Milyen nehz egy jtk 2 D sszerakk Tangramok

Milyen nehéz egy játék

2 D összerakók - Tangramok Szabályos alakzat szétvágásával keletkező elemek

2 D összerakók - Tangramok Klasszikus tangram Elemek: – Száma: 7 – Tengelyesen szimm. : 6 – Forgásszimm. : 2 – Szimmetria nélkül: 0 – Egybevágók: 2 -2

2 D összerakók - Tangramok Japán tangram Elemek: – Száma: 7 – Tengelyesen szimm. : 5 – Forgásszimm. : 2 – Szimmetria nélkül: 1 – Egybevágók: 2

2 D összerakók - Tangramok Trigo tangram

2 D összerakók - Tangramok Trigo tangram Elemek: • • • Száma: 7 Tengelyesen szimmetrikus: 5 Forgásszimmetrikus: 2 Szimmetria nélkül: 1 Egybevágók: 0

2 D összerakók - Tangramok Diaphan Elemek: • • • Száma: 7 Tengelyesen szimm: 3 Forgásszimm: 0 Szimmetria nélkül: 4 Egybevágók: 2

2 D összerakók - Tangramok Elemek: • • • Száma: 4 Tengelyesen szimm: 0 Forgásszimm: 0 Szimmetria nélkül: 4 Egybevágók: 0

Kombinatorikus 2 D összerakók Szabályos alakzat összeillesztésével keletkező elemek Pl. háromszögek, négyzetek, hatszögek…

Kombinatorikus 2 D összerakók • Négyzetek összeillesztésével keletkező elemek (Polyominók) monominó, dominó triominó pentomino tetrominó

Kombinatorikus 2 D összerakók Nagyobb elemszámú polyominók n P(n) 6 hexominó 35 7 heptominó 108 8 octominó 369 9 1285 10 4655 11 17073 12 63600 13 238591 14 901971 15 3426576 n=28 -ig tudjuk pontosan (2004): P(28)=153. 511. 100. 594. 603 (Golomb, Rivest, Coxeter, Silva. . . )

Kombinatorikus 2 D összerakók Pentominó Elemek: • • • Száma: 12 Tengelyesen szimm: 6 Forgásszimm: 3 Szimmetria nélkül: 5 Egybevágók: 0

Kombinatorikus 2 D összerakók Pentomino és sakktábla Lefedhető e pentominókkal minden 8*8 -as sakktábla, amiből 4 mezőt kivágunk?

Kombinatorikus 2 D összerakók Pentomino és sakktábla Lefedhető e pentominókkal minden 8*8 -as sakktábla, amiből 4 mezőt kivágunk? Ezek igen!

Kombinatorikus 2 D összerakók Pentomino és sakktábla Lefedhető e pentominókkal minden 8*8 -as sakktábla, amiből 4 mezőt kivágunk? De nem mind !

Kombinatorikus 2 D összerakók Hexominó 35 elem, ebből 20 szimmetria nélkül

Kombinatorikus 2 D összerakók Hexominó Téglalapot nem lehet kirakni belőle!

Kombinatorikus 2 D összerakók Cornucopia Hexominó szimmetria és 2*2 -es négyzet nélküli elemeiből áll

Kombinatorikus 2 D összerakók Cornucopia Elemek: • • • Száma: 17 Tengelyesen szimm: 0 Forgásszimm: 0 Szimmetria nélkül: 17 Egybevágók: 0 Válasszunk ki 10 elemet!

Kombinatorikus 2 D összerakók Hatszögek összeillesztésével keletkező elemek (Polyhex-ek) monohex, duohex triohex hexó

Kombinatorikus 2 D összerakók Hexó Elemek: • • • Száma: 7 Tengelyesen szimm: 4 Forgásszimm: 4 Szimmetria nélkül: 2 Egybevágók: 0

Kombinatorikus 2 D összerakók Polyhex-ek n=19 -ig tudjuk pontosan (2004): H(19)=41. 892. 642. 772 n H(n) 1 1 2 1 3 3 4 7 5 22 6 82 7 333 8 1448 9 6572 10 30490 11 143552 12 683101 13 3274826

Kombinatorikus 2 D összerakók Szabályos háromszögek összeillesztésével keletkező elemek (Polyiamond-ok) n D(n) 7 24 8 66 9 160 10 448 11 1186 12 3334 13 9235 14 26166 15 73983 … … 28 75. 195. 166. 667

