseño Sistemático de Controladores Difusos Usando Razonamiento Inductivo. • de Albornoz, A. (1996), Inductive Reasoning and Reconstruction Analysis: Two Complementary Tools for Qualitative Fault Monitoring of Large-Scale Systems. • López, J. (1999), Qualitative Modeling and Simulation of Time Series Using Fuzzy Inductive Reasoning. • Mirats, J. M. (2001), Large-Scale System Modeling Using Fuzzy Inductive Reasoning. Febrero 15, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación