Mnoina bod dan vlastnosti Mnoina vech bod majcch
Množina bodů dané vlastnosti Množina všech bodů majících danou vzdálenost od daného bodu. Autor obrázků © Mgr. Radomír Macháň Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Budeme se zabývat množinami (skupinami) bodů, které spojuje nějaká společná vlastnost. Tato vlastnost je pro všechny body této množiny (skupiny) charakteristická a body, které tuto vlastnost nemají, do této množiny (skupiny) nepatří. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Množinou M všech bodů dané vlastnosti V rozumíme takový geometrický útvar G, jehož všechny body splňují následující dvě podmínky: 1) Každý bod útvaru G má danou vlastnost V. 2) A obráceně, každý bod, který má danou vlastnost V, je bodem útvaru G. Co říkáte? Že tomu nerozumíte? Ano. Vypadá to složitě jako většina (nejen) matematických definicí. Ve skutečnosti v tom však nic složitého hledat nemusíte. Však uvidíte sami na konkrétních základních množinách bodů dané vlastnosti, o nichž se postupně budeme učit. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Pokusíme se problematiku množin bodů dané vlastnosti nejprve osvětlit na příkladu, který s geometrií vůbec nesouvisí. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu všech přirozených čísel. Tzn. že máme čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … Př. 1: Zapište množinu (skupinu) všech přirozených čísel menších než 10. Máme tedy vypsat jen ta přirozená čísla, která splňují danou podmínku: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Vypsali jsme množinu všech přirozených čísel splňujících jednu zadanou podmínku (majících danou vlastnost): jsou menší než 10. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu všech přirozených čísel. Tzn. že máme čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … Př. 2: Zapište množinu (skupinu) všech přirozených čísel menších než 10, která jsou zároveň čísly složenými. Máme tedy vypsat jen ta přirozená čísla, která splňují dané podmínky: 4, 6, 8, 9 Vypsali jsme množinu všech přirozených čísel splňujících dvě zadané podmínky (mající dvě dané vlastnosti): 1) jsou menší než 10 2) jsou to složená čísla Pokud byste si to už nepamatovali, jsou to čísla, která jsou dělitelná beze zbytku minimálně ještě jedním číslem kromě jedničky a sama sebou. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu všech přirozených čísel. Tzn. že máme čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … Př. 3: Zapište množinu (skupinu) všech přirozených čísel menších než 10, která jsou zároveň čísly složenými a sudými. Máme tedy vypsat jen ta přirozená čísla, která splňují dané podmínky: 4, 6, 8 Vypsali jsme množinu všech přirozených čísel splňujících tři zadané podmínky (mající tři dané vlastnosti): 1) jsou menší než 10 2) jsou to složená čísla 3) jsou to sudá čísla Pokud byste si to už nepamatovali, jsou to čísla, která jsou dělitelná beze zbytku číslem 2. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Věřím, že už jste pojem množina prvků (čísel) dané vlastnosti dostatečně pochopili, a proto již přejdeme ke konkrétním, v geometrii nejčastěji používaným množinám bodů dané vlastnosti. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Tak nejprve k čemu nám znalost množin bodů dané vlastnosti bude. Při řešení konstrukčních úloh vždy hledáme dvě i více množin, z nichž každá je množinou všech bodů jisté vlastnosti požadované v zadání úlohy, a každý společný bod (průnik) hledaných množin pak vede k řešení úlohy samotné. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Tak, a teď už se podívejte na následující snímek. Je na něm kružnice k se středem S a poloměrem 4 centimetry… k (S; r = 4 cm). Navíc pak ještě pár bodů. Obrázek si dobře prohlédněte a odpovězte na následující otázky. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti 1) Co můžeme říci o bodech A, B, C? 2) Jak byste popsali jejich vlastnost vzhledem k bodu S? 3) Které další body mají tutéž vlastnost? Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti 1) Co můžeme říci o bodech A, B, C? Všechny leží na kružnici k. 2) Jak byste popsali jejich vlastnost vzhledem k bodu S? Všechny mají od středu kružnice, bodu S, stejnou vzdálenost rovnou poloměru r kružnice k – je to jejich společná vlastnost. 3) Které další body mají tutéž vlastnost? F, I, N, O Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti 4) Má bod D také stejnou vlastnost jako předcházející body? 5) A co bod E? 6) Které další body nemají od bodu S vzdálenost rovnu poloměru kružnice k, tedy 4 cm? Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti 4) Má bod D také stejnou vlastnost jako předcházející body? Nemá, jeho vzdálenost od středu S kružnice k je větší než poloměr kružnice r, tzn. větší než 4 cm. Bod D tedy neleží na kružnici k. 5) A co bod E? Jeho vzdálenost je zase naopak menší než 4 cm. 6) Které další body nemají od bodu S vzdálenost rovnu poloměru kružnice k, tedy 4 cm? G, H, J, K, L, M Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti r r r r Co tedy na základě předcházejících otázek a odpovědí můžeme o kružnici říci? Co to vlastně kružnice je? Kružnice k (S; r) je množina všech bodů X roviny, které mají od bodu S vzdálenost r. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Nyní to otočíme a sestrojíme kružnice o poloměru 4 cm se středy ve zkoumaných bodech na kružnici. Co můžeme říci o sestrojených kružnicích? Jakou společnou vlastnost mají? Co je množinou středů všech takových kružnic, které mají stejný poloměr a procházejí jedním daným společným bodem? Je to kružnice se středem v daném bodě a o stejném poloměru, jaký mají zkoumané kružnice. Kružnice k(S; r) je také množinou všech středů kružnic, jež mají daný poloměr r a procházejí daným bodem S. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Pár příkladů k procvičení Sestrojte množiny všech bodů, jejichž vzdálenost od bodu A je: (Pozor na jednotky!) 1) 2 cm; 2) 25 mm; 3) 0, 4 dm Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Pár příkladů k procvičení Sestrojte množiny všech bodů, jejichž vzdálenost od bodu A je: 1) 2 cm; 2) 25 mm; 3) 0, 4 dm Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Užití „množin bodů“ v konstrukčních úlohách. Př. : Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém a = 5 cm, b = 7 cm, c = 8 cm. Náčrt a rozbor: Průsečík narýsovaných množin bodů (kružnic) Množina všech splňuje obě podmínky bodů, které mají zadání zároveň, tzn. od bodu B že je hledaným bodem vzdálenost. C. danou Množina všech bodů, které mají od bodu A vzdálenost danou k stranou b, tj. 7 cm. C stranou a, tj. 5 cm. b=7 cm a=5 cm c=8 cm l Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Postup a konstrukce: 1. AB; AB = c = 8 cm 2. k; k(B; a = 5 cm) 3. l; l(A; b = 7 cm) 4. C; C k l 5. Trojúhelník ABC l k C p A B Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Výsledný trojúhelník Úloha má jedno řešení. (v polorovině určené úsečkou AB a bodem C) Konstrukci proměříme, zda odpovídá zadání a trojúhelník vytáhneme silněji. A takto vypadá celá konstrukce. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Pár příkladů k procvičení – příklad č. 1 Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže: a = 3 cm, b = 6 cm, c = 5 cm Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Pár příkladů k procvičení – příklad č. 2 Sestrojte trojúhelník OPQ, jestliže: o = 5 cm, p = 9 cm, q =5 cm Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Pár příkladů k procvičení – příklad č. 3 Sestrojte trojúhelník XYZ, jestliže: x = 45 mm, y = 6 cm, z = 35 mm Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Tak přesnou ruku při rýsování! Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
- Slides: 25