Mise au point vido projecteur Jacques VERDIER BESANON

Mise au point vidéo projecteur. Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 1

LES DÉMONSTRATIONS DE L’AXIOME D’EUCLIDE LA THÉORIE DES PARALLÈLES AXIOME DIT « D’EUCLIDE » Par un point donné (extérieur à une droite), on peut mener une et une seule parallèle à cette droite. Formulation de Playfair, XVIIIe siècle Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES Jacques VERDIER, Besançon 2007 2

Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 Les éléments d’Euclide : 10 « livres » , débutant par 35 définitions et 5 « demandes » (ou postulats). Les 4 premiers livres concernent la géométrie. La 35 e définition est celle des parallèles : Les parallèles sont des droites qui, étant situées dans un même plan, et étant prolongées à l'infini de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de l'autre. Le 5 e postulat est le suivant : Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 3

Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 4

Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. Formulation assez compliquée ? Ressemble à une proposition (théorème) ? Utilité : éviter l’infini ? POSIDONIUS propose une nouvelle définition des parallèles : Deux droites sont parallèles si et seulement si leur distance est constante en tout point … mais cela équivaut au 5 e postulat… AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 5

Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations Les démonstrations des 28 premières propositions ne nécessitent pas l’utilisation du 5 e postulat. Elles forment ce qu’on appelle la « GÉOMÉTRIE ABSOLUE » . 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi Les propositions 27 à 32 : 5 propositions (théorèmes) et une construction relatives aux droites parallèles. Elles forment ce qu’on appelle la « THÉORIE DES PARALLÈLES » . 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre La 27 e proposition: 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 Si une droite, tombant sur deux droites, fait des angles alternes égaux entre eux, ces deux droites seront parallèles. La 28 e proposition : Si une droite tombant sur deux droites fait l'angle extérieur égal à l’angle intérieur, opposé, et placé du même côté, ou bien si elle fait les angles intérieurs et placés du même côté égaux à deux droits, ces deux droites seront parallèles. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 6

Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations XXVII. Si une droite, tombant sur deux droites, fait des angles alternes égaux entre eux, ces deux droites seront parallèles. 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 Que la droite EZ tombant sur les deux droites AB, ΓΔ fasse les angles alternes AEZ, EZΔ égaux entre eux ; je dis que la droite AB est parallèle à la droite ΓΔ. Car si elle ne lui est pas parallèle, les droites AB, ΓΔ étant prolongées se rencontreront, ou du côté BΔ, ou du côté AΓ. Qu'elles soient prolongées, et qu'elles se rencontrent du côté BΔ, au point H. L'angle extérieur AEZ du triangle EHZ est égal à l'angle intérieur et opposé EZH, ce qui est impossible (prop. 16) ; donc les droites AB, ΓΔ prolongées du côté BΔ ne se rencontreront point. On démontrera de la même manière qu'elles ne se rencontreront pas non plus du côté AΓ ; mais les droites qui ne se rencontrent d'aucun côté sont parallèles (déf. 35) ; donc la droite AB est parallèle à la droite ΓΔ. Donc, etc. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 7

Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 XXIX. Une droite qui tombe sur deux droites parallèles, fait les angles alternes égaux entre eux, l'angle extérieur égal à l'angle intérieur opposé et placé du même côté, et les angles intérieurs placés du même côté égaux à deux droits. Que la droite EZ tombe sur les droites parallèles AB, ΓΔ ; je dis que cette droite fait les angles alternes AHΘ, HΘ égaux entre eux, l'angle extérieur EHB, égal à l'angle HΘΔ intérieur opposé et placé du même côté, et les angles BHΘ, HΘΔ intérieurs et placés du même côté, égaux à deux droits. Car si l'angle AHΘ n'est pas égal à l'angle HΘΔ, l'un d'eux est plus grand. Que l'angle AHΘ Soit plus grand que HΘA. Ajoutons l'angle commun BHΘ, les angles AHΘ, BHΘ seront plus grands que les angles BHΘ, HΘA ; mais les angles AHΘ, BHΘ sont égaux à deux droits (prop. 13) ; donc les angles BΗΘ, HΘΔ sont moindres que deux droits. Mais si deux droites sont prolongées à l'infini du côté où les angles intérieurs sont plus petits que deux droits, ces droites se rencontrent (demande 5) ; donc les droites AB, ΓΔ prolongées à l'infini se rencontreront. Mais elles ne se rencontreront pas, puisqu'elles sont parallèles ; donc les angles AHΘ, HΘA ne sont point inégaux ; donc ils sont égaux. Mais l'angle AHΘ est égal à l'angle EHB (prop. 15) ; donc l'angle EHB est égal à l'angle HΘΔ. Ajoutons l'angle commun BHΘ, les angles EHB, BHΘ seront égaux angles BHΘ, HΘΔ ; mais les angles EHB, BHΘ sont égaux à deux droits (prop. 13) ; donc les angles BHΘ, HΘΔ sont égaux à deux droits. Donc, etc. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 8

Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations Schéma de la « théorie des parallèles » 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 9

Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi Deux remarques importantes : 1. Le fait qu’Euclide ait utilisé le 5 e postulat pour démontrer la proposition 29 ne prouve pas qu’il ait été nécessaire de l’utiliser. L’impossibilité de démontrer la proposition 29 sans utiliser le 5 e postulat (ni un postulat équivalent) ne fut prouvée qu’en 1860 ! 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 10

Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations Deux remarques importantes : 2. La proposition 31 permet de construire une parallèle. 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 Soit A le point donné, et BΓ la droite donnée ; il faut par le point A conduire une ligne droite parallèle à la droite BΓ. Prenons sur la droite BΓ un point quelconque Δ, et joignons AΔ ; construisons sur la droite ΔA, et au point A de cette droite, l'angle ΔAE égal à l’angle AΔΓ (prop. 23), et prolongeons la droite AZ dans la direction de EA. Puisque la droite AΔ, tombant sur les deux droites BΓ, EΖ, fait les angles alternes EAΔ, ΑΔΓ égaux entre eux, la droite EZ est parallèle à droite BΓ (prop. 27). Donc la ligne droite EAZ a été menée, par le point donné A, parallèle à la droite donnée BΓ ; ce qu'il fallait faire. Mais rien n’est dit quant à l’unicité de cette parallèle. Euclide ne s’est-il pas posé le problème ? NB : cette unicité était aisément prouvable (avec la proposition 30 : Les droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles). AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 11

Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE LA CONTESTATION DU 5 e POSTULAT TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski Le 5 e postulat a été « contesté » . On pensait que c’était un théorème, et qu’Euclide l’avait placé là parce qu’il n’avait pas pu le démontrer. Deux démarches pour s’en « débarrasser » : • Le remplacer par un axiome plus « primitif » , à la formulation simple, comme les autres postulats. • Le démontrer à partir des 5 autres postulats et des propositions de la « géométrie absolue » . 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 12

Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE LA CONTESTATION DU 5 e POSTULAT TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert POSIDONIUS : École de Rhodes, 135 -50 avant J. -C. A donné une autre définition des parallèles : « Deux droites sont parallèles si et seulement si leur distance est constante en tout point » . Le 5 e postulat n’est alors plus nécessaire. Mais les parallèles au sens de Posidonius existent-elles ? Autrement dit : le lieu des points équidistants d’une droite estil nécessairement une droite? 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 13

Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE LA CONTESTATION DU 5 e POSTULAT TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski PTOLÉMÉE : École d’Alexandrie, 90 -168 après J. -C. Est le premier à donner une démonstration du 5 e postulat. Soient ab et cd des droites parallèles, coupées par une transversale fg. Alors af et cg sont aussi parallèles que fb et gd. Donc si la somme des angles afg et cgf est supérieure à 180°, il en est de même de la somme bfg+fgd. De la même façon, si afg+cgf < 180° alors bfg+fgd < 180°. Dans les deux cas, on arrive à une contradiction puisque la somme afg+cgf + bfg+fgd vaut 360°. Quelle est l’erreur commise par Ptolémée ? 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 14

Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE LA CONTESTATION DU 5 e POSTULAT TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert PROCLUS : École athénienne, 412 -485 après J. -C. - Est persuadé que le 5 e postulat est un théorème : Cela [le cinquième postulat] doit être absolument rayé des postulats ; car c'est un théorème, qui offre de nombreuses difficultés que Ptolémée s'est proposé d'étudier dans un certain livre, et dont la démonstration exige beaucoup de définitions et de théorèmes. Euclide nous montre d'ailleurs la réciproque de ce postulat comme étant aussi un théorème. [proposition 17] 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 15

Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE LA CONTESTATION DU 5 e POSTULAT TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski PROCLUS : École athénienne, 412 -485 après J. -C. - Est persuadé que le 5 e postulat est un théorème ; - met en évidence l’erreur de Ptolémée ; - propose une nouvelle démonstration, dont voici le début : Soient ab et cd deux droites parallèles, et fg une droite qui coupe ab en f. Soit r la distance de ab à cd. Choisissons sur fg un point h dont la distance à ab est supérieure à r, et qui est situé du même coté de ab que cd. A lors f et h sont de part et d'autre de cd, de sorte que fh coupe cd. 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 16

Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE LA CONTESTATION DU 5 e POSTULAT TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert PROCLUS : École athénienne, 412 -485 après J. -C. Quelle est l’erreur commise par PROCLUS ? La figure ne pourrait-elle pas être celle-ci ? 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 GÉMINIUS (Rhodes, fin du Ier siècle) s’était d’ailleurs déjà posé la question : l’hyperbole se rapproche bien de son asymptote sans jamais la couper, alors pourquoi pas deux droites ? AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 17

Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE LA CONTESTATION DU 5 e POSTULAT TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations AGANIS : VIe siècle après J. -C. 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi Reprend la définition de Posidonius des parallèles (Deux droites sont parallèles si et seulement si leur distance est constante en tout point) et il remplace le 5 e postulat par un axiome d’existence de telles parallèles. 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre Il démontre alors que la « distance » de deux droites est la perpendiculaire commune à ces droites. 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski Cela est équivalent au 5 e postulat. 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 18

Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES AL GAUHUARI : IXe siècle , originaire de Farab. 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski Il utilise implicitement le fait que si les angles A et B sont égaux, alors les angles C et D le sont également. Il démontre alors le 5 e postulat à partir de la possibilité de construire un triangle. 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 19

Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES AN NAYZIRI : né vers 900, près de Chiraz (Perse) 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski Il continue l’œuvre d’Aganis (1), démontre des propriétés qui s’en déduisent, et « retombe » sur la proposition 29 d’Euclide. Au cours de cette suite d’implications, An Nayziri prouve qu’il existe un rectangle. (1) Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une droite équidistante de la première. 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 20

Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES TABIT IBN QURRA : 836, Turquie – 901, Baghdad. 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi C’est un commentateur d’Euclide et d’Archimède. Dans son ouvrage : « Le livre sur la célèbre démonstration du postulat d’Euclide » Il montre qu’on ne peut pas avoir ces deux figures 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 Mais qu’on peut avoir celle-ci. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 21

Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES TABIT IBN QURRA. 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert Si une sécante coupe deux droites et que celles-ci se rapprochent l’une de l’autre d’un de leurs côtés, alors elles s’en écartent l’une de l’autre côté ; et leur rapprochement du côté où elles se rapprochent, et leur écartement du côté où elles s’écartent, vont en croissant. 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 22

Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES TABIT IBN QURRA. 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert Dans son ouvrage : « Le livre montrant que deux droites menées selon deux angles plus petits que deux droits se rencontrent » il définit les parallèles comme des droites équidistantes. Pour prouver l’existence d’un rectangle, il lui est nécessaire de faire intervenir le mouvement (c’est un disciple d’Archimède !), et d’admettre la non modification d’une figure au cours d’un déplacement. 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 23

Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres IBN AL HAYTAM “AL HAZEN” : 836, Bassora – 901, Le Caire. a écrit deux livres : • Le livre du commentaire des propositions non démontrées d’Euclide • Le livre sur les résolutions des doutes soulevés par les Éléments d’Euclide. Ibn al-Haytam introduit une nouvelle définition de la droite. Il considère la ligne décrite dans un plan par l'extrémité libre d'une perpendiculaire de longueur constante, menée à une droite donnée, lorsque le pied de la perpendiculaire glisse le long de cette droite. Des considérations vagues, mais très développées, sur « l'égalité et la similitude » de tous les points de la perpendiculaire en mouvement permettent à Ibn al-Haytam de conclure que toutes les trajectoires décrites en même temps par tous les points de la perpendiculaire sont « congruentes » ; il en déduit que la ligne décrite par l’extrémité de la perpendiculaire est une droite équidistante de la droite donnée. Adolf P. YOUSSKEVITCH, in Les mathématiques arabes VIIe-XVe siècles, Éditions VRIN, Paris, 1976. Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 24

Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres IBN AL HAYTAM En réalité, la définition de la page précédente « renferme implicitement » le 5 e postulat. Puis il « démontre » le 5 e postulat en utilisant un quadrilatère à 3 angles droits : Ibn Al Haytam en conclut qu’il faut supprimer le 5 e postulat de la liste des « demandes » , et le remettre – puisqu’il est démontré – juste avant la proposition 29 où il est utilisé. Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 25

Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre ‘Umar al KHAYYAM : 1047 -1122, Nashipur, Perse. Son œuvre est restée inconnue jusqu’en 1936. Il a très bien étudié le travail d’An Nayrizi. Il introduit le célèbre quadrilatère dit « de Saccheri » , dans lequel il s’agit de prouver que les deux angles restants Δ et Γ sont droits : 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 26

Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES AL KHAYYAM 1 re étape : 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre On démontre que les deux angles Δ et Γ sont égaux. 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 27

Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES AL KHAYYAM 2 e étape : 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations On construit E milieu de AB ; la perpendiculaire en E recoupe ΔΓ en Z 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski On démontre que ΔΖ = ΖΓ, et que ΕΖ est perpendiculaire à ΔΓ. 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 28

Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AL KHAYYAM 3 e étape : On prolonge ensuite la droite EZ d’une longueur ZK égale à EZ. On mène en K la perpendiculaire à EZ, qui recoupe AΔ et BΓ en H et Θ. On démontre que les deux triangles ΓΖΚ et ΔΖΚ sont égaux, d’où il s’en suit immédiatement que les angles ΖΓΚ et ΖΔΚ sont égaux ainsi que les côtés ΓΚ et ΔΚ, puis les angles ΚΓΘ et ΚΔΗ et les côtés ΓΘ = ΔΗ et ΚΘ = ΚΗ. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 29

Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES AL KHAYYAM 4 e étape : 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 Le « plan Θ » se superpose au « plan Δ » (imaginez un pliage d’axe ΔΓ). Si les deux angles H et Θ étaient aigus : on aurait deux droites coupant une troisième selon deux angles droits AΔΗ et ΒΓΘ et qui s’écarteraient l’une de l’autre, ce qui est absurde, d’après Al Khayyam. Si les deux angles H et Θ étaient obtus : même conclusion ! AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 30

Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres AL KHAYYAM 4 e étape : Il y aurait alors deux lignes droites coupant une droite selon deux angles droits et dont la distance augmenterait ensuite des deux côtés de cette droite, ce qui est une impossibilité première lorsqu'on se représente le caractère rectiligne d'une droite, et qu'on réalise ce qu'est la distance entre deux droites. Et c’est ce dont s'est occupé le philosophe. (‘Umar Al Khayyam) Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 31

Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES Nasir Ad Din AŢ Ţ USI : 1130 -1214, Tus. 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Traduction des Éléments d’Euclide (ici, le théorème de Pythagore) Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES Tahrîr al Majisti (traduction de l’Almageste) 32

Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AŢ Ţ USI. Son œuvre, dont « La discussion qui dissipe les doutes relatifs aux droites parallèles » (1251), fut connue en Europe dès 1594. Il critique les théories précédentes. Dans sa réfutation de l’angle aigu et de l’angle obtus, il n’utilise pas les mêmes méthodes que ‘Umar Al Khayyam. Pour démontrer sa 6 e proposition, il utilisera deux nouveaux axiomes : • l’axiome d’Archimède (deux segments inégaux étant donnés, il existe toujours un multiple du plus petit qui surpasse le plus grand) ; • un équivalent de l’axiome de Pasch (toute droite qui « entre » dans un triangle en « ressort » ) AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 33

Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski AŢ Ţ USI Ses trois premières propositions sont celles de ‘Umar al. Khayyām Sa 4 e proposition est : « Les côtés opposés d’un rectangle sont égaux » . Sa 5 e proposition est : « Deux perpendiculaires à une même droite font avec toute sécante des angles alternes internes égaux » . 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 34

Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert AŢ Ţ USI Sa 6 e proposition est : « Si deux lignes non limitées à leurs extrémités se coupent selon des angles non droits, et si on élève une perpendiculaire sur l'une d'elles, alors cette perpendiculaire, si on la prolonge, coupera l'autre droite sur un de ses côtés, à savoir du côté de l'angle aigu compris entre cette perpendiculaire et la droite coupée par cette perpendiculaire » . 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 35

Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 Muhyi ad-Dīn AL MAGHRIBI : 1220, Espagne – 1283, Iran « Démontre » le 5 e postulat. Son texte commence ainsi : Soit, par exemple, les droites AB, GD, coupées par la droite AG, qui rend les angles BAG, DGA, moindres que deux droits. Je dis qu'elles se rencontrent si on les prolonge indéfiniment. La preuve de cela : …………. . Et se termine ainsi : Le doute concernant la chose demandée est donc levé par la rectification du postulat telle que nous l’avons établie. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 36

Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 Les travaux sur la théorie des parallèles se poursuivent encore pendant près de deux siècles dans les pays arabes, mais sans que rien de nouveau ne soit découvert. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 37

Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES John WALLIS : 1616 -1703, Oxford. 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 Il connaît l’œuvre d’At Ţusi ; il est le seul, parmi tous les commentateurs de l’époque, à faire vraiment preuve d’originalité. Pour une figure quelconque, il en existe toujours une autre de grandeur quelconque qui lui soit semblable. Il admet le principe fondamental ci-contre, qu’il ajoute aux postulats d’Euclide, en remplacement du 5 e. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 38

Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 John WALLIS Laplace et Carnot commentent d’ailleurs ce principe, l’un en 1796, l’autre en 1830 : Pour une figure quelconque, il en existe toujours une autre de grandeur quelconque qui lui soit semblable. La théorie des parallèles tient à une notion première qui me paraît être à peu près du même ordre de clarté que celle de légalité parfaite ou de la superposition : c'est la notion de similitude. Il me semble que l'on peut regarder comme un principe de première évidence que ce qui existe en grand, comme une boule, une maison, un dessin, peut être fait en petit et réciproquement. (Lazare CARNOT) La proportionnalité est un postulatum bien plus naturel que celui d'Euclide, car elle se retrouve dans les lois de l'attraction tout comme dans celles des forces électriques et magnétiques ; d'ailleurs la simplicité des lois de la nature ne nous permet d'observer et de connaître que des rapports. (Marquis Simon de LAPLACE) AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 39

Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations John WALLIS Démonstration du 5 e postulat : 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 Ne cherchez pas à tout lire, c’est dans les documents, et je vais vous expliquer !!! AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 40

Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES John WALLIS Démonstration du 5 e postulat : 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert La droite CD peut -elle rester entièrement à l’intérieur de l’angle CAB ? 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 41

Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres André-Marie LEGENDRE. Paris, 1752 -1833. De 1794 à 1823, il publie de nombreuses éditions de ses Éléments de Géométrie, utilisés dans l’enseignement. De la 1 re à la 8 e édition, il démontre deux propositions, qui lui permettent d’éviter le 5 e postulat : Proposition XIX : « La somme des angles d’un triangle ne peut être plus grande que deux droits » . Proposition XX : « Dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à deux droits » . La première de ces propositions ne comporte aucune erreur. D’ailleurs GAUSS la reprendra plus tard… Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 42

Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES LEGENDRE 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations Voici la démonstration de Gauss : 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES La démonstration selon laquelle la somme des 3 angles d’un triangle ne peut pas être supérieure à 180° doit être menée ainsi, indépendamment du 11 e axiome (5 e postulat). Supposons que A+B+C>180°. On prolonge AB à l’infini et on reprend le triangle précédent, ceci étant l’hypothèse. CBE < ACB donc CE < AB (Éléments I. 24). De même pour EG = CE etc. …On en conclut facilement qu’en reproduisant le triangle suffisamment souvent, la ligne droite AM est plus longue que la ligne brisée ACEG…NM, et ainsi la contradiction est facile à démontrer. Une reproduction de n fois suffit quand AC + CB – AB < n(AB – CE). 43

Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES LEGENDRE 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre Proposition XX : « Dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à deux droits » . Par contre, la démonstration de cette proposition XX comporte une erreur : il utilise implicitement la propriété Par un point situé à l’intérieur d‘un angle, il existe toujours une droite qui rencontre les deux côtés de l’angle. Ayant décelé son erreur, il « remet » le 5 e postulat dans les 9 e, 10 e et 11 e éditions de ses Éléments de Géométrie. 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 Ne cherchez pas à tout lire, c’est dans les documents !!! AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 44

Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES LEGENDRE 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi Proposition XX : « Dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à deux droits » . A partir de la 12 e édition, il trouve une nouvelle démonstration de cette proposition… 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres …et ça continue ! … Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 45

Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES LEGENDRE 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi Proposition XX : « Dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à deux droits » . Il trouve une nouvelle démonstration de cette proposition… qui grosso modo est ceci : 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 Bien entendu, comme vous en doutez, il y a une erreur… Sinon le 5 e postulat d’Euclide serait démontré ! AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 46

Chapitre IV : LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations Giovanni Girolamo SACCHERI : 1677 -1733. Il connaît l’œuvre d’At-Ţusi … et la critique : il publie en 1733 Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclide lavé de toute tache) 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 Il utilise le quadrilatère de ‘Umar Al-Khayyam (à l’époque inconnu), et fait explicitement les trois hypothèses : angles droits, obtus ou aigus. Puisque la droite qui joint les extrémités de deux droites égales perpendiculaires à une même droite (que nous appellerons base) fait des angles égaux avec ces perpendiculaires, il y a par conséquent trois hypothèses à distinguer selon la nature de ces angles. Et j'appellerai la première, hypothèse de l'angle droit, la seconde, hypothèse de l'angle obtus, et la troisième, hypothèse de l'angle aigu. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 47

Chapitre IV : LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre SACCHERI. L’hypothèse de l’angle obtus : Jointe à la proposition XVI d’Euclide, elle prouve le 5 e postulat. D’où une contradiction : Γ + Δ > 2 droits (hypothèse) et Γ + Δ = 2 droits (Euclide). Cette hypothèse est donc « éliminée » . 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 48

Chapitre IV : LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 SACCHERI. L’hypothèse de l’angle aigu : Saccheri en déduit toutes sortes de conséquences, et en particulier les deux théorèmes suivants : Premier théorème : « Deux droites sont : • soit sécantes ; • soit admettent une perpendiculaire commune, et alors elles « divergent » ; • soit elles sont « asymptotes » l’une de l’autre » . Second théorème : « Deux droites parallèles peuvent ne pas avoir de perpendiculaire commune » . AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 49

Chapitre IV : LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres SACCHERI. Finalement… Deux droites sont : soit sécantes ; soit admettent une perpendiculaire commune, et alors elles « divergent » ; soit elles sont « asymptotes » l’une de l’autre. Il craque ! « L’hypothèse de l’angle aigu est absolument fausse, car elle répugne à la nature même de la ligne droite » Lien vers Lobatchevski, proposition 16 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 50

