Metode Simpleks Free Powerpoint Templates Page 1 Metode

Metode Simpleks Free Powerpoint Templates Page 1

Metode Simpleks • Prosedur matematis berulang (iterasi) untuk menentukan penyelesaian optimal dari masalah program linear • Digunakan untuk variabel >2 • Model PL harus diubah menjadi bentuk standar Free Powerpoint Templates Page 2

Bentuk Standar Model Program Linear 1) Seluruh kendala harus berbentuk persamaan (bertanda =) dengan ruas kanan yang nonnegatif 2) Seluruh variabel harus variabel nonnegatif 3) Fungsi tujuannya dapat berupa maksimum atau minimum Free Powerpoint Templates Page 3

Beberapa istilah dalam Metode Simpleks 1) Variabel Slack: variabel yang ditambahkan untuk mengkonversi pertidaksamaan (≤) menjadi persamaan (=). Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis. 2) Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis. Free Powerpoint Templates Page 4

Beberapa istilah dalam Metode Simpleks 3) Variabel Artifisial: variabel yang ditambahkan ke kendala berbentuk ≥ atau = berfungsi sebagai variabel basis diawal iterasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. 4) Variabel basis adalah variabel yang bernilai 1 5) Variabel non basis adalah variabel yang bernilai 0 Free Powerpoint Templates Page 5

Kendala / Constrain • Kendala dengan tanda ‘≤’ atau ‘≥’ dapat diubah menjadi ‘=‘ 1. Contoh: x 1+2 x 2 ≤ 12 menjadi x 1+2 x 2 +S 1=12, S 1 variabel slack 2. Contoh: x 1+2 x 2 ≥ 12 menjadi x 1+2 x 2 - S 2 +R 1 =12, S 2 variabel surplus dan R 1 variabel artifisial 3. Contoh: x 1+2 x 2 = 12 menjadi x 1+2 x 2 +R 2 =12, R 2 variabel artifisial Free Powerpoint Templates Page 6

Kendala/Constrain • Ruas kanan dapat dijadikan positif dengan cara mengalikan kedua ruas dengan -1 dan tanda ketidaksamaan dari ruas tersebut akan berubah Contoh : x 1 -2 x 2 ≤ -12 dikali (-1) menjadi -x 1+2 x 2 – S 1 +R 1 ≥ 12 x 1 -2 x 2 ≥ -12 dikali (-1) menjadi -x 1+2 x 2 + S 2 ≤ 12 Free Powerpoint Templates Page 7

Kendala/Constrain • Variabel tak terbatas dapat dinyatakan dengan dua variabel nonegatif Contoh : untuk yi yang tidak terbatas dapat didefinisikan yi =yi’-yi’’ dengan yi’, yi’’ ≥ 0 Free Powerpoint Templates Page 8

Kendala/Constrain • Kendala dengan ketidaksamaan dimana ruas kirinya berada dalam tanda mutlak dapat diubah menjadi dua ketaksamaan Contoh : │ 3 x 1+2 x 2 │≤ 6 maka dituliskan 3 x 1+2 x 2 ≤ 6 dan 3 x 1+2 x 2 ≤ -6 Free Powerpoint Templates Page 9

Fungsi Tujuan Model standar program linear adalah untuk masalah maksimasi sehingga untuk fungsi minimasi maka sama dengan maksimasi dari negatif fungsi yang sama Contoh: minimumkan z = 2 x 1+5 x 2 akan setara dengan maksimumkan -z = -2 x 1 -5 x 2 Free Powerpoint Templates Page 10

Contoh Perusahaan yang memproduksi boneka dan kereta api Maksimumkan z = 3 x 1 + 2 x 2 Dengan kendala 2 x 1 + x 2 ≤ 100 x 1 + x 2 ≤ 80 x 1 ≤ 40 Syarat non negatif x 1, x 2 ≥ 0 Maksimumkan z -3 x 1 -2 x 2+0 S 1+0 S 2+0 S 3= 0 Dengan kendala 2 x 1+x 2 +S 1 =100 x 1+x 2 +S 2 = 80 x 1 +S 3= 40 Syarat non negatif x 1, x 2, S 1, S 2, S 3 ≥ 0 Free Powerpoint Templates Bentuk Kanonik/Standar Page 11

Maksimumkan Dengan kendala z - 3 x 1 - 2 x 2+0 S 1 +0 S 2+0 S 3 =0 2 x 1 + x 2 +S 1 =100 x 1 + x 2 +S 2 = 80 x 1 +S 3 = 40 Variabel non basis (diawal iterasi) Basis Variabel Slack berfungsi sebagai variabel basis di awal iterasi Ruas Kanan x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 Solusi z -3 -2 0 0 S 1 2 1 1 0 0 100 S 2 1 1 0 80 S 3 1 0 0 0 1 40 Rasio Solusi awal (x 1, x 2)=(0, 0) maka S 1= 100, S 2=80 dan S 3=40 Solusi Basis Fisibel: Jika seluruh variabel pada solusi basis berharga non Freenegatif Powerpoint Templates Page 12

Menentukan Entering Variabel • Untuk fungsi tujuan maksimisasi pilih variabel non-basis yang mempunyai nilai negatif terbesar • Untuk fungsi tujuan minimisasi pilih variabel non-basis yang mempunyai nilai positif terbesar Entering Variabel Basis x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 Solusi z -3 -2 0 0 S 1 2 1 1 0 0 100/2 S 2 1 1 0 80 80/1 S 3 1 0 0 0 1 40 40/1 Kolom poros Free Powerpoint Templates Rasio Page 13

