MMARLIK BLM STATK DERS KUVVET VEKTRLER Yrd Do

MİMARLIK BÖLÜMÜ STATİK DERSİ KUVVET VEKTÖRLERİ Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Skalerler ve Vektörler Skaler, pozitif veya negatif bir sayı ile karakterize edilen bir büyüklüktür. Kütle, hacim ve uzunluk statikte sıkça kullanılan skaler büyüklüklerdir. Vektör ise bir büyüklük ve bir doğrultuya sahip bir büyüklüktür. Statikte sık karşılan vektörel büyüklükler konum, kuvvet ve momenttir. Bir vektör elle yazılırken, genellikle, gibi bir harfin üstüne ok konarak ifade edilir. Dersimizde vektörler koyu harfle gösterilecek, yani A, ‘‘A’’ vektörünü ifade edecektir. Bir vektör, grafiksel olarak büyüklük, doğrultu ve yönünü tanımlamada kullanılan bir okla gösterilir. Vektörün büyüklüğü okun uzunluğuyla ifade edilir, doğrultusu bir referans ekseni ve okun etki çizgisi arasındaki açı ile tanımlanır ve yönü ok ucuyla gösterilir. Örneğin şekilde gösterilen A vektörü 4 birim uzunluğundadır, doğrultusu yatay ile saatin tersi yönde ölçülen 20°’dir ve yönü sağa ve yukarı doğrudur. 0 noktasına vektörün başlangıcı, P noktasına ucu denir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 2/48

Vektörel İşlemler Bir vektörün bir skalerle çarpımı veya bölümü yine aynı vektör doğrultusunda yeni bir vektör verir. Bu vektörün şiddeti, skaler ile mevcut vektörün şiddetinin çarpımına eşittir. Aynı tipten A ve B vektörü, paralelkenar kuralı kullanılarak toplanabilir ve R = A + B ‘‘bileşke’’ vektörü elde edilir. Bunun için, A ve B vektörleri başlangıç noktalarında birleştirilir. Her bir vektörün uçlarından çizilen paralel doğrular, bir noktada kesişerek paralelkenarın bitişik kenarlarını oluşturur. Şekilde gösterildiği gibi, R bileşkesi, A ve B’nin başlangıcından doğruların kesişim noktasına uzanan paralelkenarın köşegenidir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 3/48

Paralelkenar Kuralı B’yi A’ya, paralelkenar kuralının özel bir hali olan üçgen oluşturmayı kullanarak ta ekleyebiliriz. B vektörü ‘‘uç-başlangıç’’ usulü ile, yani A’nın ucu B’nin başlangıcına bağlanmak suretiyle A vektörüne eklenir. R bileşkesi A’nın başlangıcından B’nin ucuna uzanır. Benzer şekilde, R, A B’ye eklenerek de elde edilebilir. Sonuç olarak vektör toplamının değişme özelliğine sahip olduğu görülmektedir. Yani, R = A + B = B + A’dır. Üçgen Kuralı Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 4/48

Aynı tipten A ve B vektörleri arasındaki fark bileşke vektörü, R = A –B = A + (-B) olarak tanımlanır. Fark, toplamın bir özel hali olarak tanımlanmıştır. Paralelkenar Kuralı Üçgen Kuralı Bir vektör, paralelkenar kuralı kullanılarak etki çizgileri bilinen iki ‘‘bileşen’’e ayrılabilir. Şekildeki R vektörünü a ve b doğruları boyunca etkiyen bileşenlere ayırmak için R’nin ucundan başlayarak, b’yi kesinceye kadar a’ya paralel bir doğru çizilir. Bunun gibi, R’nin ucundan, a ile kesişinceye kadar b’ye paralel bir doğru çizilir. Daha sonra A ve B bileşeni R’nin başlangıcından kesişim noktalarına uzatılarak çizilir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 5/48

Kuvvetlerin Vektörel Toplamı Deneysel gözlemler, bir kuvvetin vektörel bir büyüklük olduğunu göstermiştir. Çünkü kuvvetler, belli bir büyüklük, doğrultu ve yöne sahiptir ve paralelkenar kuralına göre toplanır. Statikteki iki genel problem, bileşenlerden bileşke kuvveti bulmayı veya bilinen bir kuvveti iki bileşene ayırmayı içerir. İkiden fazla kuvvet toplanacaksa, bileşke kuvveti bulmak için paralelkenar kuralı arkaya uygulanabilir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 6/48

