MMARLIK BLM STATK DERS KUVVET SSTEM BLEKELER Yrd

MİMARLIK BÖLÜMÜ STATİK DERSİ KUVVET SİSTEMİ BİLEŞKELERİ Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Vektörel Çarpım A ve B vektörlerinin vektörel çarpımı, C=Ax. B şeklinde yazılan ve ‘‘C eşittir A vektörel çarpım B’’ diye okunan bir C vektörü verir. C’nin büyüklüğü, A ve B’nin büyüklükleri ile bunlar arasındaki θ açısının (0°≤ θ ≤ 180°) sinüsünün çarpımı olarak tanımlanır. Buna göre, C = ABsinθ olarak yazılır. C vektörünün doğrultusu, A ve B’yi içeren düzleme diktir. Yönü sağ el kuralıyla belirlenir. Şekilde gösterildiği gibi, sağ elin parmakları A’dan B’ye doğru kıvrıldığında, baş parmak C’nin yönünü işaret eder. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 2/30

C’nin doğrultusunu ve yönünü biliyorsak, C = A x B =(ABsinθ)uc yazabiliriz. Burada, ABsinθ C’nin büyüklüğünü, uc birim vektörün doğrultusunu tanımlar. İşlem Kuralları 1. Değişme özelliği yoktur. 2. Skaler ile çarpım: 3. Dağılma özelliği vardır. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 3/30

Kartezyen Vektör Gösterimi C = A x B =(ABsinθ)uc denklemi, kartezyen birim vektör çiftlerinin vektörel çarpımlarını bulmada kullanılabilir. i x j vektörünün büyüklüğü (i)(j)(sin 90°) = (1)(1)(1) = 1 olup, doğrultusu sağ el kuralıyla belirlenir. Şekilde gösterildiği gibi vektör +k yönündedir. Buna göre, i x j = (1)k’dır. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 4/30

Kartezyen vektör şeklinde ifade edilen genel A ve B vektörlerinin vektörel çarpımı, dir. Vektörel çarpım işlemleri yapılır ve terimler düzenlenirse, elde edilir. Bu denklem, determinant kullanılarak şeklinde de yazılabilir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 5/30

Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 6/30

Bir Kuvvetin Momenti – Skaler Gösterim Bir kuvvetin bir noktaya veya bir eksene göre momenti, kuvvetin bir cismi bu nokta veya eksen etrafında döndürme eğiliminin bir ölçüsüdür. Fx kuvveti boruyu z ekseni etrafında döndürme eğilimindedir. Bu dönme eğilimine tork da denilir fakat genellikle buna bir kuvvetin momenti veya kısaca (Mo)z momenti denir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 7/30

İngiliz anahtarına Fz kuvveti uygulanırsa bu kuvvet boruyu z ekseni etrafında döndürmez, onu x ekseni etrafında döndürme eğilimindedir. Gerçekte boruyu bu şekilde döndürmesi mümkün olmadığı halde, yine de Fz döndürme eğilimi yaratır, dolayısıyla (Mo)x momenti üretilir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 8/30

Mo momenti vektörel bir büyüklüktür, çünkü belirli bir büyüklük ve doğrultuya sahiptir. Mo’nun büyüklüğü Mo = Fd’dir. Buradaki d, moment kolu veya O noktasındaki eksenden kuvvetin etki çizgisine dik uzaklık olarak adlandırılır. Moment büyüklüğünün birimi kuvvet çarpı uzaklıktan oluşur. (N. m) Mo’nun doğrultusu sağ el kuralı kullanılarak belirlenir. Bunun için, sağ elin parmakları, kuvvet O noktası etrafında dönme sağlayabildiğinde ortaya çıkan dönme yönünü izleyecek şekilde kıvrılır. Bu takdirde, baş parmak F ve d’yi içeren taralı düzleme dik ve yukarı doğru olan moment vektörünün doğrultu ve yönünü veren moment eksenini işaret eder. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 9/30

Düzlemsel Kuvvet Sisteminin Bileşke Momenti Şekildeki gibi bir kuvvet sistemi x-y düzleminde yer alırsa, her bir kuvvetin O’ya göre momenti z ekseni yönünde olacaktır. Bundan dolayı, sistemin MRo momenti, bütün kuvvetlerin momentlerinin cebirsel toplamı alınarak belirlenebilir, çünkü bütün moment vektörleri aynı doğrultudadır. Bu vektörü sembolik olarak, şeklinde yazabiliriz. Burada, denklemin yanındaki saatin tersi yönündeki yay, skaler işaret uylaşımıyla, herhangi bir kuvvetin momentinin, z ekseni yönündeyse pozitif, -z ekseni yönündeyse negatif olacağını göstermek amacıyla kullanılmıştır. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 10/30

