Ministero Della Pubblica Istruzione Ufficio Scolastico Regionale Per

Ministero Della Pubblica Istruzione Ufficio Scolastico Regionale Per Il Lazio I. C. “P. M. CORRADINI “ - Via di San Matteo, 104 - 00044 Roma L’area di una figura curvilinea mediante il concetto di integrale Classe 3 A Docente: Romina Cerroni Dipartimento di Matematica Università degli studi Roma Tor Vergata Roma, 13 Maggio 2016 1

Obiettivi di un progetto di potenziamento matematico • • Affrontare situazioni problematiche con spirito analitico, Progettare e costruire modelli di situazioni reali, Riconoscere schemi ricorrenti, stabilendo analogie con modelli noti; Finalizzare attività di tipo manipolativo e grafico alla costruzione di concetti; • Affrontare situazioni problematiche congetturando diverse strategie risolutive con verifica dei risultati ottenuti; • Acquisire consapevolezza dei rapporti tra il pensiero matematico ed il contesto storico, culturale, scientifico e tecnologico. • Aumentare l’attenzione nei confronti della Matematica nella fascia d’età più recettiva, in quella fascia dove si formano e si consolidano le inclinazioni o le avversioni per le discipline. 2

Perché il laboratorio Nelle varie fasi di lavoro ai momenti di produzione individuale deve seguire il confronto e la relazione critica del percorso. Si parte dal problema, non dalla sua soluzione, cioè si crea una situazione in cui si opera e si progetta, mobilitando tutte le conoscenze e le abilità di cui siamo capaci Il laboratorio favorisce l’esplorazione, la modellizzazione e la deduzione operativa. Il lavoro non è mai individuale. C’è una collaborazione costruttiva tra i gli studenti all’interno del gruppo e l’insegnante. Per risolvere i problemi posti dalle situazioni concrete, l’intuizione si unisce al rigore, la fantasia al metodo, l’inventiva al mestiere Tutto ciò che si fa ha un suo senso, anche gli errori, e contribuisce a costruire il significato dell’insieme e delle conoscenze. 3

Il nostro problema Determinare l’area di una regione del piano che si trova, in un sistema di assi cartesiani ortogonali, al di sopra dell’asse delle ascisse e al di sotto del grafico di una funzione continua e positiva f(x) in un intervallo chiuso (a, b) 4

Prerequisiti • Piano cartesiano • Misura dell’area di un rettangolo • Concetto di funzione matematica • Tanta curiosità • … una buona dose di immaginazione! I concetti dell’Analisi Matematica che anticipiamo: • Approssimazione • Limite • Integrale definito 5

Un po’ di storia Archimede di Siracusa, 287 a. C. La scuola di Atene di Raffaello 6

Il metodo dell’esaustione E’ un procedimento pensato per calcolare le aree di varie figure geometriche piane, come il cerchio. L'area del cerchio è determinata costruendo una successione di poligoni noti che assomigliano sempre di più al cerchio. Ad esempio, un pentagono, un esagono e un ottagono. Consiste nella costruzione di tanti poligoni con i lati sempre più piccoli che ‘si avvicinano’ al cerchio. A seconda che si scelgano poligoni iscritti o circoscritti nella circonferenza, l’ area del cerchio risulterà essere approssimata inferiormente o superiormente. L'area della figura risulta essere quindi il valore ‘limite’ tra le aree dei poligoni inscritti e circoscritti. 7

Un primo approccio al problema La professoressa ci chiede: l’area della nostra figura sarà un numero ‘esatto’? Dopo acceso dibattito ci convinciamo di NO, forti anche delle esperienze maturate nella discussione sui numeri irrazionali e sulla quadratura del cerchio. Ci convinciamo quindi della necessità di agire per approssimazione, cercando sempre un elemento ‘minorante’ ed uno ‘maggiorante’ della nostra superficie curvilinea. L’approssimazione, a quanto abbiamo capito, porta inevitabilmente con sé un errore, più o meno grossolano 8

La nostra idea per risolvere il problema: primo tentativo Dividiamo la superficie curvilinea in tanti piccoli rettangoli. Li chiameremo rettangoli interni; di questi sappiamo misurare l’area. Poi calcoliamo la somma di tutte le aree. Bene, cominciamo! 9

Dividiamo l’intervallo (a, b) in n intervallini Ampiezza uguale 10

Costruiamo i rettangoli ‘interni’ Li faremo rossi La base di ogni rettangolo è la differenza tra due ascisse consecutive. Ma quale è l’altezza di ogni rettangolo? ? Interviene la Prof. : il minimo della funzione in ogni intervallo 11

Copriamo ‘tutta’ la superficie Chiamiamo sn la somma delle aree dei rettangoli interni (440, 8 cm quadrati) NON BASTA! Restano fuori queste aree 12

Secondo tentativo Introduciamo pure i rettangoli ‘esterni’ posti al di sopra della linea curva. Così facendo riusciamo a recuperare anche le aree scoperte della figura precedente. Disegnando rettangoli sempre più ‘stretti’ (aventi cioè la base piccola) lo ‘scarto’ tra area interna ed esterna sarà praticamente nullo 13