Soru Çözümlerinde İzlenecek Yol İki kuvvetin toplanmasını gerektiren ve en fazla iki bilinmeyen içeren problemler aşağıdaki iki yöntemle çözümlenebilir: Paralelkenar Kuralı Paralelkenar kuralını kullanarak vektör toplamını gösteren bir şekil çiziniz. Mümkün oluyorsa, problemin geometrisinden paralelkenarın iç açılarını belirleyiniz. Bu açıların toplamının 360° olduğunu unutmayınız. Bileşenlerin üçgensel uç-başlangıç toplamını görselleştirmek için oluşturulan paralelkenarın yarısını yeniden çiziniz. Trigonometri kullanılarak, üçgen üzerindeki verilerden iki bilinmeyen belirlenebilir. Üçgen 90°’lik bir açı içermiyorsa, çözüm için sinüs ve/veya kosinüs kanunu kullanılabilir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 7/48

Sinüs Kanunu Kosinüs Kanunu Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 8/48

ÖRNEK SORU Yandaki şekilde V 1 ve V 2 vektörleri gösterilmektedir. Buna göre; a) Bu vektörlerin toplam vektörü olan S vektörünün şiddetini, b) S vektörü ile pozitif x-ekseni arasındaki açı değerini bulunuz. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 9/48

ÖRNEK SORU Şekildeki kanca F 1 ve F 2 kuvvetlerine maruzdur. Bileşke kuvvetin büyüklüğünü ve doğrultusunu bulunuz. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 10/48

Fr kosinüs kanunu kullanılarak bulunur. θ açısı, Fr ’nin hesaplanan değeri kullanılarak, sinüs kanununun uygulanmasıyla bulunur. Buna göre, Fr ’nin yataydan ölçülen ϕ doğrultusu aşağıdaki gibi bulunur. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 11/48

ÖRNEK SORU Şekilde gösterilen pim üzerine etkiyen 200 N’luk kuvveti, a) x ve y, b) x' ve y doğrultularındaki bileşenlerine ayırınız. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 12/48

a) Paralelkenar Kuralı Üçgen Kuralı b) Paralelkenar Kuralı Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ Üçgen Kuralı 30. 10. 2020 13/48

Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 14/48

Kartezyen Vektör Gösterimi Bir kuvvetin bileşenlerini kartezyen birim vektörler cinsinden ifade etmek de mümkündür. İki boyutluda x ve y eksenlerinin doğrultularını belirtmek için sırasıyla i ve j kartezyen birim vektörleri kullanılır. Şekilde gösterildiği gibi F’nin (pozitif) Fx ve Fy skalerleriyle ifade edilen bileşenlerinin büyüklüğü daima pozitiftir. F = Fx i + Fy j Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 15/48

F' = Fx'i + Fy'(-j) veya F' = Fx'i - Fy'j Düzlemsel Kuvvetlerin Bileşkeleri Üç veya daha çok vektörün bileşkesi için, R = P + Q + S şeklinde yazılabilir. Her vektör dik bileşenlerine ayrılıp, toplanırsa; şeklinde yazılabilir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 16/48

Bileşkenin skaler bileşenleri verilen kuvvetlerin karşılıklı skaler bileşenlerinin toplamına eşittir. Bileşkenin büyüklüğü ve yönü aşağıdaki formüller yardımıyla bulunur: Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 17/48

ÖRNEK SORU Şekildeki halkaya F 1 ve F 2 kuvvetleri uygulanmaktadır. Bileşke kuvvetin büyüklüğünü ve doğrultusunu belirleyiniz. Skaler Çözüm: Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 18/48

Vektörel Çözüm: Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 19/48

Şekildeki halkaya FA ve FB kuvvetleri uygulanmaktadır. Bileşke kuvvetin büyüklüğünü ve doğrultusunu vektörel olarak belirleyiniz. ? FR = F A + F B FA = -FAx - FAy FB = FBx - FBy FAx = -6 Cos 60 = -3 N FAy = -6 Sin 60 = -5, 2 N FA = (-3 i - 5, 2 j) N FRx = ΣFX FRy = ΣFy Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ FBx = 2 Cos 45 = 1, 414 N FBy = -2 Sin 45 = -1, 414 N FB = (1, 414 i – 1, 414 j) N FRx = -3 + 1, 414 N = -1, 6 N FRy = -5, 2 - 1, 414 N = -6, 6 N 30. 10. 2020 20/48

Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 21/48

Kartezyen Vektörler Koordinat sistemi, sağ el kuralına göre belirlenir. Bir kartezyen koordinat sisteminde sağ elin parmakları pozitif z ekseni etrafında bükülüp, pozitif x ekseninden pozitif y eksenine yöneldiğinde, sağ elin baş parmağı pozitif z eksenini gösteriyorsa, söz konusu koordinat sistemine sağ el koordinat sistemi denir. - Bir Vektörün Dik Bileşenleri Bir A vektörünün x, y, z koordinat eksenlerine göre yönelimine bağlı olarak, bu eksenler üzerinde bir, iki veya üç dik bileşeni olabilir. Ancak, A x, y, z sisteminin bir sekizliğinde yer aldığında şekilde olduğu gibi paralelkenar kuralını iki kez art arda uygulayarak vektörü A = A' + Az ve sonra A' = Ax + Ay şeklinde bileşenlere ayırabiliriz. Bu denklemler birleştirilerek A, üç dik bileşenin vektörel toplamı olarak gösterilir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 22/48

A = Ax + Ay + A z - Birim Vektör Genel olarak birim vektör büyüklüğü 1 olan vektördür. A, büyüklüğü A ≠ 0 olan vektörse, A ile aynı yönlü birim vektör şeklinde gösterilir. Bu denklemi yeniden düzenlediğimizde, A = Au. A olur. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 23/48

A (pozitif bir skaler), A’nın büyüklüğünü tanımlar ve u. A (boyutsuz bir vektör) A’nın doğrultusunu ve yönünü tanımlar. - Kartezyen Birim Vektörler Üç boyutlu uzayda i, j, k kartezyen birim vektörleri sırasıyla x, y, z eksenlerinin doğrultusunu göstermek için kullanılır. Bu vektörlerin yönleri (veya uçları) pozitif veya negatif x, y, z eksenleri boyunca yönelmelerine bağlı olarak artı ve eksi işareti ile analitik olarak tanımlanacaktır. Pozitif birim vektörler şekilde gösterilmiştir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 24/48

i x doğrultusundaki birim vektör j y doğrultusundaki birim vektör k z doğrultusundaki birim vektör - Kartezyen Vektör Gösterimi Kartezyen birim vektörler kullanılarak üç vektör bileşeni kartezyen vektör formunda yazılabilir. Bileşenler pozitif i, j ve k yönünde etkidiğinden, A = Axi + Ayj+ Azk olur. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 25/48

- Kartezyen Vektörün Büyüklüğü Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 26/48

- Kartezyen Vektörün Doğrultusu A vektörünün yönelimi, A’nın başlangıç noktası ve bu noktada yer alan pozitif x, y, z eksenleri arasında ölçülen α, β ve γ koordinat doğrultu açıları ile tanımlanır. Bu açıların her birinin, A’nın doğrultusundan bağımsız olarak 0° ile 180° arasında olacağına dikkat ediniz. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 27/48

Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 28/48

α, β ve γ’yı belirlemek için, A’nın x, y, z eksenleri üzerindeki izdüşümlerini ele alalım. Her bir şekildeki renkli dik üçgene bakarak, yazabiliriz. Bu sayılar A’nın doğrultu kosinüsleri olarak bilinir. Doğrultusu ve yönü A vektörü ile aynı olan birim vektör u. A, olur. u. A’nın i, j ve k bileşenleri A’nın doğrultu kosinüslerini gösterir, yani dir. Bir vektörün büyüklüğü, bileşenlerinin büyüklüklerinin karelerinin toplamının pozitif kare köküne eşit ve u. A’nın büyüklüğü 1 olduğundan, Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 29/48

elde edilir. Sonuç olarak, A’nın büyüklüğü ve koordinat doğrultu açıları verildiğinde A kartezyen vektör formunda şeklinde ifade edilebilir. Kartezyen Vektörlerde Toplama ve Çıkarma A = Axi + Ayj+ Azk ve B = Bxi + Byj+ Bzk olmak üzere, R bileşke vektörü, A ve B’nin i, j, k bileşenlerinin skaler toplamlarından oluşan bileşenlere sahiptir, yani R = A + B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k dir. Toplamanın özel bir hali olan vektörlerde çıkarma, A veya B’nin karşılıklı i, j ve k bileşenleri arasında çıkartma yapılmasını gerektirir. Yani, R' = A - B = (Ax - Bx)i + (Ay - By)j + (Az - Bz)k Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 30/48

- Aynı Noktadan Geçen Kuvvet Sistemleri Yukarıda verilen vektörel toplama kavramı genelleştirilebilir ve çok sayıdaki aynı bir noktadan geçen kuvvetin oluşturduğu bir sisteme uygulanabilir. Bu durumda bileşke kuvvet, sistemdeki tüm kuvvetlerin vektörel toplamıdır. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 31/48

ÖRNEK SORU Şekildeki halkaya etkiyen bileşke kuvvetin büyüklüğünü ve koordinat doğrultu açılarını belirleyiniz. α, β ve γ koordinat doğrultu açıları, FR doğrultusunda etkiyen birim vektörün bileşenlerinden belirlenir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 32/48

β ˃ 90° olduğuna dikkat ediniz, çünkü u. FR’nin j bileşeni negatiftir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 33/48

? Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ Şekildeki kancaya iki kuvvet etkimektedir. F 2’nin koordinat doğrultu açılarını, FR bileşke kuvveti pozitif y ekseni boyunca etkiyecek ve büyüklüğü 800 N olacak şekilde belirleyiniz. 30. 10. 2020 34/48

Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 35/48

Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 36/48

Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 37/48

Konum Vektörleri Uzaydaki noktaların konumu, x, y, z eksenleri boyunca peşe yapılan ölçümlerle, koordinatların O orijinine göre belirlenir. Örneğin A noktasının koordinatları, O’dan başlayıp, x ekseni boyunca x. A = +4 m, y ekseni boyunca y. A = +2 m, z ekseni boyunca z. A = -6 m ölçülerek elde edilir. Buradan A(4, 2, -6) yazılır. Benzer şekilde B’nin koordinatları B(0, 2, 0) yazılır. Ayrıca, C(6, -1, 4) olarak yazılır. r konum vektörü, bir noktanın uzaydaki konumunu diğer bir noktaya göre belirleyen sabit bir vektördür. Örneğin, r, koordinatların O orijininden P(x, y, z) noktasına uzanıyorsa, r kartezyen vektör formunda, şeklinde ifade edilebilir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 38/48

O orijininden başlayıp, +i yönünde x kadar, sonra +j yönünde y kadar ve en son +k yönünde z kadar gidildiğinde P(x, y, z) noktasına ulaşılır. Daha genel bir halde, konum vektörü uzaydaki A noktasından B noktasına yönelebilir. Yandaki şekilde görüldüğü gibi, bu vektörde r sembolü ile gösterilmektedir. Şekilden, vektörlerin uç uca eklenmesiyle, yazılır. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 39/48

veya elde edilir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 40/48

ÖRNEK SORU Şekilde gösterildiği gibi, A ve B noktalarına elastik bir bant tutturulmuştur. Bantın uzunluğunu ve A’dan B’ye ölçülen doğrultusunu belirleyiniz. Önce, A’dan B’ye giden bir konum vektörü oluşturulmalı. A(1, 0, -3) şeklindeki başlangıç noktası koordinatları, B(-2, 2, 3) şeklindeki uç koordinatlarından çıkartılarak bulunur. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 41/48

Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 42/48

Bir Doğru Boyunca Yönelen Kuvvet Vektörü Üç boyutlu statik problemlerinde bir kuvvetin doğrultusu, çoğu zaman, etki çizgisinin geçtiği iki nokta ile belirlenir. AB kablosu boyunca yönelen şekildeki F kuvveti buna örnektir. F’yi, kablo üzerinde A noktasından B noktasına yönelen r konum vektörü ile aynı doğrultu ve yöne sahip olduğundan F’yi bir kartezyen vektör şeklinde formüle edebiliriz. Ortak doğrultu, u = r/r birim vektörü ile belirlenir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 43/48

Soru Çözümlerinde İzlenecek Yol F, A noktasından B noktasına uzanan bir doğru boyunca etkiyorsa, aşağıdaki şekilde kartezyen vektör formunda ifade edilebilir: Konum Vektörü A’dan B’ye yönelen konum r vektörü belirlenir ve r büyüklüğü hesaplanır. Birim Vektör Hem r hem de F’nin doğrultusu ve yönünü tanımlayan u = r/r birim vektörü belirlenir. Kuvvet Vektörü F büyüklüğü ve u doğrultusu birleştirilerek, yani F = Fu yazılarak, F belirlenir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 44/48

ÖRNEK SORU Şekilde gösterilen adam, ipi 70 N’luk bir kuvvetle çekmektedir. A mesnedine etkiyen bu kuvveti kartezyen vektör şeklinde ifade ediniz ve doğrultusunu belirleyiniz. Konum Vektörü A(0, 0, 7. 5) ve B(3, -2, 1. 5)’dir. Birim Vektör Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ Kuvvet Vektörü 30. 10. 2020 45/48

Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 46/48

? Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ Kablolar, şekilde gösterildiği gibi, A’daki halkaya FAB = 100 N ve FAC = 120 N kuvvetleri uygulamaktadır. A’da etkiyen bileşke kuvvetin büyüklüğünü hesaplayınız. 30. 10. 2020 47/48

Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 30. 10. 2020 48/48