Modalidad no escolarizada ESTADSTICA DISTRIBUCIN CONTINUA DE PROBABILIDAD

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE PROBABILIDAD Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA Dentro de este tema se considerara otro tipo de variables las cuales se habían mencionado anteriormente, conocidas como variables aleatorias continuas. Este tipo de variables son conocidas por que pueden tomar un número infinito de posibles valores y los valores pueden diferir uno de los otros por cantidades infinitesimales. Sus distribuciones son distribuciones continuas. La distribución normal es la mas importante y la mas frecuentemente utilizada de estas distribuciones continuas. Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA Distribución normal La distribución normal se puede representar a través de una gráfica que tiene forma de campana y recibe el nombre de distribución de Gauss, gaussiana o curva normal. La varianza y la desviación estándar indican si existe La curva normal dependealguna dispersión entre los de 2 parámetros la datos y de que magnitud es media(μ) y la desviacióntal dispersión en caso de que estándar(�) se presente. La media señala la parte central de la distribución y es ahí donde se espera esté la mayor parte de los datos con el fin de que no haya una gran dispersión entre ellos. � μ Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA La distribución normal es elaborada a partir de una distribución muestral, que consiste en tomar muchas muestras de una misma población, se calculan sus medias muéstrales �y se representan gráficamente. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL La distribución muestral de un estadístico, es la distribución de los valores tomados por él en todas las muestras posibles de igual tamaño de la misma población. Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA Características de la distribución normal La curva tiene forma de campana y presenta un punto máximo que se encuentra en el centro de la distribución, en ese punto la media, mediana y moda son iguales. Es simétrica con respecto a la media de la distribución, es decir, el índice de asimetría de la distribución normal es cero. . � μ La curva normal se extiende horizontalmente de(-∞ a+∞) El área total bajo la curva normal se considera que es de 100% ya que la suma de las probabilidades a lo largo de la distribución es 1 Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA Cada distribución normal es completamente especificada por su media y su desviación estándar, existiendo una distribución normal diferente para cada combinación de media y desviación estándar, dependiendo del grado de dispersión que exista. Un valor pequeño de σ significa que la curva normal es una campana delgada y picuda Un valor grande de σ significa que la curva normal es una campana ancha y aplanada La dispersión hace que la curva sea más elevada o más achatada Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA , La variación del parámetro μ ocasiona un desplazamiento de la gráfica a la izquierda para valores negativos y a la derecha para valores positivos. La Figura siguiente muestra el efecto descrito para las σ=1, y tres diferentes medias μ=-2, μ=0, μ=2. Figura. Efecto de desplazamiento para σ=1, μ=-2, μ=0, μ=2 Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA La ecuación de una curva con forma de campana esta dada por Como se menciono anteriormente, la distribución Normal depende de dos parámetros el valor esperado o media y la desviación típica , por lo que para cada uno de los valores de estos parámetros se tiene una gráfica diferente como se observo anteriormente. Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA Debido al hecho de que la curva normal presenta la distribución probabilística de una variable aleatoria continua, es imposible referirse a un punto en particular sobre la curva como probabilidad de x. Para determinar probabilidades es necesario hacer referencia a intervalos tales como el intervalo a y b. El área sombreada bajo la curva proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria tome cualquier valor entre a y b, y se obtiene hallando el área bajo la curva a partir de la siguiente integral a b Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA De acuerdo a la integral anterior se sabe que resultaría complicado el cálculo de las probabilidades, debido a que hay De la formula se obtiene conclusiones un número infinitamente grandelas desiguientes distribuciones normales para cada μ yσ, pero como es de suponerse se requiere de algún método con el que no se tengan que resolver integrales para ØCuando esμmenor que la media μ, el valor de z es diferentes valoresxde y σ. negativo. El Ø problema se resuelve convirtiendo curvasde z es Cuandoanterior x es mayor que la media μ, el valor normales de formas y posiciones diferentes, en una sola positivo. curva normal estándar, con el cambio de variable aleatoria al cual se le llama estandarización de la variable X a unidades en Z. x =μ, el valor de z =0 ØCuando Una variable aleatoria se estandariza al expresar su valor como el número de desviaciones estándar (z), a la izquierda o a la derecha de su media(μ). Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA Construcción de la curva normal estándar Por lo tanto si μ=4 y σ=1, un valor de x=2 se convierte en z=-2, indicando que este valor de variable aleatoria esta a 2 desviaciones estándar debajo de la media como Las curvas normales se pueden convertir en una curva normal estándar mostrada en el panel inferior. Cada valor real x, de la variable aleatoria normal se convierte en un valor estandarizado z. Del mismo modo, cuando μ=12 y σ=2, un valor de x=14 se convierte en z =1, indicando una distancia de una desviación estándar arriba de la media. se muestra a continuación. Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA El área bajo la curva normal estándar se puede consultar en tablas respectivas para los valores más comúnmente utilizados. Las tablas disponibles en general solo abarcan un rango para la variable tipificada de -3. 4 Z 3. 4, esto es debido a que la probabilidad de valores de Z mayores que 3. 4 y menores que -3. 