ÖRNEK SORU 800 N’luk kuvvetin A, B, C ve D noktalarına göre momentlerini belirleyiniz Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 11/30

ÖRNEK SORU Şekildeki çizimlerle gösterilen her bir durum için uygulanan kuvvetin O noktasına göre momentini bulunuz. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 12/30

Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 13/30

ÖRNEK SORU Şekilde gösterilen çubuk üzerine etkiyen dört kuvvetin O noktasına göre bileşke momentini belirleyiniz. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 14/30

Bir Kuvvetin Momenti – Vektörel Gösterim Bir F kuvvetinin O noktasına veya O’dan geçen ve O ve F’yi içeren düzleme dik eksene göre momenti, vektörel çarpım ile belirlenebilir. Burada r, O’dan F’nin etki çizgisi üzerinde yer alan herhangi bir noktaya çizilen konum vektörünü gösterir. Yukarıdaki vektörel çarpımın büyüklüğü Mo = r. Fsinθ olarak bulunur. Buradaki θ, r ve F vektörleri arasındaki açıdır. Moment kolu d = rsinθ olduğundan, olur. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 15/30

Mo’nun doğrultu ve yönü vektörel çarpıma uygulandığı şekliyle sağ el kuralı ile belirlenir. Buna göre, r’yi kesikli çizgili konuma uzatır ve sağ el parmaklarını r’den F’ye doğru kıvırırsak, ‘‘r çarpı F’’ başparmak yukarıya ya da r ve F’yi içeren düzleme dik yönlenir. Kuvvetin Taşınabilirliği F, kayan vektör özelliğine sahiptir ve bu nedenle etki çizgisi üzerindeki herhangi bir noktaya etkiyebilir ve O noktasına göre yine aynı momenti üretir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 16/30

Kartezyen Vektör Formülasyonu x, y, z koordinat eksenlerini oluşturursak, r konum vektörünü ve F kuvvetini kartezyen vektörler olarak ifade edebiliriz. Burada; rx, ry, rz O noktasından kuvvetin etki çizgisi üzerindeki herhangi bir noktaya çizilen konum vektörünün x, y, z bileşenlerini, Fx, Fy, Fz kuvvet vektörünün x, y, z bileşenlerini göstermektedir. Determinantı açarsak, sonucunu elde ederiz. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 17/30

Kuvvet Sisteminin Bileşke Momenti Bir kuvvet sisteminin O noktasına göre bileşke momenti, yukarıdaki denklemin ardışık uygulanması sonucu oluşan vektörlerin toplamı ile belirlenebilir. Bu bileşke, sembolik olarak şeklinde yazılabilir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 18/30

ÖRNEK SORU Şekildeki direk C’den B’ye yönelmiş 60 N’luk kuvvete maruzdur. Bu kuvvetin A’daki mesnede göre ürettiği momentin büyüklüğünü belirleyiniz. Konum Vektörleri Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 19/30

Kuvvet Vektörü Moment Vektörü Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 20/30

Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 21/30

ÖRNEK SORU Şekilde gösterilen çubuk üzerine üç kuvvet etki etmektedir. Bu kuvvetlerin O’daki flanşa göre ürettikleri bileşke momenti ve moment ekseninin doğrultusunu belirleyiniz. Flanş, iki makine veya tesisat elemanının sızdırmaz şekilde birleştirilmesine yarayan genelde standart olarak üretilen bir konstrüksiyon elemanıdır. Konum Vektörleri Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 22/30

Kuvvet Vektörleri Moment Vektörü Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 23/30

Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 24/30

Doğrultu Kosinüsleri Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 25/30

Momentler İlkesi (Varignon Teoremi) İlk olarak Fransız matematikçi Varignon tarafından geliştirildiğinden Varignon teoremi olarak da anılan momentler ilkesi, bir kuvvetin bir noktaya göre momentinin, bu kuvvetin bileşenlerinin bu noktaya göre momentlerinin toplamına eşit olduğunu ifade eder. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 26/30

ÖRNEK SORU Şekilde gösterilen dirsek üzerine 200 N’luk bir kuvvet etki etmektedir. Kuvvetin A noktasına göre momentini belirleyiniz. 200 N’luk kuvvet, x ve y bileşenlerine ayrılabilir. Momentler ilkesine göre, F’nin A noktasına göre hesaplanan momenti, iki kuvvet bileşeni tarafından üretilen momentlerin toplamına denktir. Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 27/30

Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 28/30

ÖRNEK SORU F kuvveti şekildeki desteğin köşesinde etki etmektedir. Kuvvetin O noktasına göre momentini belirleyiniz. Skaler Analiz Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 29/30

Vektörel Analiz Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ 21. 11. 2020 30/30