Mocniny a odmocniny RNDr Ji Kocourek Mocnina s

  • Slides: 41
Download presentation
Mocniny a odmocniny RNDr. Jiří Kocourek

Mocniny a odmocniny RNDr. Jiří Kocourek

Mocnina s přirozeným mocnitelem (exponentem) Zjednodušený zápis pro vícenásobný součin stejných čísel: 3· 3

Mocnina s přirozeným mocnitelem (exponentem) Zjednodušený zápis pro vícenásobný součin stejných čísel: 3· 3 = = – 32 (– 5)·(– 5) = (– 5)4 1 1 1 – · – 1· – 3 2 2

Mocnina s přirozeným mocnitelem (exponentem) Zjednodušený zápis pro vícenásobný součin stejných čísel: 3· 3

Mocnina s přirozeným mocnitelem (exponentem) Zjednodušený zápis pro vícenásobný součin stejných čísel: 3· 3 = = – 32 (– 5)·(– 5) = (– Pro libovolné reálné číslo a 5)4 1 1 1 – · – 1· – 3 2 2 a libovolné přirozené číslo an = a · a ·. . · a n - krát n je:

Mocnina s přirozeným mocnitelem (exponentem) Zjednodušený zápis pro vícenásobný součin stejných čísel: 3· 3

Mocnina s přirozeným mocnitelem (exponentem) Zjednodušený zápis pro vícenásobný součin stejných čísel: 3· 3 = = – 32 (– 5)·(– 5) = (– Pro libovolné reálné číslo a 5)4 1 1 1 – · – 1· – 3 2 2 a libovolné přirozené číslo n je: an = a · a ·. . · a n - krát a. . . základ (mocněnec) n. . . exponent (mocnitel)

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a platí: • a 1 = a

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a platí: • a 1 = a • a 0 = 1 • 1 n = 1· 1· 1·. . · 1 = 1 • 0 n = 0· 0· 0·. . · 0 = 0 • 00 není definováno

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n,

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s ar · as = platí:

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n,

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s ar · as = a · a ·. . · a r – krát s – krát platí:

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n,

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: ar · as = a · a ·. . · a = a(r + s) r – krát s – krát

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n,

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: ar · as = a · a ·. . · a = a(r + s) r – krát (ar) s = s – krát

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n,

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: ar · as = a · a ·. . · a = a(r + s) r – krát s – krát (ar) s = a ·. . · a r – krát s – krát r – krát

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n,

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: ar · as = a · a ·. . · a = a(r + s) r – krát s – krát (ar) s = a ·. . · a = a(r · s) r – krát s – krát r – krát

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n,

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: ar · as = a · a ·. . · a = a(r + s) r – krát s – krát (ar) s = a ·. . · a = a(r · s) r – krát s – krát a=0; r>s ar = as r – krát

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n,

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: ar · as = a · a ·. . · a = a(r + s) r – krát s – krát (ar) s = a ·. . · a = a(r · s) r – krát s – krát a=0; r>s r – krát s – krát a ·. . ·a ar = as a ·. . · a s – krát

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n,

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: ar · as = a · a ·. . · a = a(r + s) r – krát s – krát (ar) s = a ·. . · a = a(r · s) r – krát s – krát a=0; r>s r – krát s – krát (r – s) – krát a ·. . ·a ar = a ·. . ·a = s a a ·. . · a s – krát

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n,

Počítání s mocninami Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolná přirozená čísla n, r, s platí: ar · as = a · a ·. . · a = a(r + s) r – krát s – krát (ar) s = a ·. . · a = a(r · s) r – krát s – krát a=0; r>s r – krát s – krát (r – s) – krát a ·. . ·a ar (r – s) = a ·. . ·a = as a ·. . · a s – krát

Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo

Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo n an · bn = platí:

Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo

Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo n an · bn = a · a ·. . · a · b · b ·. . · b = n – krát platí:

Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo

Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo n platí: an · bn = a · a ·. . · a · b · b ·. . · b = n – krát = a · b ·. . · a · b n – krát

Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo

Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo n platí: an · bn = a · a ·. . · a · b · b ·. . · b = n – krát = a · b ·. . · a · b = (a · b)n n – krát

Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo

Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo n platí: an · bn = a · a ·. . · a · b · b ·. . · b = n – krát = a · b ·. . · a · b = (a · b)n n – krát b=0 an = n b

Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo

Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo n platí: an · bn = a · a ·. . · a · b · b ·. . · b = n – krát = a · b ·. . · a · b = (a · b)n n – krát b=0 n – krát an a · a ·. . · a = n b b · b ·. . · b n – krát

Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo

Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo n platí: an · bn = a · a ·. . · a · b · b ·. . · b = n – krát = a · b ·. . · a · b = (a · b)n n – krát b=0 n – krát an a · a ·. . · a a = = · ·. . · n b b b · b ·. . · b n – krát

Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo

Počítání s mocninami Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo n platí: an · bn = a · a ·. . · a · b · b ·. . · b = n – krát = a · b ·. . · a · b = (a · b)n n – krát b=0 n – krát an a · a ·. . · a a a = = · ·. . · = n b b b · b ·. . · b n – krát n

Pravidla pro počítání s mocninami (s přirozeným exponentem) Pro libovolná reálná čísla a, b

Pravidla pro počítání s mocninami (s přirozeným exponentem) Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolná přirozená čísla n, r, s (ar) s = a(r · s) ar · as = a(r + s) ar (r – s) = a as an · bn = (a · b)n platí: ; a=0; r>s an a = n b b n ; b=0

Pravidla pro počítání s mocninami (s přirozeným exponentem) Pro libovolná reálná čísla a, b

Pravidla pro počítání s mocninami (s přirozeným exponentem) Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolná přirozená čísla n, r, s (ar) s = a(r · s) ar · as = a(r + s) ar (r – s) = a as an · bn = (a · b)n platí: ; a=0; r>s an a = n b b n Poznámka: Pro součet či rozdíl mocnin (tedy pro výrazy typu ar žádné obecné vzorce neexistují. ; b=0 + as , ar – as , atd. )

Zobecnění pojmu mocnina pro jiné než přirozené exponenty Mocninu již v tomto případě nelze

Zobecnění pojmu mocnina pro jiné než přirozené exponenty Mocninu již v tomto případě nelze definovat jako vícenásobný součin. Základní myšlenka zobecnění: Aby měla definice smysl, je nutné zachovat platnost všech pravidel pro počítání s mocninami.

Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené

Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n: a 0 =

Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené

Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n: a 0 = a(n – n)

Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené

Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n: n a a 0 = a(n – n) = n a a=0

Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené

Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n: n a a 0 = a(n – n) = n = 1 a a=0

Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené

Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n: n a a 0 = a(n – n) = n = 1 a a=0 a –n =

Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené

Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n: n a a 0 = a(n – n) = n = 1 a a=0 a –n = a(0 – n)

Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené

Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n: n a a 0 = a(n – n) = n = 1 a a –n = a(0 – n) = a 0 an a=0

Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené

Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a a pro libovolné přirozené číslo n: n a a 0 = a(n – n) = n = 1 a a –n = a(0 – n) a 0 1 = n= n a a a=0

Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a=0 a libovolné celé číslo

Mocnina s celým mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a=0 a libovolné celé číslo a 0 = 1 a –n 1 = n a n je:

Pravidla pro počítání s mocninami s celým exponentem Pro libovolná reálná čísla a, b

Pravidla pro počítání s mocninami s celým exponentem Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolná celá čísla an · bn = (a · b)n platí: (ar) s = a(r · s) ar · as = a(r + s) ar (r – s) = a as n, r, s ; a=0 an a = n b b n ; b=0

Pravidla pro počítání s mocninami s celým exponentem Pro libovolná reálná čísla a, b

Pravidla pro počítání s mocninami s celým exponentem Pro libovolná reálná čísla a, b a pro libovolná celá čísla an · bn = (a · b)n platí: (ar) s = a(r · s) ar · as = a(r + s) ar (r – s) = a as n, r, s ; a=0 an a = n b b n ; b=0 Poznámka: Všechna pravidla zůstávají v platnosti, dokonce již nemusíme požadovat podmínku r > s u pravidla pro podíl mocnin.

Odmocnina z reálného čísla: Druhá odmocnina: Pro libovolné nezáporné číslo a: a = k

Odmocnina z reálného čísla: Druhá odmocnina: Pro libovolné nezáporné číslo a: a = k Û k 2 = a ; k>0

Odmocnina z reálného čísla: Druhá odmocnina: Pro libovolné nezáporné číslo a: a = k

Odmocnina z reálného čísla: Druhá odmocnina: Pro libovolné nezáporné číslo a: a = k Û k 2 = a ; k>0 n – tá odmocnina: Pro libovolné nezáporné číslo n a, pro libovolné přirozené číslo n: a = k Û kn = a ; k>0

Mocnina s racionálním mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a>0 a libovolná přirozená čísla

Mocnina s racionálním mocnitelem (exponentem): Pro libovolné reálné číslo a>0 a libovolná přirozená čísla 1 n r as s an = = a ar n, r, s je:

Pravidla pro počítání s mocninami s racionálním exponentem Pro libovolná nezáporná reálná čísla a,

Pravidla pro počítání s mocninami s racionálním exponentem Pro libovolná nezáporná reálná čísla a, b a pro libovolná racionální čísla n, r, s (ar) s = a(r · s) ar · as = a(r + s) ar (r – s) = a as an · bn = (a · b)n ; a=0 an a = n b b n ; b=0 platí: