METODE NEWTONRAPHSON Metode ini paling banyak digunakan dalam
METODE NEWTON-RAPHSON Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penyelesaian persamaan dengan metode Newton-Raphson adalah sebagai berikut : 1. Pilih nilai awal xi sembarang 2. Hitung xi+1 dan f (xi+1) dengan rumus : 3. Demikian seterusnya sampai didapatkan f (xi+1) yang kecil
CONTOH : Selesaikan persamaan : f(x) = x 3 + x 2 – 3 x – 3 = 0 dengan metode Newton Raphson Penyelesaian : Persamaan yang diselesaikan : f (x) = x 3 + x 2 – 3 x – 3 = 0 Turunan pertama dari persamaan itu adalah : f ’(x) = 3 x 2 + 2 x – 3
• Dengan menggunakan persamaan : Pada awal hitungan ditentukan nilai xi sembarang, misalnya x 1 = 1 ; f (x 1) = f(1) = (1)3 + (1)2 – 3 (1) – 3 = – 4 f ’(x 1) = f’ (1) = 3(1)2 + 2 (1) – 3 = 2
Langkah berikutnya ditetapkan x 2 = 3 f (x 2) = f(3) = (3)3 + (3)2 – 3 (3) – 3 = 24 f ’(x 2 ) = f’(3) = 3(3)2 + 2 (3) – 3 = 30
HITUNGAN DILANJUTKAN DENGAN PROSEDUR YANG SAMA DAN HASILNYA DIBERIKAN DALAM TABEL BERIKUT INI : Jumlah iterasi xi xi+1 f(xi) f(xi+1) 1 1, 0 3, 0 -4, 0 2 3, 0 2, 2 24, 0 5, 888 3 2, 2 1, 83 5, 888 0, 987387 4 1, 83 1, 73778 0, 987387 0, 05442 5 1, 73778 1, 73207 0, 05442 0, 0001816
METODE SECANT Kekurangan Metode Newton Raphson adalah diperlukannya turunan pertama (differensial) dari f(x) dalam hitungan. Kadangkadang sulit untuk mendiferensialkan persamaan yang diselesaikan. Untuk itu maka bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda hingga.
Yang disubstitusikan dalam persamaan : Dalam metode ini pendekatan memerlukan dua nilai awal dari x
CONTOH : Selesaikan persamaan : f(x) = x 3 + x 2 – 3 x – 3 = 0 dengan metode Secant Penyelesaian : Iterasi 1 Diambil dua nilai awal x 1 =1 dan x 2 = 2 Untuk x 1 =1 maka f(x 1) = f(1) = (1)3 + (1)2 – 3(1) – 3 = - 4 Untuk x 2 =2 maka f(x 2) = f(2) = (2)3 + (2)2 – 3(2) – 3 = 3 Dengan menggunakan persamaan :
Maka : f(x 3)= (1, 57142)3 + (1, 57142)2 – 3(1, 57142) – 3 = -1, 36449 Iterasi 2 Untuk x 2 =2 maka f(x 2) = f(2) = (2)3 + (2)2 – 3(2) – 3 = 3 Untuk x 3 =1, 57142 maka f(x 3)= (1, 57142)3 + (1, 57142)2 – 3(1, 57142) – 3 = -1, 36449 Dengan menggunakan persamaan :
HITUNGAN DILANJUTKAN DENGAN PROSEDUR YANG SAMA DAN HASILNYA DIBERIKAN DALAM TABEL BERIKUT : Jumlah iterasi 1 x 2 x 3 f(x 1) f(x 2) f(x 3) 1, 0 2, 0 1, 57142 -4, 0 3, 0 -1, 36449 2 2, 0 1, 57142 1, 70540 +3, 0 -1, 36449 -0, 24784 3 1, 57142 1, 70540 1, 73513 -1, 36449 -0, 24784 0, 02920 4 1, 70540 1, 73513 1, 73199 -0, 24784 0, 02920 -0, 000575 5 1, 73513 1, 73199 1, 73205
METODE ITERASI Dalam metode iterasi ini digunakan suatu persamaan untuk memperkirakan nilai akar persamaan. Persamaan tersebut dikembangkan dari fungsi f(x) = 0 sehingga parameter x berada disisi kiri dari persamaan, yaitu : x= g(x) Persamaan ini menunjukkan bahwa nilai x merupakan fungsi dari x, sehingga dengan memberi nilai perkiraan awal dari akar dapat dihitung perkiraan baru dengan rumus iteratif berikut :
Besar kesalahan dihitung dengan rumus berikut :
CONTOH : Selesaikan persamaan : f(x) = x 3 + x 2 – 3 x – 3 = 0 dengan metode Iterasi Penyelesaian : Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk : x 3 = - x 2 + 3 x + 3 → x = (- x 2 + 3 x + 3 )1/3 Kemudian persamaan diubah menjadi : xi+1 = (- x 2 + 3 x + 3 )1/3 Apabila ditentukan perkiraan awal x 1 = 2 maka didapat : x 2 = (- x 12 + 3 x 1+ 3 )1/3 = (- 22 + 3 x 2 + 3 )1/3 = 1, 70998
