Metodologia de Superfcie de Resposta Marlia Canabarro Zordan

Metodologia de Superfície de Resposta Marília Canabarro Zordan Sabrina Letícia Couto da Silva MAT 02014 - Planejamento de Experimentos II

MÉTODOS DE SUPERFÍCIE DE RESPOSTA -Conjunto de técnicas estatísticas usadas para analisar problemas com variáveis independentes contínuas em relação a variável aleatória. - O objetivo é buscar a combinação dos fatores que otimizam a resposta.

-É usado quando: • Fixa-se um fator A e varia-se o outro B. • Fixa-se B onde a resposta é máxima e varia-se A. • Variando os dois fatores conjuntamente. - A modelagem é usada para estabelecer a relação entre a variável resposta e a(s) variável (is) independente(s), pois em geral esta não é conhecida e precisa de aproximação.

O procedimento seqüencial na MSR é encontrar os resultados da ANOVA e verificar se: * São distante do ótimo, com pouca curvatura → Modelo de 1ª ordem Leva de forma rápida e vizinhança do valor ótimo. eficiente até a * A região ótima é encontrada → Modelo de 2ª ordem e análise do ótimo

Função e Representação Gráfica • y é a resposta (variável dependente, produção de um objeto) • x 1 e x 2 são os fatores (p. e, temperatura e pressão) • y = f(x 1, x 2) + erro • E(y) = η → η = f(x 1, x 2) = Superfície de Resposta • y = η + erro

Uma possível representação gráfica para a SR seria: x 1 e x 2 aparecem no plano y aparece no eixo perpendicular

Um representação alternativa é o gráfico de contornos. Desenham-se linhas de igual resposta de um gráfico cujas coordenadas representam os níveis dos fatores:

Para três ou mais fatores é mais comum a representação gráfica da superfície através do gráfico de contornos no espaço bidimensional, fixando um ou mais fatores no nível ótimo. Exemplo: Y = produção de uma reação química min) A = Tempo de Reação (60, 90, 120, 150, 180 B = Temperatura (210, 220, 230, 240, 250°C) Procedimento Clássico • Fixando B = 225°C → 130 min e 75 g • Fixando A = 130 min → 225°C e 75 g

E como os fatores se comportam conjuntamente? É preciso conduzir o experimento variando ambos os fatores simultaneamente e então para representação gráfica usar um gráfico de contornos. Continuando o exemplo. . . A = 65 minutos B = 225°C Y = 91 g

Conclusão do Exemplo: O procedimento de investigar uma variável independente (fator) de cada vez falha, pois ele assume que o máximo valor produzido por um fator é independente do máximo produzido pelo outro fator, o que nem sempre acontece.

Aproximações Como nem sempre a relação entre fatores e resposta é conhecida, o primeiro passo em MSR é encontrar uma aproximação adequada para a relação entre eles, dentro de uma faixa limitada do “espaço de fatores”. Se a resposta é bem modelada por uma função linear das var. independentes: y = β 0 + β 1 x 1 +. . . + βkxk + ε A análise da SR é então feita em termos da SR ajustada.

Modelos de Primeira Ordem Método da Máxima Inclinação Ascendente 1 - Delineamentos Exploratórios de Tratamentos 2 – Fatoriais da série 2 k Onde, K = n° de fatores completos ou fracionados 2 = n° de níveis 3 – Verificar se há acréscimo (decréscimo) na resposta ou não, com a presença dos fatores

• Condições iniciais estão afastadas daquelas que otimizam a resposta → Modelo de 1ª Ordem • O objetivo é mover o experimento rapidamente para a vizinhança geral do ótimo utilizando um procedimento experimental simples, rápido, econômico e eficiente. • MMIA procura a MÁXIMA inclinação ascendente • MMID procura a MÍNIMA inclinação descendente • O gráfico de contornos da SR de 1ª ordem são uma série de linhas paralelas. A direção da MIA é a direção na qual y estimado cresce mais rapidamente.

X 2 X 1 Usualmente, toma-se como caminho da MIA a linha a partir do centro da região de interesse e os “passos” ao longo do caminho são determinados pela experiência do pesquisador.

Utiliza-se um conjunto de tratamentos em torno do ponto inicial e estima-se por Mínimos Quadrados as inclinações βi. A partir das magnitudes e sinais destas inclinações, calcula-se a direção da MIA. • Experimentos são conduzidos ao longo do caminho da MIA até que nenhum incremento na resposta seja observado. E repetir a seqüência novamente. • Eventualmente chega-se a vizinhança do valor ótimo e isto será indicado pela falta de ajuste do modelo de 1ª ordem. • A aproximação por um plano se torna insatisfatória pelo fato dos efeitos de ordens mais elevadas, particularmente os de 2ª ordem (quadrático e de interação linear), se tornarem relativamente mais importantes. Nesse caso usa-se Modelo Quadráticos.

