Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos La Mecnica 3

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Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Mecánica 3 D • Miraremos ahora una segunda

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Mecánica 3 D • Miraremos ahora una segunda aplicación de gráficos de ligaduras múltiples: la mecánica 3 D. • Modelos mecánicos en tres dimensiones semejan mucho modelos mecánicos 2 D. Existen algunos tipos de articulaciones adicionales, pero por otra parte parecen ser muy similares. • Sin embargo, la semejanza engaña. Hay muchas complicaciones que tenemos que vencer antes de que podemos tratar bien con modelos de la mecánica 3 D. Son las temas de esa presentación. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Contenido • • • Grados de libertad • Ligaduras

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Contenido • • • Grados de libertad • Ligaduras mecánicas 3 D • Conectadores mecánicos 3 D • Coordenadas pegadas a un cuerpo • La matriz de la orientación Transformaciones de coordenadas Ecuaciones eficientes de simulación Calculo de la matriz de orientación Cuaterniones Febrero 11, 2008 Modelos del envase Ecuaciones del movimiento Estructura Euleriana EJS El modelo de un cuerpo © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Los Grados de Libertad • Sistemas mecánicos 1 D

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Los Grados de Libertad • Sistemas mecánicos 1 D tienen exactamente un grado de libertad (o de traslado o de giro). • Sistemas mecánicos 2 D tienen tres grados de libertad. Pueden trasladarse en dirección de dos ejes y pueden girarse alrededor de un eje perpendicular al plano definido por los dos ejes de traslado. • Sistemas mecánicos 3 D tienen seis grados de libertad. Pueden trasladarse y girarse en tres dimensiones. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ligaduras Múltiples Mecánicos 3 D • Por consecuencia se

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ligaduras Múltiples Mecánicos 3 D • Por consecuencia se esperaría que las ligaduras mecánicas 3 D contengan seis ligaduras regulares, una para cada grado de libertad: fx vx fy vy fz vz tx x ty y tz z Febrero 11, 2008 } f 6 v © Prof. Dr. François E. Cellier Composición esperada de una ligadura mecánica 3 D Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Los Conectadores Mecánicos 3 D • Los conectadores mecánicos

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Los Conectadores Mecánicos 3 D • Los conectadores mecánicos 3 D de los gráficos de ligaduras tuvieran que contener 13 variables, un vector de esfuerzos, e, de longitud 6, a vector de flujos, f, también de longitud 6, más la variable direccional, d. • Los conectadores mecánicos 3 D multicuerpos tienen que contener 18 variables que son las 12 variables de potenciales describiendo los 6 desplazamientos generalizados más las 6 velocidades generalizadas y además 6 variables de flujo describiendo las fuerzas generalizadas. • En realidad contienen 24 variables. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Los Conectadores Mecánicos 3 D II La matriz de

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Los Conectadores Mecánicos 3 D II La matriz de orientación R gira los ejes del “modelo mundial” a ejes acompañando el cuerpo. ωbody = R · ω0 Orientación de los ejes en coordenadas del cuerpo. Febrero 11, 2008 Orientación de los ejes en coordenadas mundiales. © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Las Coordenadas Pegadas al Cuerpo • En la mecánica

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Las Coordenadas Pegadas al Cuerpo • En la mecánica 3 D, el tensor inercial depende de la orientación del cuerpo con relación a su sistema de coordenadas. • Por eso, si se usan coordenadas mundiales para la formulación del principio de d’Alembert para movimientos de giro, el tensor inercial debe recalcularse en cada paso. • Entonces es mejor formular el principio de d’Alembert en coordadas pegadas al cuerpo. De esta manera se queda constante el tensor inercial. • El precio que se paga es que tenemos que calcular las transformaciones de coordenadas en las articulaciones. • También tenemos que incluir los pares de torsión giroscópicos que aparecen si se formula el principio de d’Álembert en un sistema de coordenadas aceleradas. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Las Coordenadas Pegadas al Cuerpo II • En la

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Las Coordenadas Pegadas al Cuerpo II • En la mecánica en el plano, ese problema no ocurrió todavía. Hay un solo eje de giro que siempre es perpendicular al plano del traslado. • Por consecuencia, el tensor inercial se queda constante y todos los movimientos pueden calcularse en coordenadas mundiales, lo que es lo que hicimos. • Por esa razón, el modelado de sistemas mecánicos en el plano es bastante más simple que el modelado de sistemas mecánicos 3 D. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Matriz de Orientación • La matriz de orientación,

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Matriz de Orientación • La matriz de orientación, R, es una matriz unitaria. • Entonces: ||R||2 = 1 R-1 = RT • Cada vector de fila y cada vector de columna de R tiene una longitud de 1. Entonces hay 6 restricciones conectando los 9 elementos de la matriz. • Como se esperaba hay solamente 3 grados de libertad describiendo el giro relativo de un sistema de coordenadas a otro. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Transformaciones entre Coordenadas • Transformaciones entre coordenadas pueden interpretarse