Chapitre IV : LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi LAMBERT : 1728 -1777, alsacien. Il connaît les travaux de Saccheri, mais préfère reprendre le quadrilatère d’Ibn al Haytam. Comme Saccheri, il démontre que : angle obtus 5 e postulat angle droit (d’où la contradiction). 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre Mais, au cours de sa démonstration, il prouve quelque chose de remarquable relatif à la somme des angles d’un triangle : 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert « l’excès du triangle » , c’est-à-dire la somme des angles diminuée de deux droits, est proportionnel à son aire. 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 De même, dans l’hypothèse de l’angle aigu, le « défaut du triangle » , c’est à dire deux droits moins la somme des trois angles, est proportionnel à son aire. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 51

Chapitre IV : LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES LAMBERT. 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations La conséquence de cette propriété est fondamentale : deux 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi donc pas de triangles semblables. 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 triangles qui ont des angles égaux sont égaux ; il n’existe Connaissant l’œuvre de Wallis, sa curiosité est excitée ! Lambert pense que cette géométrie correspond à une sphère de rayon imaginaire : Je suis enclin à penser que l'hypothèse de l'angle aigu est valable sur quelque sphère imaginaire. Il doit tout de même bien avoir une raison pour laquelle il est si difficile de la réfuter dans le plan. Il démontre alors le théorème suivant (toujours dans le cas de l’hypothèse de l’angle aigu) : « L’ensemble des points équidistants d’une droite nécessairement une droite » . AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES donnée n’est pas 52

Chapitre IV : LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski Mais comme tout le monde à l’époque, de philosophie Kantienne : les axiomes de la géométrie doivent être le reflet des propriétés de l’espace sensible… Finalement… Il craque ! 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 53

Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » (1805 -1835) TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert Il y a, au début du 19 e siècle, deux tendances chez les mathématiciens : • ceux qui renoncent à s’occuper de ce problème du 5 e postulat ; • ceux qui ont la conviction que le 5 e postulat est indémontrable, et qu’on pourrait tout aussi bien le remplacer par son contraire (et on aurait alors une géométrie « imaginaire » , on disait même à l’époque « stellaire » ). 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 54

Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » (1805 -1835) TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jànos BOLYAÏ. 1802 -1860, Hongrie. Je t'en supplie, garde-toi de tenter toi aussi Officier de l’armée de venir à bout de la théorie des parallèles. Tu y perdras tout ton temps ; mais tant que autrichienne, en vous êtes, vous n’arriverez pas à démontrer retraite à 31 ans. Jusqu’à 18 ans, il cette proposition. Ne cherche pas à avoir raison de cette théorie, ni par le procédé a tenté de que tu me communiques, ni par aucun démonter le 5 e autre. postulat : ce J'ai exploré à fond toutes les voies problème le passionne, et il ne possibles : je n'ai pas laissé une seule idée sans l'étudier. J'ai traversé cette nuit noire, tient aucun et j'y ai enseveli toutes les joies de ma vie. compte des Pour l'amour de Dieu, je t'en supplie, conseils de son abandonne ce thème, crains-le autant que père Farkas les passions, car il peut te dérober tout ton BOLYAÏ : temps, ta santé, ta tranquillité, tout le bonheur de ta vie. . . Lettre de Farkas BOLYAI à son fils János, 1820 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 55

Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » (1805 -1835) TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 BOLYAÏ. En 1825, il avait établi la plupart des principes de sa géométrie (non euclidienne), mais a attendu 1832 pour les publier, sous le titre « Science absolue de l’Espace » (en annexe d’un ouvrage de son père, « Tentamen » ). Il a ainsi été devancé par Lobatchevski (qui a publié en 1829), mais l’opuscule de ce dernier était à l’époque resté totalement confidentiel. En exemple, un des théorèmes de sa géométrie : On mène par Q la parallèle à une droite D. L’angle α n’est fonction que de la distance r = PQ ; on l’appellera « angle de parallélisme » . AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 56

Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » (1805 -1835) TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres BOLYAÏ. Voici la réaction de Gauss à cette publication … réaction qui n’a pas enchanté Bolyai ! . . . Parlons maintenant un peu du travail de ton fils. Si je commence en disant que je ne puis louer ce travail, tu pourras bien un instant reculer d'étonnement ; mais je ne puis dire autre chose ; le louer serait me louer moimême ; en effet, le contenu tout entier de l'Ouvrage, la voie qu'a frayée ton fils, les résultats auxquels il a été conduit, coïncident presque entièrement avec mes propres méditations qui ont occupé en partie mon esprit depuis déjà trente-cinq ans. Aussi ai-je été complètement stupéfait. Quant à mon travail personnel, dont d'ailleurs j'ai confié peu de chose jusqu'ici au papier, mon intention était de n'en rien laisser publier de mon vivant. En effet, la plupart des hommes n'ont pas l'esprit juste sur les questions dont il s'agit, et j'ai trouvé seulement bien peu d'entre eux qui prissent un intérêt particulier à ce que je leur ai communiqué à ce sujet. Pour pouvoir prendre cet intérêt, il faut d'abord avoir senti bien vivement ce qui fait essentiellement défaut, et sur ces matières la plupart des hommes sont dans une obscurité complète. C'était, au contraire, mon idée de mettre, avec le temps, tout ceci par écrit afin qu'au moins cela ne périsse pas avec moi. Aussi est-ce pour moi une agréable surprise de voir que cette peine peut maintenant m'être épargnée, et je suis rempli d'une joie extrême que ce soit précisément le fils de mon vieil ami qui m'ait devancé d'une manière si remarquable. Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 57

Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » (1805 -1835) TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Karl Friedrich GAUSS : Brunswick, 1777 -Göttingen, 1855. Il s’intéresse à cette géométrie depuis l’âge de 15 ans. On en trouve trace dans ses lettres à Farkas Bolyai, Gerling, Schumacher, Taurinus, Bessel, etc. Un exemple : L'hypothèse selon laquelle la somme des angles d'un triangle est inférieure à 180° conduit à une géométrie complètement différente de la nôtre ; une géométrie tout à fait consistante que j'ai développée pour moi-même (. . . ) Tous mes efforts pour trouver une contradiction ont été vains (. . . ) Considérez ceci comme une communication privée dont aucun usage public ne doit être fait. Lettre de K. F. GAUSS à Franz TAURINUS, 1824 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 58

Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » (1805 -1835) TABLE DES MATIÈRES GAUSS. 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski Mais il ne publiera rien, n’enseignera rien : Je crains la clameur des béotiens si je voulais exprimer mes vues sur cette étrange géométrie, tout à fait différente de la nôtre. Lettre de K. F. GAUSS à Friedrich BESSEL, 1824 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 59

Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » (1805 -1835) TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski Nicolas LOBATCHEVSKI : 1793 -1856. Après avoir étudié de très près les preuves de Legendre, il publie ses propres résultats en 1829 dans une revue très confidentielle, « le Messager de Kazan » . Voici ce qu’il dit de Legendre : Je compte parmi [les] points défectueux (…) l'importante lacune que présente la théorie des parallèles, et que les travaux des géomètres n'ont encore pu combler. Les efforts de Legendre n'ont rien ajouté à cette théorie, cet auteur ayant été forcé de quitter la voie du raisonnement rigoureux pour se jeter dans des considérations détournées, et de recourir à des principes qu'il cherche, sans raison suffisante, à faire passer pour des axiomes nécessaires. 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 60

Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » (1805 -1835) TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi LOBATCHEVSKI. Après avoir étudié de très près les preuves de Legendre, il publie ses propres résultats en 1829 dans une revue très confidentielle, « le Messager de Kazan » . Son idée est la suivante : 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 En réalité, il commence là où Saccheri bloquait, en le posant comme postulat a priori. Il démontre toute une liste de théorèmes dont la fameuse proposition 16, correspondant à la figure ci-dessus. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 61

Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » (1805 -1835) TABLE DES MATIÈRES MATIERES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Démonstration Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam Haytam Al Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : EUROPEENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON 4. PRECURSEURS EUCLIDIENS : NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES 6. LES MODELESPoincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 LOBATCHEVSKI. Toutes les droites tracées par un même point dans un plan peuvent se distribuer, par rapport à une droite donnée de ce plan, en deux classes, savoir : en droites qui coupent la droite donnée, et en droites qui ne la coupent pas. La droite qui forme la limite commune de ces deux classes est dite parallèle à la droite donnée. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 62

Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » (1805 -1835) TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 LOBATCHEVSKI. Voici encore quelques autres théorèmes : Théorème 19 Dans tout triangle rectiligne, la somme des trois angles ne peut surpasser deux droits. Théorème 22 Si deux perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles, la somme des angles quelconques d'un triangle rectiligne sera égale à . Théorème 24 Si on prolonge de plus en plus loin deux lignes parallèles dans le sens de leur parallélisme, elles s'approcheront de plus en plus l'une de l'autre. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 63

Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » (1805 -1835) TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 LOBATCHEVSKI. Voici ce qu’a écrit Gauss à Schumacher, à propos des travaux de Lobatchevski : J'ai eu dernièrement occasion de relire l'opuscule de Lobatschewsky, intitulé : Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallelenlinien. Cet opuscule contient les éléments de la géométrie qui devrait exister, et dont le développement formerait un enchainement rigoureux, si la géométrie euclidienne n'était pas vraie. Un certain Schweikardt a donné à cette géométrie le nom de géométrie astrale, Lobatschewsky celui de géométrie imaginaire. Vous savez que depuis cinquante-quatre ans (depuis 1792) je partage les mêmes convictions, sans parler ici de certains développements qu'ont reçues, depuis, mes idées sur ce sujet. Je n'ai donc trouvé dans l'ouvrage de Lobatschewsky aucun fait nouveau pour moi ; mais l'exposition est toute différente de celle que j'avais projetée, et l'auteur a traité la matière de main de maître et avec le véritable esprit géométrique. Je crois devoir appeler votre attention sur ce livre, dont la lecture ne peut manquer de vous causer le plus vif plaisir. Göttingen, 28 novembre 1846. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 64

Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » (1805 -1835) TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 Les travaux de Lobatchevski n’intéressent alors plus les mathématiciens : c’est la FIN d’un grand problème. Ce n’est qu’après 1860 que les idées de BolyaïLobatchevski se répandent, notamment en France, grâce à un livre de Jules HOUËL qui comprend : • la traduction des études géométriques de Lobatchevski ; • la correspondance de Gauss ; • la traduction du chapitre annexe (Appendix) de János Bolyaï. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 65

Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre LES MODÈLES DE POINCARÉ (1854, Nancy – 1912, Paris) Découverts en 1890, postérieurement aux modèles de Beltrami (1869) et de Klein (1871) [cf. infra], ce sont cependant les plus simples à comprendre. Il s’agit de modèles euclidiens des propriétés de la géométrie non euclidienne. 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 66

Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 1 er modèle de POINCARÉ Les droites sont des demi-cercles (ou demi-droites) orthogonaux à la droite de l’infini : Un cercle reste un cercle. 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert Les angles sont conservés. Les isométries de cette géométrie sont les inversions euclidiennes (par rapport à un cercle centré sur la droite de l’infini). 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 67

Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 1 er modèle de POINCARÉ Sur la figure ci-dessous, deux « triangles » à côtés deux à deux parallèles : 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Les voyez-vous « semblables » ? Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 68

Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 2 e modèle de POINCARÉ Il s’agit du modèle précédent auquel on a fait subir la transformation 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi de sur le disque unité. 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres (rappel de la figure de Lobatchevski) Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 69

Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2 e modèle de POINCARÉ 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Un exemple de pavage du plan par des triangles rectangles Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 70

Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert LES AUTRES MODÈLES : BELTRAMI, 1869 (Eugénio BELTRAMI : Crémone, 1835 – Rome, 1900) Publié en 1869, il est plus difficile à représenter. Il nécessite des tracés sur la pseudo-sphère engendrée par la rotation d’une tractrice autour de l’axe Ox. La tractrice est la solution de l’équation différentielle 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 71

Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES BELTRAMI. 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Mais BELTRAMI est surtout connu pour sa preuve de la consistance de la géométrie : il a prouvé que si la géométrie non euclidienne aboutissait à une contradiction, alors la même contradiction se retrouverait dans la géométrie euclidienne. On dit que ces deux géométries ont la même valeur logique. À ce sujet, lire le texte de G. Lelièvre Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 72

Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre LES AUTRES MODÈLES : KLEIN, 1871 Félix KLEIN, Düsseldorf, 1849 – Göttingen, 1925 Il travaille sur la nappe d’hyperboloïde d’équation qu’il n’est pas possible de représenter ici ! 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 73

Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi KLEIN. Félix Klein a également fait, suite aux travaux de RIEMANN sur les surfaces, une classification des géométries : 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 La théorie de la relativité générale d’Einstein montre que l’univers n’est pas euclidien. Par contre, sa géométrie n’est pas encore définie : si elle est elliptique, l’univers est fini ; si elle est hyperbolique, l’univers est infini. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 74

Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 Dans la géométrie du globe terrestre, les « droites » y sont les grands cercles (ou géodésiques). Et pourtant cette géométrie ne fait pas partie de la classification cidessus. Dans tout « triangle » , la somme des angles y est bien supérieure à deux droits. Et deux triangles ayant des angles égaux y sont égaux (ils ne peuvent pas être « semblables » )… AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 75

Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski … Et par un point du globe il ne passe aucune « droite » (grand cercle) qui ne coupe pas une droite donnée : les parallèles n’existent pas. … Par contre, le 6 e postulat d’Euclide (Deux droites ne renferment point un espace) n’y est pas vérifié. 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 76

EN GUISE DE CONCLUSION… TABLE DES MATIÈRES 1. ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi Que doit-on penser de cette question : La géométrie euclidienne est-elle vraie ? Elle n’a aucun sens. Autant demander si le système métrique est vrai et les anciennes mesures fausses ; si les coordonnées cartésiennes sont vraies et les coordonnées polaires fausses. Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu’une autre ; elle peut seulement être plus commode. » 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert H. Poincaré, La science et l’hypothèse, chapitre 3, « Les géométries non euclidiennes » À ce sujet, lire le texte de G. Lelièvre 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 77

Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 FIN AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES Jacques VERDIER, Besançon 2007 78