Mnoina bod dan vlastnosti Mnoina vech bod kter
Množina bodů dané vlastnosti Množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od dvou různoběžných přímek. Autor obrázků © Mgr. Radomír Macháň Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Budeme se zabývat množinami (skupinami) bodů, které spojuje nějaká společná vlastnost. Tato vlastnost je pro všechny body této množiny (skupiny) charakteristická a body, které tuto vlastnost nemají, do této množiny (skupiny) nepatří. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Množinou M všech bodů dané vlastnosti V rozumíme takový geometrický útvar G, jehož všechny body splňují následující dvě podmínky: 1) Každý bod útvaru G má danou vlastnost V. 2) A obráceně, každý bod, který má danou vlastnost V, je bodem útvaru G. Co říkáte? Že tomu nerozumíte? Ano. Vypadá to složitě jako většina nejen matematických definicí. Ve skutečnosti v tom však nic složitého hledat nemusíte. Však uvidíte sami na konkrétních základních množinách bodů dané vlastnosti, o nichž se postupně budeme učit. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Pokusíme si však problematiku množin bodů dané vlastnosti nejprve osvětlit na příkladu, který s geometrií vůbec nesouvisí. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu všech celých čísel. Tzn. že máme čísla: … -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … Př. 1: Zapište množinu (skupinu) všech nezáporných celých čísel. Máme tedy vypsat jen ta celá čísla, která splňují danou podmínku: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … Vypsali jsme množinu všech celých čísel splňujících jednu zadanou podmínku (majících danou vlastnost): jsou nezáporná. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu všech množinu (skupinu) všech nezáporných celých čísel. Tzn. že máme čísla: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … Př. 2: Zapište množinu (skupinu) všech celých kladných čísel. Máme tedy vypsat jen ta celá čísla, která splňují danou podmínku: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … Vypsali jsme množinu všech celých čísel splňujících jednu zadanou podmínku (majících danou vlastnost): jsou kladná. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu (skupinu) všech celých kladných čísel. Tzn. že máme čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … Př. 2: Zapište množinu (skupinu) všech celých kladných čísel menších než devět. Máme tedy vypsat jen ta celá čísla, která splňují dané podmínky: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Vypsali jsme množinu všech celých čísel splňujících dvě zadané podmínky (mající dvě dané vlastnosti): 1) jsou kladná 2) jsou menší než 9. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu (skupinu) všech celých kladných čísel menších než devět. Tzn. že máme čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Př. 2: Zapište množinu (skupinu) všech celých sudých kladných čísel menších než devět. Máme tedy vypsat jen ta celá čísla, která splňují dané podmínky: 2, 4, 6, 8 Vypsali jsme množinu všech celých čísel splňujících tři zadané podmínky (mající tři dané vlastnosti): 1) jsou kladná 2) jsou menší než 9 3) jsou sudá. Pokud byste si to už nepamatovali, jsou to čísla, která jsou dělitelná beze zbytku číslem 2. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu všech celých sudých kladných čísel menších než devět. Tzn. že máme čísla: 2, 4, 6, 8 Př. 2: Zapište množinu (skupinu) všech celých sudých kladných čísel menších než devět, která jsou prvočísly. Máme tedy vypsat jen ta celá čísla, která splňují dané podmínky: 2 Vypsali jsme množinu všech celých čísel splňujících čtyři zadané podmínky (mající čtyři dané vlastnosti): 1) jsou kladná 2) jsou menší než 9 3) jsou sudá 4) jsou prvočísla. Čísla dělitelná beze zbytku jen jedničkou a samy sebou. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Doufám, že už jste pojem množina prvků (čísel) dané vlastnosti dostatečně dobře pochopili, a proto již přejdeme ke konkrétním v geometrii nejčastěji používaným množinám bodů dané vlastnosti. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Tak nejprve k čemu nám znalost množin bodů dané vlastnosti bude. Při řešení konstrukčních úloh vždy hledáme dvě i více množin, z nichž každá je množinou všech bodů jisté vlastnosti požadované v zadání úlohy a každý společný bod (průnik) hledaných množin pak vede k řešení úlohy samotné. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Tak a teď už se podívejte na následující snímek. Jsou na něm dvě různoběžky s průsečíkem V, dvěma vedlejšími úhly , a jejich osy. Na jedné z nich je navíc bod A. Obrázek si dobře prohlédněte a odpovězte na následující otázky. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti 1) Co udělá osa úhlu o 1 s úhlem ? Rozdělí jej na dva shodné úhly o velikosti 1/2. Do obrázku jsem dorýsoval dvě kolmice spuštěné na zadané různoběžky z bodu A. V průsečících těchto kolmic se zadanými různoběžkami vznikají body Y a Z. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti 2) Co můžeme říci o trojúhelnících VAY a AVZ? Jsou to shodné trojúhelníky. 