Midzy duchem a materi poredniczy matematyka Hugo Steinhaus

„Między duchem a materią pośredniczy matematyka. ” Hugo Steinhaus

FIGURY PODOBNE. Podobieństwo – przekształcenie geometryczne zachowujące stosunek odległości punktów Podobieństwo w matematyce ma wiele wspólnego z podobieństwem rozumianym w sposób potoczny. W życiu codziennym podobieństwo dwóch rzeczy jest kwestią subiektywną, w matematyce jest określone ścisłą definicją. Nie wystarczy stwierdzić „na oko”, że dwie figury są podobne, trzeba to sprawdzić.

• Aby dwie figury były podobne muszą być tego samego kształtu, lecz mogą być różnej wielkości. • Dwa wielokąty są podobne jeśli ich odpowiednie kąty są równe a odpowiednie boki proporcjonalne

PRZYKŁADY FIGUR PODOBNYCH. Figury o tym samym kolorze są podobne.

FIGURY PODOBNE. Figurami podobnymi są: - każde dwa odcinki - każde dwa koła - każde dwa okręgi - każde dwie proste - każde dwa kwadraty - każde dwa trójkąty równoboczne - każde dwie figury, które mają taki sam kształt, a różnią się najwyżej wielkością

• Liczbę k równą stosunkowi długości odpowiadających sobie odcinków figur podobnych nazywamy skalą podobieństwa. • Podobieństwo oznaczamy: F F’ (czytaj: figura F jest podobna do figury F’) • k>0

• Jeśli figura f jest podobna do figury f’ w skali k, to stosunek pól tych figur jest równy k 2 • Jeśli figura f jest podobna do figury f’ w skali k, to figura f’ jest podobna do figury f w skali 1/k • Jeśli figura f jest podobna do figury f’ w skali k, to stosunek ich objętości jest równy k 3

• Skala mówi nam ile razy figury podobne są większe lub mniejsze od siebie. Jest to zawszę liczba dodatnia (k > 0). Jeżeli: • k < 1 – to figura podobna jest mniejsza od wyjściowej; • k = 1 – to figura podobna jest identyczna jak figura wyjściowa; • k > 1 – to figura podobna jest większa od wyjściowej • Gdy dana jest długość odcinka figury wyjściowej – a, oraz skala podobieństwa – k, w prosty sposób możemy obliczyć długość tego odcinka w figurze podobnej do danej – a’. • a’= k ∙ a

PRZYKŁADY FIGUR PODOBNYCH. Wielokąt A’B’C’D’E’ jest podobny do wielokąta ABCDE ponieważ: ∢A = ∢ A’; ∢ B = ∢ B’; ∢ C = ∢C’; ∢ D = ∢ D’; ∢ E = ∢ E’, oraz: A’B’C’D’E’ ABCDE w skali k = 2 ABCDE A’B’C’D’E’ w skali k =

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. W jakiej skali kwadrat o boku 9 cm jest podobny do kwadratu o boku 22, 5 cm? Oznaczmy: a‘ – długość boku kwadratu podobnego, a – długość boku kwadratu wyjściowego. Skalę podobieństwa obliczamy dzieląc długość boku figury podobnej do danej, przez długość boku figury wyjściowej:

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Prostokąt WILK ma wymiary 5, 5 cm x 6, 9 cm. Czy prostokąt SOWA o wymiarach 38, 5 cm x 48, 3 cm jest podobny do prostokąta WILK? Sprawdzamy, czy stosunek odpowiednich boków prostokątów WILK i SOWA jest stały. Dzielimy krótszy bok przez krótszy, a dłuższy przez dłuższy: W obu dzieleniach otrzymaliśmy tę samą liczbę a więc stosunek odpowiednich boków jest stały. Prostokąt SOWA jest podobny do prostokąta WILK, skala podobieństwa k = 7.

PRZYKŁADY.

Stosunek obwodów figur podobnych jest równy skali podobieństwa. • Ob – obwód figury wyjściowej • Ob’ – obwód figury podobnej do figury wyjściowej • k – skala podobieństwa

PRZYKŁADY.

Aby rozstrzygnąć, czy dwa prostokąty są podobne, wystarczy sprawdzić, czy stosunek dwóch prostopadłych boków jednego prostokąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków drugiego prostokąta.

PRZYKŁADY Z ŻYCIA • Mapa • fraktale- figury które posiadają te własność że pewne ich fragmenty są podobne do całego fraktala np. : dywan Sierpińskiego itp.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Narysowane poniżej wielokąty są podobne. a) Jaka jest skala podobieństwa większego wielokąta do mniejszego? b) Jaka jest skala podobieństwa mniejszego wielokąta do większego? c) Oblicz długości boków oznaczonych literami.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy. a) Aby obliczyć skalę podobieństwa większego wielokąta do mniejszego, dzielimy przez siebie długość jednego z boków większego wielokąta przez długość odpowiadającego mu boku z mniejszego wielokąta: b) Skala podobieństwa mniejszego wielokąta do większego jest liczbą odwrotną do skali obliczonej w podpunkcie a, czyli:

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy. c) Aby obliczyć długość boków x i y mnożymy długości odpowiadających im boków z mniejszej figury przez skalę podobieństwa większego wielokąta do mniejszego (powiększamy boki): ;

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy. Aby obliczyć długości boków a i b mnożymy odpowiadające im długości boków większego wielokąta przez skalę podobieństwa mniejszego wielokąta do większego (pomniejszamy boki):

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Przedstawione na rysunku trójkąty są równoboczne. Jaka jest skala podobieństwa mniejszego trójkąta do większego? Bok mniejszego trójkąta jest jednocześnie wysokością większego trójkąta. Jeśli oznaczymy bok większego trójkąta przez a, jego wysokość można wyliczyć ze wzoru:

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2 – ciąg dalszy. Skalę podobieństwa obliczamy dzieląc długość boku mniejszego trójkąta – h, przez długość boku większego trójkąta – a:

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3. Dowiedź, że prostokąty o wymiarach: 9 cm x 12 cm i 32 dm x 24 dm są podobne. Jaka jest skala podobieństwa większego prostokąta do mniejszego? Podobieństwo tych prostokątów wynika z poprzednich faktów. Jeżeli podzielę przez siebie krótszy i dłuższy bok w każdym prostokącie, to otrzymam tę samą liczbę: Skracamy jednostki i upraszczamy ułamek przez 3. Skracamy jednostki i upraszczamy ułamek przez 8.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy. UWAGA. Powyższa równość świadczy o tym, że dane prostokąty są podobne, nie określa ona jednak skali podobieństwa. Aby obliczyć skalę podobieństwa dzielę długość np. dłuższego boku większego prostokąta przez długość dłuższego boku mniejszego prostokąta, sprowadzając wcześniej długości do wspólnej jednostki: 32 dm = 320 cm

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4. W pewnym prostokącie przekątna jest cztery razy dłuższa niż krótszy bok tego prostokąta. W prostokącie do niego podobnym krótszy bok ma 2, 75 cm długości. Jaką długość ma przekątna tego prostokąta? Skoro drugi prostokąt jest podobny do pierwszego, zgodnie z podanymi wcześniej faktami odpowiedni odcinki pozostają w takim samym stosunku. Jeśli w pierwszym prostokącie przekątna jest cztery razy dłuższa niż krótszy bok, to w prostokącie do niego podobnym jest tak samo, więc: d = 4 ∙ 2, 75 cm = 11 cm.

ŹRÓDŁA • www. szkolnictwo. pl • Wikipedia • Inne strony internetowe

Wykonali • Eliza Kudaj • Patryk Hapoń