Metody matematyczne w inynierii chemicznej Wykad 3 Cakowanie

Metody matematyczne w inżynierii chemicznej Wykład 3. Całkowanie numeryczne

Graficzna definicja całki oznaczonej P a b

Graficzna definicja całki oznaczonej y Pi f(x) a x 1 x 2 b x

Metoda prostokątów y Pi a x 0 x 1 x 2 xi xi+1 b x. N x

Błąd metody zależność u(x)= przybliżamy (aproksymujemy) inną funkcją U(x, h) = Wymagane jest by funkcja "zastępcza" dla h 0 była zbieżna do u(x). Oznacza to, że różnica (Residuum) R musi dążyć do 0 dla h dążącego do 0

Błąd metody Dla metody istotne jest jak szybko zmniejsza się R, co można zapisać n – dodatnia liczba całkowita oznaczająca rząd metody Dla jednego kroku metoda prostokątów ma rząd n = 2 Wielokrotne użycie każdej z metoda zmniejsza rząd o 1 Ostatecznie

Metoda trapezów y Pi a x 0 x 1 x 2 xi xi+1 b x. N x

Metoda trapezów Ostateczny wzór na obliczanie całki metodą trapezów:

Metoda trapezów algorytm 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. Przeczytaj granice całkowania, x 0 i x. N Przeczytaj ilość podziałów N Oblicz h = (x 0 - x 1)/N Oblicz y 0 i y. N Oblicz P = h/2(y 0 + y. N) Przyjmij i = 1 Oblicz xi = x 0 +ih Oblicz yi Oblicz P = P + hyi Zwiększ i o 1 (i=i+1) Jeżeli i N-1 to idź do p. 6 Drukuj P Koniec

Metoda trapezów schemat blokowy start 1 Czytaj N, x 0, x. N P = P + hyi h = (x 0+x. N)/N i=i+1 y 0 = y(x 0) i N-1 y. N = y(x. N) P = h/2(y 0 + y. N) i=1 xi = x 0+ih yi = y(xi) 1 Drukuj P koniec y(x) y = funkcja x powrót

Metoda Simpsona y 2 y 0 y 1 P x 0+h x 0+2 h

Metoda Simpsona Inna postać:

Metoda Simpsona Warunki jakie musi spełniać ilość podziałów n: 1. n 2 2. n = 2 k, gdzie k to dowolna liczba naturalna

Metoda Simpsona program 10 DEF FNy(x) = jakaś funkcja x 20 INPUT "Podaj granice całkowania: "; x 0, x. N 30 INPUT "Na ile części podzielić przedział (liczba parzysta)"; N 40 IF (INT(N/2)-N/2) <> 0 THEN PRINT "N nie jest liczbą parzystą": GOTO 30 50 h = (x. N-x 0)/N 60 P = h/3*(FNy(x 0)+FNy(x. N)) 70 FOR i = 1 TO N-1 80 xi = x 0 + i*h 90 P = P + h/3*(3+(-1)^i)*FNy(xi) 100 NEXT i 110 PRINT "Całka ma wartość: "; P 120 END

Metoda Romberga Modyfikacja metody trapezów Zwiększenie dokładności poprzez zastosowanie ekstrapolacji http: //en. wikipedia. org/wiki/Richardson_extrapolation

Metoda Romberga Granice całkowania <a, b> dzielimy na N części to Przybliżoną wartość całki określa wzór: Jeżeli krok zmniejszymy 2 -krotnie: W ten sam sposób obliczmy: Jest oczywiste, że dla N otrzymamy wynik pozbawiony błędu metody. Pozostaje problem błędu zaokrąglenia!

Metoda Romberga Utwórzmy nowy ciąg zgodnie z równaniami: itd. Można wykazać, że ciąg taki jest szybciej zbieżny niż ciąg pierwotny.

Metoda Romberga Można utworzyć ciąg: itd. który jest jeszcze szybciej zbieżny.

Metoda Romberga Obliczenie przy znanym yi+1 y 1/2 y 1 y 3/2 yi y(2 i+1)/2 y 0 x 1/2 x 1 xi x 3/2 xi+1 x(2 i+1)/2

Metoda Romberga przykład Obliczyć całkę oznaczoną: 0, 693 147 181

Szacowanie błędu całkowania numerycznego Ogólny wzór na przybliżoną całkę oznaczoną: Jeżeli obliczymy wartość całki dla dwóch kroków o długości h 1 = h oraz h 2 = h/2

Szacowanie błędu całkowania numerycznego błąd metody jest funkcją kroku: Zakładamy, że h jest bardzo małe Poszukujemy tylko wartości A Podstawiając h: -

Szacowanie błędu całkowania numerycznego

Szacowanie błędu całkowania numerycznego

Numeryczne obliczanie pochodnych

Pochodne funkcji w punkcie x 0 x 1 x 2

Pochodne centralne -

Pochodne centralne O(h 2)

Pochodne centralne O(h 3)

Pochodne w przód/w tył O(h)

Pochodne w przód/w tył O(h 2)

Pochodne w przód/w tył O(h 3)

Zastosowanie numerycznego obliczania pochodnej w algorytmie znajdowania pierwiastków metodą Newtona

Algorytm metody Newtona 1. Wprowadzić punkt startowy x 1 oraz dokładność 2. Obliczyć y 1 3. Obliczyć y'1 4. Obliczyć 5. Jeżeli |x 2 - x 1 | to drukuj x 2, koniec. 6. x 1= x 2 7. Powrót do punktu 2 8. Koniec.

Algorytm obliczenia pochodnej 3. 1 Przyjąć krok h = 0. 001 3. 2 Obliczyć y 0 = f(x-h) 3. 3 Obliczyć y 2 = f(x+h) 3. 4 Obliczyć y' = (y 2 - y 0 )/(2 h) 3. 5. Sprawdzić, czy y' nie jest równe 0. Jeżeli tak drukuj informację "zły punkt startowy" i zakończ program.