Hitungan dilanjutkan dengan prosedur yang sama dan hasilnya diberikan dalam tabel berikut : Iterasi (i) 1 2 3 4 5 6 xi 2, 00000 1, 70998 1, 73313 1, 73199 1, 73205 (%) 16, 9607 1, 3362 0, 0658 0, 0034 0, 0002 Dari tabel terlihat bahwa hasil hitungan pada iterasi yang lebih tinggi semakin dekat dengan akar persamaan yang benar, dengan kata lain kesalahan yang terjadi semakin kecil. Penyelesaian persamaan seperti ini disebut konvergen
Persamaaan x 3 + x 2 – 3 x – 3 = 0 dapat juga diubah dalam bentuk berikut : Dalam bentuk iterasi persamaan diatas menjadi : Untuk perkiraan awal x 1 = 2 maka didapat : Besar kesalahan :
DENGAN PROSEDUR YANG SAMA HITUNGAN DILANJUTKAN DAN HASILNYA DIBERIKAN DALAM TABEL BERIKUT INI : Iterasi (i) 1 2 3 4 5 xi 2, 00000 3, 00000 11, 00000 483, 00000 37637290, 0 (%) 33, 3333 72, 7273 97, 7226 99, 9987 Tampak bahwa hasil hitungan pada iterasi yang lebih tinggi semakin menjauhi nilai akar persamaan yang benar. Keadaan hitungan seperti ini disebut divergen.
SOAL-SOAL LATIHAN 1. Tentukan akar persamaan : f(x) = -0. 9 x 2 + 1. 7 x + 2. 5 = 0 a. Dengan menggunakan rumus akar kuadrat (rumus abc) b. Dengan menggunakan metode Biseksi pada interval [2. 8, 3. 0] sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka di belakang koma. c. Dengan menggunakan metode regula falsi pada interval [2. 8, 3. 0] sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma.
2. Tentukan akar dari persamaan : f(x) = -2 + 6. 2 x - 4 x 2 + 0. 7 x 3 = 0 a. Dengan menggunakan metode Biseksi pada interval [0. 4, 0. 6] sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma. b. Dengan menggunakan metode Regula Falsi pada interval [0. 4, 0. 6] sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma.
3. Tentukan akar dari persamaan : f(x) = 9. 34 - 21. 97 x +16. 3 x 2+3. 07 x 3= 0 a. Dengan menggunakan metode Newton Raphson dengan akar pendekatan awal adalah 1. 00 sebanyak 5 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 2 angka dibelakang koma. b. Dengan menggunakan metode Secant dengan akar pendekatan awalnya 0. 9 dan 1. 00 sebanyak 5 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 2 angka dibelakang koma.
4. Tentukan akar dari persamaan : 1 – 0. 61 x f(x) = --------- = 0 x a. Dengan menggunakan metode Newton Raphson dengan akar pendekatan awal adalah 1. 50 sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma. b. Dengan menggunakan metode Secant dengan akar pendekatan awalnya 1. 5 dan 2. 00 sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma.
5. Tentukan akar dari persamaan : f (x) = x 3 - 6 x 2 + 11 x – 5. 9 = 0 a. Dengan menggunakan metode Biseksi pada interval [2. 5, 3. 5] sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma. b. Dengan menggunakan metode Regula Falsi pada interval [2. 5, 3. 5] sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma. c. Dengan menggunakan metode Newton Raphson dengan akar pendekatan awal 3. 5 sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma. d. Dengan menggunakan metode Secant dengan akar pendekatan awal 2. 5 dan 3. 5 sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma.
6. Tentukan akar dari persamaan-persamaan berikut dengan metode Iterasi, masing-masing 6 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 4 angka dibelakang koma: a. f(x) = sin x – 5 x = 0, dengan akar pendekatan awal 0. 1 b. f(x) = x 2 + 4 x – 3 , dengan akar pendekatan awal 0. 65
- Slides: 22