3) Na základě které věty o shodnosti trojúhelníků si do dovolíme tvrdit? Věty uuu, to znamená, že se trojúhelníky shodují ve všech třech vnitřních úhlech. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou dvojicích úhlů, musí se vzhledem k vždy platícímu součtu všech tří vnitřních úhlů 180°, shodovat i ve dvojici třetí. Tyto dva jsou pravé, neboť vznikly při rýsování kolmic k zadaným různoběžkám. Jsou tedy také shodné. Tyto dva úhly jsou shodné, neboť vznikly rozdělením úhlu jeho osou na dva shodné úhly o velikosti 1/2. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti 4) Co platí pro vzdálenost bodu A od různoběžek p a q (ramen úhlu )? Je shodná, protože shodné trojúhelníky nemají shodné jen odpovídající si dvojice vnitřních úhlů, ale mají shodné i všechny tři dvojice odpovídajících si stran. Platí tedy: |AY| = |AZ| Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti 5) Dokážeme tedy již na základě uvedených zjištění říci, co to vlastně osa úhlu je? Jakou množinu bodů tvoří. Jakou vlastnost tyto body mají? Osy úhlů s rameny na různoběžkách p, q a s vrcholem v jejich průsečíku V tvoří množinu všech bodů, které mají od různoběžek p, q stejnou vzdálenost. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Množinou všech bodů, které mají od dvou různoběžných přímek stejnou vzdálenost, jsou osy úhlů vymezených těmito přímkami. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Dokažme si to ještě párkrát i měřením. |AG| = |AH| Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Dokažme si to ještě párkrát i měřením. |CI| = |CJ| Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Množina bodů dané vlastnosti Dokažme si to ještě párkrát i měřením. |BK| =|BL| Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Konstrukce osy úhlu - opakování. Zápis a konstrukce osy úhlu: 5. l; l(C; r = |CD|) 6. m; m(D; r = |CD|) 7. E; E l m 8. o; o = VE 1. Je dán úhel AVB 2. k; k(V; r) 3. C; C k VA 4. D; D k VB B k m D o E l V C A Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Osa úhlu Konstrukce osy úhlu ještě jednou krok za krokem. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Pár příkladů k procvičení Sestrojte množiny všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od přímek: 1) p a q; 2) q a r; 3) p a r Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Pár příkladů k procvičení Sestrojte množiny všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od přímek: 1) p a q; 2) q a r; 3) p a r Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Užití „množin bodů“ v konstrukčních úlohách. Př. : Sestrojte kružnici vepsanou trojúhelníku ABC. Naším úkolem je takovou kružnici Co je tedy množinou středů kružnic dotýkající se se třízároveň stran narýsovat. dotýkajících stran AB, BC i CA, tedy všech stran trojúhelníku? Nejdříve úkol alenás zjednodušíme. Jaký závěr toho pro plyne? Je sitozten průsečík ostedy úhlů Jak bychom narýsovali kružnici trojúhelníku. dotýkající se zopakujme jen dvou stran (dvou Nyní si totéž se stranami různoběžek) AB osu a CA? BC a CA. Platí totéž i pro třetího úhlu ABC? Středem kružnice Ano, platí. Představme si si takovou kružnici, kružnici. která se dotýká Představme trojúhelníku vepsané je stran BC a CA. průsečík os úhlů tohoto A jaký poloměr bude mít kružnice vepsaná? trojúhelníku. A představme si i další takové kružnice. Poloměr kružnice Poloměrem pak vepsané kolmá Cotrojúhelníku je množinou středů všech těchto jeprůsečíku roven kružnic, kolmé vzdálenost dotýkajících kružnic, dotýkajících se stran AB se stran a CA? BC a CA? vzdálenosti průsečíku os úhlů a kterékoliv strany (středu kružnice) a kterékoliv trojúhelníku. Jestrany to opět přímka – osa trojúhelníku. Je to přímka – osa úhlu CAB úhlu BCA. Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
A nyní již přikročíme ke konstrukci. Př. : Sestrojte kružnici vepsanou danému trojúhelníku ABC. Náčrt a rozbor: p o 2 Osa úhlu CAB, tzn. množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od stran b a c. Průsečík narýsovaných množin bodů (os úhlů) má stejnou vzdálenost od všech tří stran a, b, c, tzn. že je středem hledané kružnice. k Osa úhlu ABC, tzn. množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od stran a a c. o 1 S r X Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Zápis a konstrukce: 1. ABC (sss) 2. o 1; o 1 je osa úhlu CAB 3. o 2; o 2 je osa úhlu ABC 5. p; p AB S p 6. X; X p AB 7. k; k(S; r = |SX|) 4. S; S o 1 o 2 p C k o 1 S A X B Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Pár příkladů k procvičení – příklad č. 1 Sestroj kružnici vepsanou trojúhelníku ABC, jestliže: a = 5 cm, b = 7 cm, c = 6 cm Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Pár příkladů k procvičení – příklad č. 2 Sestroj kružnici vepsanou trojúhelníku OPQ, jestliže: o = 4 cm, p = 5 cm, q = 4 cm Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Pár příkladů k procvičení – příklad č. 3 Sestroj kružnici vepsanou trojúhelníku XYZ, jestliže: x = 55 mm, y = 8 cm, z = 60 mm Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Tak přesnou ruku při rýsování! Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
- Slides: 32