Metody matematyczne w inynierii chemicznej Wykad 4 Cakowanie

Metody matematyczne w inżynierii chemicznej Wykład 4. Całkowanie numeryczne

Całki i kwadratury czyli odrobina teorii

Kwadratury Newtona-Cotese’a Metoda trapezów i Simpsona należy do kwadratur Newtona-Cotese’a Mają one równoodległe węzły

Kwadratury Newtona-Cotese’a Dla w(x)=1

Kwadratury Gause’a – Legendre’a Wielomian Legendre’a Konwersja liniowa całki gdzie wówczas

Kwadratury Gause’a – Legendre’a

Kwadratury Gause’a – Legendre’a - błąd Pn (x) – wielomian Legendre’a

Metoda Monte Carlo

Zasada metody fmax(x) a b

Generowanie punktów Generuje się współrzędne x i y Wykorzystuje się liczby losowe (l. l. ) o rozkładzie jednostajnym Domyślny generator ma zakres 0 -1 Współrzędna x = a + l. l. *(b-a) Współrzędna y = l. l. *fmax(x)

Obliczanie ilości trafień Wylosowany punkt o współrzędnych (xi, yi) jest trafiony jeżeli:

Dokładność metody zależy od: Ilości wygenerowanych punktów Jakości generatora liczb losowych

Algorytm 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Podaj granice całkowania i funkcję f Podaj ilość losowań N I, j=0 Znajdź wartość fmax w przedziale <a, b> X=a+rnd*(b-a) Y=rnd*f. max I=I+1 Jeżeli Y<=f(X) to j=j+1 Jeżeli i<N to idź do 5 P=j/n*(b-a)*fmax Drukuj P

Numeryczne obliczanie pochodnych

Pochodne funkcji w punkcie x 0 x 1 x 2

Pochodne centralne -

Pochodne centralne O(h 2)

Pochodne centralne O(h 3)

Pochodne w przód/w tył O(h)

Pochodne w przód/w tył O(h 2)

Pochodne w przód/w tył O(h 3)

Zastosowanie numerycznego obliczania pochodnej w algorytmie znajdowania pierwiastków metodą Newtona

Algorytm metody Newtona 1. Wprowadzić punkt startowy x 1 oraz dokładność 2. Obliczyć y 1 3. Obliczyć y'1 4. Obliczyć 5. Jeżeli |x 2 - x 1 | to drukuj x 2, koniec. 6. x 1= x 2 7. Powrót do punktu 2 8. Koniec.

Algorytm obliczenia pochodnej 3. 1 Przyjąć krok h = 0. 001 3. 2 Obliczyć y 0 = f(x-h) 3. 3 Obliczyć y 2 = f(x+h) 3. 4 Obliczyć y' = (y 2 - y 0 )/(2 h) 3. 5. Sprawdzić, czy y' nie jest równe 0. Jeżeli tak drukuj informację "zły punkt startowy" i zakończ program.