Model Linear dan Aljabar Matriks Pengertian Definisi Matriks

Model Linear dan Aljabar Matriks Pengertian Definisi Matriks adalah Susunan empat persegi panjang atau bujur sangkar dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom ditulis diantara dua tanda kurung, yaitu ( ) atau [ ] Aljabar Matriks merupakan Suatu alat atau sarana yang sangat ampuh untuk menyelesaikan model-model linier seperti persamaan tiga atau empat barang. 1

4. 1 Matriks dan Vektor Matriks Bentuk Umum: Elemen matriks : aij Susunan bilangan atau nilai aij {bilangan real atau kompleks} Ukuran matriks : • Jumlah baris : m Jumlah kolom : n • Ordo atau ukuran matriks : m x n • Elemen-elemen diagonal : a 11, a 22, …. , ann 2

Vektor sebagai Matriks Khusus Vektor merupakan Kumpulan data/angka yang terdiri atas satu baris disebut: VEKTOR BARIS, jika satu lajur disebur dengan VEKTOR KOLOM. Dengan demikian, dpt disebut bahwa matriks terdiri atas beberapa vektor baris dan beberapa vektor kolom. Vektor baris: Vektor lajur a’ = (4, 1, 3, 2) b= 1 u = u 1 2 u 2 8 … x’ = (x 1, x 2, … xn) un 3

4. 2 Operasi Aljabar Matriks Penjumlahan dua matriks A + B = (aij + bij) A – B = (aij – bij) Syarat penjumlahan dua matriks atau pengurangan dua matriks adalah mempunyai ordo yang sama Contoh: 4

5

Syarat: Setiap baris pada matriks harus dikalikan pada setiap kolom pada matriks kedua. Banyaknya kolom pada matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua 6

4. 3 Operasi Vektor Perkalian Vektor Ketidakbebasan Linear Suatu himpunan vektor v 1, . . . , v 2 dikatakan tidak bebas secara linear jika salah satu diantaranya dapat dinyatakan sebagai kombinasilinear dari vektor sisanya. Ruang Vektor Keseluruhan vector-vektor yang dihasilkan oleh berbagai kombinasi linear dari 2 vektor bebas u dan v merupakan ruang vector yang berdimansi dua. Konsep jarak antara dua titik vector • Jika u dan v berhimpitan, jaraknya nol (untuk u = v) • Jika kedua titik berbeda, jarak u ke vdan vke u dinyatakan oleh bilangan nyata positif yang sama. • Jarak antara u dan v tidak pernah lebih dari jarak u ke w ditambah w ke v. • Jika sebuah ruang vector memenuhi tiga sifat diatas, maka disebut ruang matriks 7

4. 4 Hukum Komutatatif, Asosiatif, dan Distributif 8

4. 5 Matriks Identitas dan Matriks Nol: Matriks di mana semua unsur nilainya nol Matriks Identitas: Matriks di mana elemen-elemen pada diagonal utamanya masing-masing adalah satu, sedangkan elemen-elemen yang lain adalah nol. Sifat Matriks Identitas dan Matriks Nol Jika A = matriks berukuran n x n : I. A=A. I=A A+0=0+A=A A. 0=0. A=0 Contoh : a 11 a 12 A + 0 = a 21 a 22 + 0 0 a 11 a 12 = a 21 a 22 9

4. 6 Transpos dan Invers Transpose AT dari matrik m x n A = [ aik ] adalah matrik n x m yang diperoleh dari pertukaran baris dan kolom [AT] ik = [aik] Contoh : A= -4 6 3 0 1 2 , maka AT = -4 0 6 1 3 2 Sifat – sifat Transpos : ( A ’ )’ = A ( A + B )’ = A’ + B’ ( A – B ) ’ = A’ - B’ ( AB )’ = B’ A’ 10

Invers Jika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A. Sifat – Sifat matriks Invers 11

4. 7 Rantai Markov Terbatas Proses markov digunakan untuk mengukur atau mengestimasi pergerakan yang terjadi setiap saat. Proses ini melibatkan penggunaan matriks transisi markov, dimana setiap nilai dalam matriks transisi adalah probabilitas pergerakan dari satu keadaan ( lokasi, pekerjaan, dan sebagainya ) ke keadaan lainnya. Dengan mengulang perkalian vector dengan matriks transisi, kita dapat mengestimasi perubahan keadaan setiap saat. 12

5. 1 Syarat-syarat untuk Nonsigularitas Matriks Syarat Cukup vs Syarat Perlu • p benar hanya jika pernyataan q benar : p → q (dibaca : “p hanya jika q”) • p dapat dikatakan benar meskipun q tidak benar : p ← q (dibaca : “p jika q” atau dapat juga dibaca “Jika q, maka p”) • q adalah kedua-duanyauntuk terjadinya p: p ↔ q (dibaca: “p jika dan hanya jika q”) Syarat untuk Nonsingularitas Jika syarat tersebut, yakni bentuk kuadrat dan bebas secara linear diambil bersama, hal itu merupakan syarat yang diperlukan dan cukup untuk terjadinya non singular (nonsingular ↔ bentuk kuadrat dan bebas secara linier) Rank (Peringkat) Matriks Berikut tiga jenis operasi baris dasar pada sebuah matriks ; • Pertukaran dari dua baris di dalam matriks • Perkalian (atau pembagian) dari sebuah baris dengan skalar apa pun k 0 • Penambahan dari ‘k dikali dengan baris manapun” kepada baris yang lain 13