Elemen poros Basis x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 Solusi Leaving variable z -3 -2 0 0 S 1 2 1 1 0 0 100/2 S 2 1 1 0 80 80/1 S 3 1 0 0 0 1 40 40/1 Basis X 1 x 2 S 1 S 2 S 3 Solusi Ket z 0 S 1 0 S 2 0 x 1 1 0 0 0 1 40 1/1 0/1 0/1 1/1 40/1 [1 0 0 0 1 40 ] [ -3 -2 0 0] 3 120] Kolom poros Persamaan elemen poros baru = persamaan elemen poros lama/elemen poros Ket Rasio positif terkecil Baris pertama (Z) (3) Nilai baru = [0 -2 0 0 Free Powerpoint Templates (+) Page 14

Basis x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 Solusi Ket z -3 -2 0 0 S 1 2 1 1 0 0 100/2 S 2 1 1 0 80 80/1 S 3 1 0 0 0 1 40 40/1 Baris kedua (S 1) -(2) Nilai baru [1 0 0 0 1 40 ] [2 1 1 0 0 100] = [0 1 1 0 -2 20] -(1) [1 0 0 0 1 40 ] [1 1 0 80] [0 1 -1 40] (+) Baris ketiga (S 2) Nilai baru = Free Powerpoint Templates (+) Page 15

Baris kedua (S 1) -(2) Nilai baru [1 0 0 0 1 40 ] [2 1 1 0 0 100] = [0 1 1 0 -2 20] -(1) [1 0 0 0 1 40 ] [1 1 0 80] [0 1 -1 40] (+) Baris ketiga (S 2) Nilai baru = (+) Basis x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 Solusi z 0 -2 0 0 3 120 S 1 0 1 1 0 -2 20 20 S 2 0 1 -1 40 40 x 1 1 0 0 0 1 40 ~ Free Powerpoint Templates Ket Page 16

Basis x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 Solusi z 0 -2 0 0 3 120 S 1 0 1 1 0 -2 20 20 S 2 0 1 -1 40 40 x 1 1 0 0 0 1 40 ~ Basis x 1 x 2 Ket Baris pivot S 1 S 2 S 3 Solusi 1 0 -2 20 1/1 0/1 -2/1 [0 1 1 0 -2 20 ] [0 -2 0 0 3 120 ] -1 160] z Ket 0 x 2 0 1 S 2 0 x 1 0 0/1 1/1 20/1 Baris pertama (Z) 2 Nilai baru = [0 0 2 0 Free Powerpoint Templates (+) Page 17

Baris ketiga(S 2) -(1) Nilai baru [0 1 1 0 -2 20 ] [0 1 -1 40] [0 0 -1 1 1 20] = (+) Baris keempat(x 1) 0 Nilai baru [0 1 1 0 -2 20 ] [1 0 0 0 1 40] = (+) Basis x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 Solusi z 0 0 2 0 -1 160 x 2 0 1 1 0 -2 20 -10 S 2 0 0 -1 1 1 20 20 x 1 1 0 0 0 1 40 40 Free Powerpoint Templates Ket Page 18

Basis x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 Solusi z 0 0 2 0 -1 160 x 2 0 1 1 0 -2 20 -10 S 2 0 0 -1 1 1 20 20 x 1 1 0 0 0 1 40 40 Basis x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 z 0 x 2 0 S 3 0 0 -1 1 x 1 1 Ket Solusi Ket 20 0 0/1 -1/1 01/1 20/1 Baris pertama (Z) -(-1) Nilai baru = [0 0 -1 1 1 20] [0 0 2 0 -1 160 ] [0 0 1 1 0 180] Free Powerpoint Templates (+) Page 19

Baris kedua (x 2) -(-2) Nilai baru = [0 0 -1 1 1 20] [0 1 1 0 -2 20] [0 1 -1 2 0 60] [0 0 -1 1 1 20] [1 0 0 0 1 40] [1 0 1 -1 0 20] (+) Baris keempat (x 1) -(1) Nilai baru = Basis x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 Solusi z 0 0 1 1 0 180 x 2 0 1 -1 2 0 60 S 3 0 0 -1 1 1 20 x 1 1 0 1 -1 0 20 Free Powerpoint Templates (+) Ket Page 20

Basis x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 Solusi z 0 0 1 1 0 180 x 2 0 1 -1 2 0 60 S 3 0 0 -1 1 1 20 x 1 1 0 1 -1 0 20 Ket Sudah Optimal karena di baris z sudah tidak ada nilai yang negatif Nilai x 1= 20 dan x 2=60 dengan z = 180 sedangkan S 3 =20 adalah kelebihan kendala 3 yang tidak terpakai sedangkan S 1 dan S 2 habis terpakai. • Untuk semua persamaan fungsi kendala bertanda ≤ maka dapat diselesaikan dengan metode simpleks biasa • Untuk satu atau lebih fungsi kendala yang bertanda ≥ atau = digunakan metode Big M atau Dua Fase Free Powerpoint Templates Page 21

Kasus Khusus dalam Simpleks 1. Degenerasi timbul jika variabel basisnya bernilai nol atau ruas kanan mempunyai nilai nol. Kemungkinan yang terjadi - Terjadi perulangan (looping) nilai fungsi dan variabel keputusan - Degenerasi temporer ruas kanan mengandung nol tapi pada iterasi berikutnya ruas kanan tidak nol Free Powerpoint Templates Page 22

Kasus Khusus dalam Simpleks 2. Solusi optimum banyak Tidak ada permasalahan dalam memilih EV dan LV karena nilai optimalnya akan selalu sama dengan nilai variabel keputusan yang berbeda 3. Solusi tak terbatas 4. Tidak ada solusi optimal -Jika ada bernilai semu -Ditunjukkan pula nilai fungsi tujuan mengandung M (nilai pinalti) Free Powerpoint Templates Page 23