METODE NUMERIK Penyelesaian Sistem Persamaan Linier SPL Algoritma

METODE NUMERIK Penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL)

Algoritma Gauss Seidel Sering dipakai untuk menyelesaikan persamaan yang berjumlah besar. Metode ini berlainan dengan metode Gauss Jordan Gauss Naif karena metode ini menggunakan iterasi dalam menentukan harga x 1, x 2, x 3, . . . , xn. Kelemahan metode eliminasi dibandingkan metode iterasi adalah metode eliminasi sulit untuk digunakan dalam menyelesaikan SPL berukuran besar.

Metode Iterasi Gauss Seidel Metode untuk menyelesaikan SPL yang menggunakan proses iterasi. Baik untuk menyelesaikan SPL yang besar Bila diketahui SPL seperti di bawah ini

Metode Iterasi Gauss-Seidel Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n)

Metode Iterasi Gauss-Seidel Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari SPL tersebut. Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan. Iterasi diteruskan sampai didapat | a| < | s|

Syarat Konvergen Syarat agar konvergen adalah sistem dominan secara diagonal Contoh SPL berikut: Dominan secara diagonal karena | 3 | > | 1 | + | -1 | |4|>|2| +|1| | 8 | > | -1 | + | 5 | Sehingga pasti konvergen

Contoh Selesaikan SPL di bawah ini menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel x 1 + x 2 = 3 x 1 + 2 x 2 = 5 Dengan Error (ɛs) = 25 % Susun persamaan menjadi: X 1 = 3 - x 2 = ½ (5 – x 1 )

Contoh Berikan nilai awal : x 2 = 0 Iterasi 1 : X 1 = 3 -x 2 => x 2 = ½(5–x 1) => X 1 = 3 -0 = 3 x 2 = ½(5– 3)=1 Hasil = 3 dan 1 |ɛa | = | (3 - 0) /3 | * 100% =1 * 100% = 100%

Contoh Iterasi 2 : X 1 = 3 -x 2 => x 2 = ½(5–x 1) => X 1 = 3 -1 = 2 x 2 = ½(5– 2)= 3/2 Hasil = 2 dan 3/2 |ɛa | = | (2 - 3) /2 | * 100% = ½ * 100% = 50%

Contoh Iterasi 3 : X 1 = 3 -x 2 => x 2 = ½(5–x 1) => X 1 = 3 - (3/2) = 3/2 x 2 = ½(5– (3/2) )= 7/4 Hasil = 3/2 dan 7/4 |ɛa | = | (3/2 - 2) / (3/2) | * 100% = 1/3 * 100% = 33, 33 %

Contoh Iterasi 3 : X 1 = 3 -x 2 => x 2 = ½(5–x 1) => X 1 = 3 - (7/4) = 5/4 x 2 = ½(5– (5/4) )= 15/8 Hasil = 5/4 dan 15/8 |ɛa | = | (5/4 – 3/2) / (5/4) | * 100% = 1/5 * 100% = 20 % Karena |ɛa | < 25% maka X 1 = 5/4 dan X 2=15/8

Selesai Tugas Selesaikan sistem persamaan linier berikut dengan cara eliminasi biasa, eliminasi gauss jordan gauss siedell dengan error = 5%. 2 x 1 + x 2 = 5 x 1 + 3 x 2 = 5