5. 2 Pengujian Nonsigularitas dengan menggunakan determinan Lambang determinan matrik A adalah det(A) atau A Matriks Berordo 3 x 3 Det(A 3 x 3) = a 11 a 22 a 33 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a 31 Menghitung determinan Orde-n dengan Ekspansi Laplace Nilai determinan |A| dari orde-n dapat dicari dengan ekspansi Laplace untuk baris atau kolom manapun sebagai berikut : |A| = = ij|Cij| [ekspansi dengan baris ke-i] ij|Cij| [ekspansi dengan kolom ke-j] 14

5. 3 Sifat – Sifat Dasar Determinan 1. det(AB)=det(A)det(B) 2. det(A’)=det(A) 3. Jika Anxn, maka det(k. A)=kndet(A) 4. det(A-1)=1/det(A) 5. Jika A memuat baris nol atau kolom nol, maka det(A)=0 6. Jika A memuat dua baris yang saling berkelipatan atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka det(A)=0 7. Terhadap operasi baris elementer, determinan mempunyai sifat, sebagai berikut: a) Jika A’ diperoleh dari A dengan cara mengalikan satu baris dari A dengan konstanta k 0, maka det(A’)=k det(A) b) Jika A’ diperoleh dari A dengan menukar dua baris, maka det(A’) = - det(A) c) Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menjumlahkan kelipatan satu baris dengan baris yang lain, maka det(A’)=det(A) 15

Kriteria Determinan untuk Nonsingularitas Jika diketahui sistem persamaan linear Ax d, dimana A adalah matriks koofisien n x n, |A| ≠ 0 ↔ ada kebebasan baris (kolom) dalam matriks A ↔ A nonsingular ↔ ada A-1 ↔ ada satu jawaban tunggal x* = A-1 d Rank Dari suatu Matriks Didefinisikan Kembali Rank dari matriks manapun adalah bilangan tunggal. Rank paling tinggi adalah m atau n, yang mana yang terkecil, karena suatu determinan hanya ditentukan untuk matriks kudarat, dan dari matriks berdimensi. Dalam simbol hal ini dapat ditulis sebagai berikut : r(A) min {m, n} (dibaca : “Rank A lebih kecil atau sama dengan minimum dari himpunan dua bilangan m dan n”) 16

5. 4 Mencari Matriks Invers 1. Ekspansi/Perluasan determinan dengan Kofaktor yang Berbeda ij|Ci’j|= 0 (i ) [ekspansi dengan baris ke-I dan kofaktor dengan baris ke-i’] ij|Cij’|= 0 (j j’) [ekspansi dengan kolom ke-j dan kofaktor dengan kolom ke-j’] 2. Pembalikan Matriks Cara untuk membalik matriks A/mencari A-1: • Cari |A|, syarat : |A| 0 • Hitung kofaktor semua elemen A dan susun sebegai matriks C = [|Cij|] • Gunakan tranpos C untuk menemukan adjoint A • Bagi adjoint A dengan determinan |A| Kesimpulan : A-1 = adj A 17

5. 5 Aturan Cramer Derivasi aturan Cramer Menurut Rumus Invers : x* = A-1 d = (adj A)d Menurut Aturan Cramer : x*j = 5. 6 Penerapan Pada Model Pasar dan Pendapatan Nasional Model Pasar P 1 * = = c 2ɤ 0 – c 0 ɤ 2 P 2* = = c 0ɤ 1 – c 1 ɤ 0 c 1ɤ 2 – c 2ɤ 1 Model Pendapatan Nasional Y* = 1 C* 1 – b I 0 + G 0 + a b(I 0 + G 0) + a 18

5. 7 Model Input-Output Leontief Matriks Leontief adalah sebagai berikut : I – A = 1. Susunan Model Input-Output output Input I II III … N 2. Model terbuka Agar permintaan akhir dan input ada, kita harus memasukkan dalam model suatu sector terbuka diluar jaringan n industry. Secara simbolis fakta ini dapat dinyatakan dengan : ij < 1 (j = 1, 2 , …, n) 3. Pengertian Ekonomi dari Kondisi Hawkins-Simon, |B 2| > 0, mensyaratkan bahwa : (1 – a 11) > 0 atau a 11 < 1 Bagian lain dari kondisi |B 2|> 0 mensyaratkan bahwa : (1 – a 11)(1 – a 22) – a 12 a 21 > 0 atau secara ekuivalen a 11 + a 12 a 21 + (1 – a 11)a 22 < 1 19

4. Model tertutup Dalam model tertutup, tidak ada lagi input primer, jadi jumlah setiap kolom dalam matriks koofisien input A sekarang harus benar-enar sama dengan 1; yaitu a 0 j + aij + a 2 j + a 3 j = 1, atau : A 0 j = 1 – a 1 j – a 2 j – a 3 j 5. 8 Keterbatasan Analisis Statis Tipe analisis statis gagal memperhitungkan dua permasalahan penting. Pertama karena proses penyesuaian memerlukan waktu lama untuk penyelesaiannya maka keadaan ekuilibrium seperti yang telah ditentukan dalam kerangka analisis statis tertentu dapat hilang relevansinya, bahkan sebelum keadaan ekuilbrium tercapai, bila kekuatan eksogen dalam model waktu itu mengalami perubahan. Kedua, meskipun proses penyesuaian memperkenankan menempuh jalannya sendiri, keadaan ekuilibrium yang digambarkan dalam analisis statis mungkin seluruhnya tak dapat dicapai. Sehingga menyebabkan kasus yang disebut ekuilibirum tak stabil. Masingmasing secara jelas mengisi perbedsaam yang nyata dalam analisis statis sehingga penting sekali untuk menyelidiki ke dalam daerah analisis tersebut. 20