4 tienen una probabilidad muy baja, y la probabilidad el área o bajo la curva normal estándar es prácticamente 1. Distribución normal estandarizada μ=0 σ=1 Área bajo la curva=1 http: //www. disfrutalasmatematicas. com/datos/distribucion-normalestandar. htm l La variable Z es conocida como variable tipificada Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA Uso de tablas de Distribución Normal Acumulada Las puntuaciones z se enlistan en el renglón superior, donde se muestran los dos centésimos. Las puntuaciones z se enlistan en la columna del lado izquierdo donde se muestran las unidades y décimos. Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA También se puede determinar el área bajo la curva normal, en base a la 2 regla empírica que plantea 3 aseveraciones: 1 Aproximadamente el 95% Aproximadamente el 68% del área bajo la curva esta comprendida en un intervalo de μ- σ hasta μ+σ. 3 Aproximadamente el 99% de los valores se encuentran en un rango que comprende μ ± 3σ, es decir 99% de los datos se encuentran a una distancia de 3 desviaciones estándar de los valores se encuentran en un rango que comprende μ ± 2σ, es decir 95% de los datos se encuentran a una distancia de 2 desviaciones estándar. μ 2σ • 3σ σ 68. 27% 95. 45% 99. 73% σ Lincoln L. Chao. Introducción a la Estadística. California State University. México, 2002 Ed. Continental. Décima séptima reimpresión. pp. 218 2σ 3σ Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA A esto se le conoce como Teorema de límite Central Teorema de límiten. Central Todo lo explicado anteriormente hace referencia a una población que presenta una distribución normal, pero ¿Qué hacer en el caso de que la distribución poblacional no sea normal? n n n Si �es la media de una muestra aleatoria simple tomada de una población grande de valores x, y si los valores de la población N no están totalmente distribuidos, la distribución de � , sin embargo, se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño muestral n, siempre y cuando el tamaño de la muestra sea grande n >30. Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA El teorema de límite central nos permite utilizar los cálculos de probabilidad de una población normal, para responder a preguntas sobre las medias muéstrales de muchas observaciones, incluso cuando la distribución de la población no es normal. Medidas de distribución muestral de � Distribución muestral de la media muestral = = = μ Por lo anterior la variable tipificada para determinar la probabilidad de la variable aleatoria es Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA Aproximación de la distribución binomial mediante la distribución normal. En esta sección se muestra la forma en que las probabilidades relativas a una distribución binomial pueden estimarse razonablemente utilizando la distribución normal. Con ayuda de la siguiente figura se explicará mas claramente. Los rectángulos representan probabilidades para los diferentes valores de la variable aleatoria binomial x, en cada histograma. Conforme aumenta el valor de n, los rectángulos se vuelven mas angostos, y cuando tiende a infinito se tienen rectas verticales sin espacio entre ellas y la distribución se convierte en una curva normal en forma de campana. Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA La variable aleatoria binomial x es el número de éxitos en n ensayos. La tendencia de la binomial a acercarse a la distribución normal se vuelve mas rápida y pronunciada cuando la probabilidad de éxito o p, es cercana a 0. 5. A pesar de esto la tendencia seguirá existiendo cuando p tome otros valores. En realidad siempre que n sea suficientemente grande, es posible aplicar la distribución normal como aproximación a la binomial sin importar el valor de p. Una regla práctica para la aproximación a la normal es que tanto np como n(1 -p) sean mayores de 5. Ya que la distribución normal tiene dos parámetros, la media(μ) y la varianza( ), es necesario identificar ambos parámetros en la variable aleatoria binomial x, siempre que se intente una aproximación a la normal. Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA Ejemplo: La aproximación se puede llevar a cabo para un numero menor siempre y cuando el producto de np y n(1 -p) sea mayores a 5, por ejemplo para el caso n=15 y p=0. 4 se tiene que np= 6 y n(1 -p) =9. 6, entonces es posible aproximar la distribución binomial mediante la distribución normal para este caso. La figura siguiente muestra la distribución binomial y la normal para n = 15 y p = 0. 4. Figura. Aproximación de la binomial mediante la distribución normal, n =15 y p =0. 4 Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA Ejemplo: Si ahora n=15 y p=0. 3 se tiene que np= 4. 5 y n(1 -p)= 10. 5, entonces, para este caso no es adecuado aproximar la distribución binomial mediante la distribución normal. La figura siguiente muestra la distribución binomial y la normal para n = 15 y p = 0. 3. Para obtener una buena aproximación normal se requerirá un n mucho mayor, por ejemplo, para n=30 y p=0. 3 se tiene que np= 9 y n(1 -p)= 21, y entonces si es posible aproximar la distribución binomial mediante la normal. Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA Bibliografía • Gálvez Coyt Gonzalo. Apuntes de Probabilidad y Estadística. 2009. pp. 86 -89, 94, 95, 97, 98 • Orozco Lira Godfrey, Carballo Pérez Alfonso. Estadística I. Universidad Tecnológica de México. Ed. INITE. 3 raedición. pp. 358, 359 • Lincoln L. Chao. Introducción a la Estadística. California State University. México, 2002 Ed. Continental. Décima séptima reimpresión. pp. 211, 213, 242, 243 • Weimer Richard C. Estadística. Compañía Editorial Continental. México, 2005. 8ªreimpresión. pp. 298. • Mendenhall William, Beaver Robert J. , Beaver Barbara M. Introducción a la Probabilidad y Estadística. México, 2007. Ed. Cengage Learning. Décimo segunda edición. pp. 225. • Heinz Kohler. Estadística para negocios y economía. México , 1996. Ed. Continental. Primera edición en español. pp. 252, 253 • Moore David S. Estadística Básica Aplicada. Barcerlona, 2000. Ed. Mozart Art. Segunda edición. pp. 303, 305, 310, 311 Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

Modalidad no escolarizada ESTADÍSTICA Elaboró: Ing. Nayeli L. Villegas Juárez