Kombinatorikus 2 D összerakók Tricó Elemek: • • • Száma: 12 Tengelyesen szimm: 5 Forgásszimm: 4 Szimmetria nélkül: 5 Egybevágók: 0

Kombinatorikus 2 D összerakók Egyenlőszárú derékszögű háromszögek összeillesztésével keletkező elemek Elemek: • • • Diaboló Száma: 14 Tengelyesen szimm: 6 Forgásszimm: 5 Szimmetria nélkül: 5 Egybevágók: 0

3 D összerakók Általában szabályos alakzatot kell kirakni (kocka, téglatest, lépcső, henger. . . )

3 D összerakók Soma kocka Minden 3 és 4 kockából álló nem “egyenes” elem: Elemek: • • • Száma: 7 3 D Forgásszimm: 6 Szimmetria nélkül: 1 Egybevágók: 0 Kocka megoldásai: >200

3 D összerakók 3 D pentominó Minden 5 kockából álló síkba fektethető elem Elemek: • • • Száma: 12 3 D Forgásszimm: 7 Szimmetria nélkül: 5 Egybevágók: 0 Téglatestek m. o. : >100

3 D összerakók 25 Y Vagy akármelyik 3 D pentominó elemből 25 db Elemek: • • • Száma: 25 3 D Forgásszimm: 0 Szimmetria nélkül: 25 Egybevágók: 25 Kocka m. o. : ? ? ?

3 D összerakók Conway kockái Legegyszerűbb egy megoldásos kockák Elemek: • • • Száma: 9 3 D Forgásszimm: 9 Szimmetria nélkül: 0 Egybevágók: 3 -6 Kocka m. o. : 1

3 D összerakók Coffin kockái (5 elem) Egy megoldásos kockák, az elemek minél kevesebb szimmetriájával Elemek: • • • Száma: 5 3 D Forgásszimm: 1 Szimmetria nélkül: 4 Egybevágók: 0 Kocka m. o. : 1

3 D összerakók Coffin kockái (Half hour) Egy megoldásos kocka, az elemek minél kevesebb szimmetriájával Elemek: • • • Száma: 6 3 D Forgásszimm: 3 Szimmetria nélkül: 3 Egybevágók: 0 Kocka m. o. : 1

3 D összerakók Coffin félkockái 2*2*1 -es hasábok összes lehetséges elrendezése Elemek: • Száma: 10 • 4*4*5 -ös tégla kirakható • Megoldások: 87

3 D összerakók Coffin félkockái 2*2*1 -es hasábok összes lehetséges elrendezése a két téglatest nélkül Elemek: • Száma: 8 • 4*4*4 -es kocka nem kirakható • Egy elhagyva, egy megduplázva már kirakható (2 m. o. )

Összekapcsolódó • Öntartóak • Egymáson áthatoló elemek • Fontos az összerakási sorrend • Sok szimmetria

6 elemű rabkeresztek Elemek: • 6*2*2 -es vagy hosszabb hasábok • Kis kockák kivágva • Elvben: 212=4096 féle elem • Ténylegesen: 837 • Fajtái: – fűrészelhető – marható – általános

6 elemű rabkeresztek • • • Legegyszerűbb Tömör Szimmetrikus elemek: 6 Egyforma elemek: 3 -2 1 -es fokozat 1 -es típus

6 elemű rabkeresztek • • • Legismertebb Tömör Szimmetrikus elemek: 4 Egyforma elemek: 0 1 -es fokozat 1 -es típus

6 elemű rabkeresztek • • • Legnehezebb tömör Szimmetrikus elemek: 0 Egyforma elemek: 0 1 -es fokozat 3 -as típus • Egy elem kicserélésével egy másik hasonlóan nehezet kapunk

6 elemű rabkeresztek • • Legnehezebb fűrészelhető Szimmetrikus elemek: 2 Egyforma elemek: 2 5 -ös fokozat 3 -as típus 10 hosszú 480 hamis megoldás!

6 elemű rabkeresztek • • Legnagyobb fokozatú Szimmetrikus elemek: 2 Egyforma elemek: 0 10 -es fokozat!!! 2 -es típus 8 hosszú 1 megoldás

6 elemű rabkeresztek • Készlet az összes tömör kereszthez: 42 db elem 25 fajta 220 megoldás

Összekapcsolódó • 2003 -as verseny nyertese

Szétválasztók • Nehezen elemezhető • Változatos bonyolultság

Szétválasztók Azonos elv, különböző bonyolultság

Szétválasztók Az elv bonyolítása

Szétválasztók Az egyszerűtől a lehetetlenig?