Costruiamo i rettangoli esterni Quale è l’altezza di ogni rettangolo? ? Interviene la Prof. : il massimo della funzione in ogni intervallo 14

Altri rettangoli esterni (blu) 15

Copriamo la superficie ‘esterna’ Sn: somma delle aree dei rettangoli esterni (520, 8 cm quadrati) Abbiamo trovato due numeri, sn ed Sn. 16

E adesso? • Abbiamo capito che il numero Sn è sicuramente maggiore del numero sn. • La Professoressa ci spiega che la differenza tra i due numeri Sn ed sn rappresenta l’errore massimo commesso nella valutazione dell’area Il nostro errore è 80 cm quadrati!!!! 17

Azzeriamo l’errore! • • • La Prof ci chiede: Perché un simile errore? E noi: Perché i rettangoli sono troppo larghi Allora facciamoli più stretti … Ma quanti ne dobbiamo fare? E noi: tanti, tantissimi, infiniti! Quindi, in definitiva, dobbiamo aumentare il numero degli intervallini in cui dividere il nostro intervallo iniziale (a, b), considerandone un numero sempre maggiore che ‘tende’ all’infinito Così facendo riusciamo a ricoprire l’intera figura curvilinea, azzerando, di fatto, lo ‘scarto’ tra i rettangoli esterni e quelli interni. Non si parla più di approssimazione ma di calcolo esatto. In Analisi Matematica questa operazione si chiama limite. Si può dimostrare che: 18

Esattamente, cosa è l’integrale? Questa area si chiama INTEGRALE DEFINITO DELLA FUNZIONE NELL’INTERVALLO (a, b). Ed è un numero! Il simbolo che rappresenta l’integrale fu introdotto da Leibniz alla fine del XVII sec. Il simbolo deriva dalla esse maiuscola, prima lettera della parola latina summa, poiché Leibniz considerava l’integrale come somma infinita di addendi tendenti a zero. 19

Una nostra valutazione del progetto Punti di forza: Entusiasmo, coinvolgimento, aumento della motivazione e della collaborazione. Punti di debolezza: Difficoltà di astrazione, di generalizzazione di procedure risolutive, di individuazione di relazioni fra grandezze. Possibile strategia risolutiva: aumentare l’attività laboratoriale per rendere ‘esperibili’ i concetti teorici 20

La lezione di Maria Montessori Se si è imparato ad imparare allora si è fatti per imparare (per genitori e docenti!) Il vero premio è riuscire a raggiungere l’obiettivo (Le ricompense) S’impara meglio facendo, piuttosto che ascoltando (Il contesto) Le mani sono gli strumenti propri dell’intelligenza dell’uomo (Il lavoro manuale). Aiutiamoli a fare da soli (Autonomia dei bambini) Il bambino che si concentra è immensamente felice (Felicità dei bambini) 21

Una riflessione di Carlo Rubbia «Ho imparato che la vita è un recipiente, devi considerarlo sempre mezzo pieno. Sono nato in un tempo di tragedia, in cui non potevi non essere ottimista. I miei mi raccomandavano: credi in te, guarda sempre avanti. Così ho fatto. Sono sempre curioso. Cerco ancora dentro di me lo stupore ingenuo dell’infanzia. E’ nel bambino che vediamo la scintilla della curiosità, nel bambino che rompe il giocattolo perché vuole sapere come è fatto. La curiosità, non la saggezza, ha trasformato l’uomo. La conoscenza è basata sull’incertezza, sui traguardi che appaiono impossibili, sulle piccole cose che scorgiamo lontanissime, indefinite e spaventose, ma che ci attraggono come un magnete. Solo gli intrepidi e gli avventurieri le vedranno da vicino. » 22

Questi siamo noi Grazie al Professor Ghione ed al Professor Pasquazi per averci dato questa opportunità 23

Chi siamo • • • Alessia Altieri Alessandro Aversano Chiara Cangianiello Tommaso Compagnucci Eleonora Ferreri Noemi Mataldi Gabriele Nava Sara Nazzaro Marta Sciunzi Livia Pescante Alessio Zoco Classe 3°, a. s. 2015/16 IC Corradini, Via San Matteo 104 Roma Docente R. Cerroni 24

Un potenziamento matematico Motivazione dell’intervento: Aumentare l’attenzione nei confronti della Matematica nella fascia d’età più recettiva, in quella fascia dove si formano e si cristallizzano inclinazioni o avversioni per le discipline. Cosa ci aspettiamo: Competenze: • affrontare situazioni problematiche con spirito analitico, • congetturare diverse strategie risolutive, • porsi e risolvere problemi, • progettare e costruire modelli di situazioni reali, • operare scelte in condizioni d'incertezza. • orientarsi in situazioni quotidiane non premodellizzate; • acquisire una corretta capacità di giudizio Come lo realizziamo: attraverso il laboratorio (lavoro, agire e fare, fatica, operosità) 25