EXEMPLO (produção do reagente): O processo normal é operado com um tempo de 35 min e uma temperatura de 155°F, que resulta numa produção de 40%. Como a região ótima é desconhecida ajustase um modelo de 1ª ordem por MMIA. A região experimental será (30, 40) min para o tempo de reação e (150, 160)°F para temperatura. As variáveis independentes podem ser recodificadas para (-1, 1) para simplificar cálculos. os

Se ξ 1 e ξ 2 representam as variáveis naturais para tempo e temperatura respectivamente, os valores são codificados: “Tamanho do Passo” Média do Intervalo

O delineamento a ser utilizado nesse experimento consiste de um Fatorial 22 aumentado por CINCO PONTOS (Tratamentos) CENTRAIS. Com a utilização dos pontos centrais é possível estimar o erro experimental e testar a adequabilidade (“lack of fit”) do modelo de 1ª ordem. Além disso, nesse caso, o tratamento central representa as condições de operação normalmente empregadas. Deve-se ajustar aos dados um modelo de primeira ordem, ou seja, a equação de regressão

Dados Variáveis Naturais ξ 1 30 30 40 40 35 35 35 ξ 2 150 160 155 155 155 Variáveis Codificadas x 1 -1 -1 1 1 0 0 0 x 2 -1 1 0 0 0 Resposta y 39, 3 40, 0 40, 9 41, 5 40, 3 40, 5 40, 7 40, 2 40, 6

A equação de regressão encontrada é: A SQTotal é encontrada da mesma forma de qualquer outra análise, mas é particionada em SQRegressão e SQResíduos. A SQErro com 4 GL também é obtida de forma tradicional, porém só com os valores dos pontos centrais. Assim, o modelo de primeira ordem assume que os fatores possuem um efeito aditivo sobre a resposta.

A interação entre os fatores pode ser obtida adicionando o termo x 1 x 2 e é medida pelo coeficiente β 12. A estimativa é obtida (considerando as variáveis codificadas) por:

Para o exemplo. . . 1 GL A estatística da falta de ajuste é: F(1, 4)=7, 71 a 5% Logo, NS.

Outra verificação da adequabilidade do modelo é obtida pela comparação da resposta média dos quatro pontos do fatorial (40, 425), com a resposta média do centro do delineamento (40, 46). Se β 11 e β 22 são os coeficientes dos termos quadráticos , então a diferença das médias é uma estimativa de β 11+ β 22.

Efeito quadrático NS a 5% de significância.

Causas da Variação SQ GL QM F Regressão 2, 8250 2 1, 4125 47, 83* Resíduo 0, 1772 6 0, 0295 Interação 0, 0025 1 0, 0025 0, 058 Quadr. Puro 0, 0027 1 0, 027 0, 063 Erro 0, 1720 4 0, 0430 Total 3, 0022 8 * Significante a 1%

Assim, não existe nenhuma razão para questionar o modelo de primeira ordem. próximos passos da MIA devem seguir. Os Os fatores devem variar nas proporções das estimativas dos Betas, ou seja, para cada 0, 775 unidades acrescidas em x 1, x 2 deve aumentar 0, 325 unidades. Destransformando-a, direção da MIA é definida por: 5 x 0, 775 = 3, 875 minutos → 5 x 0, 325=1, 625° O caminho principal a partir da origem (0, 0) nesta direção pode ser obtido por um incremento conveniente a um dos fatores (p. e, 5 minutos para tempo). As mudanças proporcionais do outro fator: 0, 325/0, 775=0, 42.

Assim, estas quantidades devem ser acrescidas aos níveis base dando origem caminho da MIA. ao O engenheiro realizou os ensaios de acordo com esse caminho e observou a produção nesses pontos até que um decréscimo na resposta foi notado. Os resultados estão na tabela a seguir:

Variáveis Codificadas Nível Base X 1 X 2 ξ 1 ξ 2 0 0 35 155 5 5 3, 875 1, 625 Unidade* Variação do Nível Variáveis Naturais Resposta y 1, 00 0, 42 5 2 Ensaio 1 1 0, 42 40 157 41, 0 Ensaio 2 2 0, 84 45 159 42, 9 Ensaio 3 3 1, 26 50 151 47, 1 Ensaio 4 4 1, 68 55 163 49, 7 Ensaio 5 5 2, 10 60 165 53, 8 Ensaio 6 6 2, 52 65 167 59, 9 Ensaio 7 7 2, 96 70 169 65, 0 Ensaio 8 8 3, 36 75 171 70, 4 Ensaio 9 9 3, 78 80 173 77, 6 Ensaio 10 10 4, 20 85 175 80, 3 Ensaio 11 11 4, 62 90 177 76, 2 Ensaio 12 12 5, 04 95 179 75, 1

Incrementos na resposta são observados até o 10° passo; depois há um decréscimo na produção. Portanto, outro modelo de primeira ordem pode ser ajustado em torno do ponto (85, 175). A região de exploração para tempo seria (80, 90) e de temperatura (170, 180). Codificam-se os níveis das variáveis tempo e temperatura novamente como (-1, 1) e um delineamento fatorial 22 acrescido de 5 pts centrais será utilizado. Assim repete-se todo o processo e os resultados são analisados a seguir:

Dados para ajuste do segundo modelo de 1ª Ordem: Variáveis Naturais Variáveis Codificadas Resposta 1 2 X 1 X 2 y 80 170 -1 -1 76. 5 80 180 -1 1 77. 0 90 170 1 -1 78. 0 90 180 1 1 79. 5 85 175 0 0 79. 9 85 175 0 0 80. 3 85 175 0 0 80. 0 85 175 0 0 79. 7 85 175 0 0 79. 8

O modelo de 1ª Ordem ajustado aos dados codificados é dado por: Ŷ = 78. 97 + 1. 00 X 1 + 0. 50 X 2 Causas da Variação SQ GL QM F Regressão 5, 0000 2 2, 5000 47, 17* Resíduo 11, 1200 6 Interação 0, 2500 1 0, 2500 4, 72 Quadr. Puro 10, 6580 1 10, 6580 201, 09 * Erro Puro 0, 2120 4 0, 0530 Total 16, 1200 8 * Significativo a 1%

- Pela tabela de ANOVA, o componente do termo quadrático puro foi significativo, isso implica que o modelo de 1ª Ordem não é uma aproximação adequada; - Essa curvatura na real superfície pode indicar que se está próximo do ótimo. Assim, análises adicionais devem ser feitas para localizar o ótimo com mais precisão.

Algoritmo geral para determinar as coordenadas de um ponto no caminho da máxima inclinação ascendente: - assumir que o ponto x 1=0, x 2=0, . . . , xk=0 é a base ou origem. 1. Escolha um tamanho para uma das variáveis independentes, por exemplo, xj. Geralmente, selecionamos a variável que temos maior conhecimento, ou aquela que tem maior coeficiente de regressão em módulo . 2. O passo nas demais variáveis é: 3. Converter xi das variáveis codificadas para as variáveis naturais.

Análise de Modelos de Segunda Ordem - Quando o pesquisador está próximo da região de ótimo, um modelo que incorpora o efeito de curvatura é indicado. O modelo de 2ª Ordem é dado por: • Como encontrar o ponto ótimo (estacionário)? • Qual a natureza da superfície de reposta?

Localização do ponto estacionário Desejamos encontrar os níveis de x 1, x 2, . . . , xk, que maximizam a resposta estimada (predita). Este ponto, se existir, será um conjunto de x 1, x 2, . . . , xk para o qual as derivadas parciais são iguais a zero: Esse ponto, x 1. S, x 2. S, . . . , xk. S é o dito PONTO ESTACIONÁRIO Este ponto pode representar um MÁXIMO, MÍNIMO ou PONTO DE SELA.

Ponto de máximo (x. S) x 2 • Ponto de mínimo (x. S) x 2 80 • 60 70 70 60 x 1 80 x 1

Determinação do ponto estacionário: Solução matemática geral. O modelo de 2ª Ordem escrito na forma matricial fica: Onde: b é um vetor (k x 1) dos coeficientes de regressão de 1ª ordem e B é uma matriz simétrica (k x k) onde na diagonal têm-se os coeficientes de regressão de 2ª ordem e fora da diagonal os coeficientes de interação. As derivadas parciais dos valores preditos da resposta ( y chapéu) com relação aos elementos de x e colocadas iguais a zero são dadas por:

O ponto estacionário é a solução da equação anterior, ou seja, O valor predito da variável resposta no ponto estacionário é: Demonstração:

Natureza da superfície de resposta Desejamos saber se o ponto estacionário é um ponto de máximo, mínimo ou ponto de cela. -Forma mais direta: gráfico de contorno do modelo de regressão ajustado aos dados. -Mesmo com poucas variáveis independentes, uma análise mais formal, denominada de Análise Canônica, pode ser útil. Análise Canônica (Facilita a interpretação dos resultados!!!) Considere uma translação (novo sistema de coordenadas) da superfície de resposta da origem (x 1, x 2, . . . , xk)=(0, 0, . . . , 0) para o ponto estacionário x. S e então rotacione os eixos desse sistema até que eles fiquem paralelos aos eixos principais da superfície de resposta ajustada. Na figura no próximo slide isso pode ser visualizado. . .

x 2 w 1 x 1, S w 2 x 1, S x 1 A função de resposta em termos das novas variáveis w 1, w 2, . . . , wk (forma canônica) é dada por: FORMA CANÔNICA DO MODELO Onde os wi são as variáveis indep. transformadas e os i são constantes. O ŷs é a resposta estimada no ponto estacionário x. S. Os i são os autovalores ou raízes características da matriz B.

Estudo da natureza da Superfície de Resposta - Este estudo pode ser feito considerando o ponto estacionário e os sinais e magnitudes dos ( i). - Suponha que o ponto estacionário esteja dentro da região na qual foi ajustado o modelo de 2ª ordem. - Se todos os valores de ( i) são positivos, então, xs é um ponto de resposta mínima; se os ( i) são todos negativos, então, xs é um ponto de resposta máxima; se os valores de ( i) tem sinais positivos e negativos, então, xs é um ponto de sela. - Além disso, a superfície tem inclinação na direção de wi para o qual o valor de | i| é maior. - Por exemplo, na figura anterior, xs é um ponto de máximo (todos os ( i) são negativos) e | 1| > | 2|.

Exemplo 2: vamos continuar com a análise do processo químico do ex 1 (2ª fase do estudo). Para ajustar um modelo de 2ª ordem, o pesquisador decide aumentar o delineamento com pontos adicionais (o engenheiro usou 4 OBS adicionais mais ou menos no mesmo tempo em que executou os 9 tratamentos anteriores). Os 4 tratamentos adicionais foram: (x 1=0; x 2=± 1, 414) (x 1=± 1, 414; x 2=0) Este delineamento denomina-se de DELINEAMENTO CENTRAL COMPOSTO.

VARIÁVEL RESPOSTA

x 2 • (0, 1, 414) (-1, 1) • • (-1, 414, 0) • (1, 1) • • (1, 414, 0) (0, 0) (-1, -1) • • (1, -1) • (0, -1, 414) Delineamento Central Composto para o exemplo 1 (processo químico) x 1

Response Surface for Variable PRODUCAO Response Mean Root MSE R-Square Coef. of Variation Regression Linear Quadratic Crossproduct Total Regress Residual Lack of Fit Pure Error Total Error Degrees of Freedom 2 2 1 5 Degrees of Freedom 3 4 7 Type I Sum of Squares 10. 042955 17. 953749 0. 250000 28. 246703 Sum of Squares 0. 284373 0. 212000 0. 496373 78. 476923 0. 266290 0. 9827 0. 3393 R-Square F-Ratio 0. 3494 0. 6246 0. 0087 0. 9827 70. 814 126. 6 3. 526 79. 669 Mean Square F-Ratio 0. 094791 0. 053000 0. 070910 1. 789 Prob > F 0. 0000** 0. 1025 NS 0. 0000 Prob > F 0. 2886 NS

Análise no DOE do SAS 8. 0: Efeito Quadrático significativo a 1%. O modelo de 2ª Ordem será ajustado!

Gráfico de Contorno Pelo gráfico de contornos, observa-se que o processo é mais sensível (levemente) à mudanças no tempo de reação do que para mudanças na temperatura.

Superfície de Resposta Ponto Ótimo (85 min; 175º F) Observa-se que o ótimo está próximo de 175 o. F e 85 min e que a resposta neste ponto é um ponto de máximo.

Determinação da localização do ponto estacionário (máximo). Temos que: O ponto estacionário é dado por: X 1, s X 2, s Em termos das variáveis naturais, o ponto estacionário é dado por:

O valor da resposta estimada no ponto estacionário é: ANÁLISE CANÔNICA - Objetivo: caracterizar a superfície de resposta Vamos expressar o modelo ajustado na forma canônica. 1º precisamos encontrar os autovalores, 1 e 2. Os autovalores são as raízes do determinante da equação: A equação fica: As raízes desta equação de segundo grau são: 1=-0, 9635 e 2=-1, 4143. A forma canônica do modelo ajustado fica: Ambos negativos Ponto de máximo