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Transformaciones entre Coordenadas • Transformaciones entre coordenadas pueden interpretarse como transformaciones en el sentido de los gráficos de ligaduras : ω2 = R · ω1 Febrero 11, 2008 τ1 = R T · τ2 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Transformaciones entre Coordenadas II • Tenemos que transformar las

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Transformaciones entre Coordenadas II • Tenemos que transformar las posiciones angulares por separado: ω2 = Rrel · ω1 φ2 = Rrel · φ1 R 2 = Rrel · R 1 Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ecuaciones Eficientes de Simulación R 2 = Rrel ·

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ecuaciones Eficientes de Simulación R 2 = Rrel · R 1 Febrero 11, 2008 R 1 = Rrel-1 · R 2 = Rrel. T · R 2 • Dymola no sabe nada de matrices unitarias. • Entonces, si la causalidad pide una inversión de la matriz R, es exactamente lo que hará Dymola … en forma simbólica. • Resultarán ecuaciones de simulación muy ineficientes. • Por eso es mejor ayudar a Dymola especificando el flujo de la dirección computacional explícitamente. © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Calculo de la Matriz de Orientación • Una manera

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Calculo de la Matriz de Orientación • Una manera para calcular la matriz de orientación, R, en una forma no redundante es usando los ángulos de Cardan. Son los ángulos de giro alrededor de las coordenadas Cartesianas: φx , φy y φz. R = Rz · Ry · Rx • Mientras que R puede obtenerse siempre de forma única de los ángulos φx , φy y φz, el inverso desgraciadamente no es el caso. • Si φy = 90 o, los otros dos ejes se quedan alineados. En este caso φx y φz no pueden calcularse de forma única. • Entonces usar los ángulos de Cardan no es siempre buena idea. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Calculo de la Matriz de Orientación II Febrero 11,

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Calculo de la Matriz de Orientación II Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Calculo de la Matriz de Orientación III • Cada

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Calculo de la Matriz de Orientación III • Cada giro 3 D puede expresarse como un giro en el plano, φ, perpendicular a un plano de traslado, n. • Dado el ángulo de giro, φ, y el plano de traslado, n, la matriz de orientación puede calcularse usando la formula: R = n·n. T + (I - n·n. T)cos(φ) – Ñsin(φ) • donde: 0 -n 3 n 2 Ñ= n 3 0 -n 1 ~ (a × b = A · b) -n 2 n 1 0 Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Calculo de la Matriz de Orientación IV R =

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Calculo de la Matriz de Orientación IV R = n·n. T + (I - n·n. T)cos(φ) – Ñsin(φ) • Desafortunadamente, también el método del giro alrededor de un plano no puede invertirse siempre de forma única. Por esa razón, ese método debe usarse solamente si el eje de giro es siempre conocido con antelación, como es el caso en una articulación de giro. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Cuaterniones • Una manera redundante para describir la orientación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Cuaterniones • Una manera redundante para describir la orientación que funciona siempre es usando cuaterniones. • Cuaterniones representan una extensión cuatrodimensional de los números complejos: Q = c + ui + vj + wk = c + u • Cuaterniones se caracterizan por tres componentes imaginarias i, j y k que cumplen con las reglas siguientes: Febrero 11, 2008 ij = k; ji = -k; i 2 = -1 jk = i; kj = -i; j 2 = -1 ki = j; ik = -j; k 2 = -1 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Cuaterniones II • El producto de dos cuaterniones puede

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Cuaterniones II • El producto de dos cuaterniones puede escribirse de la forma: QQ’ = (c + u)(c’ + u’) = (cc’ – u·u’) + (u × u’) + cu’ + c’u • El complemento de un cuaternión se define por: Q=c+u =c–u • La norma L 2 de un cuaternión es el producto del cuaternión mismo con s complemento: QQ = | Q | = c 2 + |u|2 • Un cuaternión unitario es un cuaternión normalizado: | Q | = c 2 + |u|2 = 1 Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Cuaterniones III • Conforme a las reglas de la

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Cuaterniones III • Conforme a las reglas de la trigonometría: cos(φ/2)2 + sin(φ/2)2 = 1 • Siempre es posible encontrar un ángulo φ tal que: c = cos(φ/2); |u| = sin(φ/2) • Eso nos permite codificar la orientación de un sistema de coordenadas usando un cuaternión, en el cual se codifica el eje de giro como u, donde las componentes [u, v, w]T se interpretan como las componentes del vector del eje de giro. La cuarta cantidad, c, del cuaternión codifica el ángulo de giro, φ. • Entonces: R = 2 u·u. T + 2 c. U~ +2 c 2 I - I Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Calculo de la Matriz de Orientación V R =

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Calculo de la Matriz de Orientación V R = 2 u·u. T + 2 c. U~ +2 c 2 I - I • La biblioteca Multi. Bond. Lib usa las tres representaciones. Usa el método del giro alrededor de un plano dentro de los modelos de articulaciones de giro. Usa alternativamente los ángulos de Cardan y los cuaterniones (el usuario lo decide) dentro de articulaciones más generales como las articulaciones esféricas. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Los Modelos de Envase • En la biblioteca Multi.

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Los Modelos de Envase • En la biblioteca Multi. Bond. Lib, las ecuaciones de movimientos de traslado se formulan en coordenadas mundiales, mientras que las ecuaciones de movimientos de giro se formulan en coordenadas pegadas con el cuerpo. • Por esa razón, las ligadas de movimientos de traslado y de giro se quedan separados y por eso todavía tienen una longitud de 3. Gráfico de ligaduras múltiples de traslado Posiciones de giro Gráfico de ligaduras múltiples de giro Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ecuaciones de Movimiento en Coordenadas Pegadas al Cuerpo •

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ecuaciones de Movimiento en Coordenadas Pegadas al Cuerpo • Formulamos las ecuaciones de movimiento en un sistema de coordenadas pegadas al cuerpo: . τ 0 = J 0 · ω0 d τ0 = dt ( RTJbodyωbody ). . τ0 = RTJbodyωbody + RTJbodyωbody ~ RTτbody = RTJbodyzbody + RTΩbody. Jbodyωbody { τbody = Jbodyzbody + ωbody × Jbodyωbody Par de torsión giroscópico Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Estructura Euleriana EJS • El par de torsión

Modelado Matemático de Sistemas Físicos La Estructura Euleriana EJS • El par de torsión giroscópico puede formularse en términos de gráficos de ligaduras usando la estructura Euleriana (EJS): Descripción externa Implementación usando Modelica Febrero 11, 2008 Descripción por gráficos de ligaduras © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Modelo de un Cuerpo • Estamos listo ahora

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Modelo de un Cuerpo • Estamos listo ahora para modelar un cuerpo general usando gráficos de ligaduras múltiples: • Las ecuaciones del traslado se formulan en coordenadas mundiales. • Las ecuaciones del giro se fwld = mawld - mgwld formulan en coordenadas pegadas al cuerpo. • El centro de gravitación se calcula en el modelo “world 3 D” Traslado de los modelos mecánicos 3 D Giro envasados. τbdy = Jbdyzbdy + ωbdy × Jbdyωbdy Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Modelo de un Cuerpo II }Parámetros generales }

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Modelo de un Cuerpo II }Parámetros generales } Parámetros agrupados en listas separadas de la ventanilla principal de los parámetros Parámetros finales son evaluados. No se ven. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Modelo de un Cuerpo III } Febrero 11,

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Modelo de un Cuerpo III } Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Parámetros agrupados en ventanillas separadas bajo la ventanilla principal de los parámetros Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Modelo de un Cuerpo IV • Febrero 11,

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Modelo de un Cuerpo IV • Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Cada modelo mecánico 3 D usando gráficos de ligaduras múltiples envasados tiene que invocar el modelo world 3 D que tiene que declararse en cada uno de los modelos como un “outer model”. Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Modelo de un Cuerpo V • • •

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Modelo de un Cuerpo V • • • The shapes and sizes of bodies can be declared for the purpose of animation. This feature is borrowed from the multi-body systems sub-library of the standard Modelica mechanics library. You find documentation there for predefined shapes under the subheading Visualizers, and more generally under the sub-entry of Advanced → Shape. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Modelo de un Cuerpo VI • Febrero 11,

Modelado Matemático de Sistemas Físicos El Modelo de un Cuerpo VI • Febrero 11, 2008 El centro de la gravedad se modela en la ventanilla de las ecuaciones. El elemento gráfico correspondiente es solamente un dibujo. Eso se ve porque las “conexiones” no se conectan hasta los conectadores. El usuario sabe entonces que no se trata de una conexión verdadera. © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Referencias I • Zimmer, D. (2006), A Modelica Library

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Referencias I • Zimmer, D. (2006), A Modelica Library for Multi. Bond Graphs and its Application in 3 DMechanics, MS Thesis, Dept. of Computer Science, ETH Zurich. • Zimmer, D. and F. E. Cellier (2006), “The Modelica Multi-bond Graph Library, ” Proc. 5 th Intl. Modelica Conference, Vienna, Austria, Vol. 2, pp. 559 -568. Febrero 11, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Referencias II • Febrero 11, 2008 Cellier, F. E.

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Referencias II • Febrero 11, 2008 Cellier, F. E. and D. Zimmer (2006), “Wrapping Multi-bond Graphs: A Structured Approach to Modeling Complex Multi-body Dynamics, ” Proc. 20 th European Conference on Modeling and Simulation, Bonn, Germany, pp. 7 -13. © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación