Metode Integrasi Numerik Integrasi Grafis Langkah Langsung Kuliah

(Metode Integrasi Numerik, Integrasi Grafis, Langkah Langsung) Kuliah Hidraulika Wahyu Widiyanto Teknik Sipil Universitas Jenderal Soedirman

Persamaan Aliran Berubah Lambat Laun • Kedalaman aliran di sepanjang saluran dapat dihitung dengan menyelesaikan persamaan diferensial untuk aliran berubah lambat laun. y : kedalaman aliran x : jarak I 0 : kemiringan dasar saluran If : kemiringan garis energi Q : debit aliran T : lebar bagian atas saluran g : percepatan gravitasi A : luas tampang saluran

Penyelesaian Persamaan • Ada beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan di atas, di antaranya: 1. 2. 3. 4. Metode integrasi numerik Metode integrasi grafis Metode langkah langsung (direct step) Metode langkah standar (standar step)

Metode Integrasi Numerik Persamaan aliran berubah lambat laun dibawa ke dalam bentuk sbb: Selanjutnya persamaan tersebut akan diselesaikan secara numerik dan ditulis sbb: dan dengan f = dy/dx

Ingat…!!! …………. . . (a) …………. . . (b) Lambang I boleh diganti S Lambang y boleh diganti h

Langkah-langkah Penyelesaian 1. Berdasarkan nilai yi awal yang diketahui, dihitung nilai fi dari persamaan (a) 2. Pertama kali dianggap fi+1 = fi 3. Hitung nilai yi+1 dari persamaan (b) dengan menggunakan nilai fi+1 yang diperoleh dalam langkah 2 atau nilai fi+1 yang diperoleh dalam langkah 4 4. Hitung nilai baru yi+1 dengan menggunakan nilai fi+1 yang dihitung dari nilai yi+1 dari langkah 3 5. Apabila nilai yi+1 yang diperoleh dalam langkah 3 dan 4 masih berbeda jauh, maka langkah 3 dan 4 diulangi lagi 6. Sesudah nilai yi+1 yang benar diperoleh, dihitung nilai yi+2 yang berjarak Dx dari yi+1. 7. Prosedur di atas diulangi lagi sampai diperoleh nilai y di sepanjang saluran

Contoh hitungan • Suatu saluran lebar dengan tampang segiempat dengan debit tiap satuan lebar 2, 5 m 3/d/m. Kemiringan dasar saluran 0, 001 dan koefisien Manning n = 0, 015. Pada suatu titik diketahui kedalaman air adalah 2, 75 m. Berapakah kedalaman air pada jarak setiap interval 200 m dari titik tersebut ke arah hulu? Gunakan metode integrasi numerik.

Penyelesaian Untuk saluran lebar R ≈ h sehingga:

Kedalaman normal : hn 5/3 = 1, 186 → hn = 1, 1076 m Kedalaman kritik : Karena hn > hc maka aliran adalah subkritis, dan hitungan profil muka air dilakukan dari hilir ke hulu.

Kedalaman air pada jarak 200 m ke arah hulu. Untuk i = 1 : Pertama kali dianggap f 2 = f 1 sehingga dengan persamaan (b) dapat dihitung h 2 : Untuk aliran subkritis Δx bernilai negatif

Dihitung kemiringan profil muka air di titik i = 2 : Kedalaman air di titik i = 2 dengan memperhitungkan kemiringan profil muka air di titik 1 dan 2, yaitu f 1 dan f 2, adalah :

Kedalaman air pada jarak 400 m ke arah hulu. Kemiringan profil muka air di titik i = 2, yaitu f 2, dihitung berdasarkan kedalaman h 2, yaitu : h 3 = h 2 – f 2∆x 2 = 2, 5543 – 0, 0009756 x 200 = 2, 3592 m Kemiringan profil muka air di titik i = 3 :

Hitungan selanjutnya dikerjakan dengan langkah yang sama dan hasilnya diberikan dalam tabel dan gambar berikut ini.

Tabel hasil hitungan profil muka air.

Sketsa profil muka air M 1 (pembendungan) M 1 hn=1, 1 GKN hc=0, 86 y 1=2, 75 GKK 5 GKN : garis kedalaman normal GKK : garis kedalaman kritik y 2 4 3 2 1

Metode Integrasi Grafis Persamaan semula ……………. (a) Ditulis menjadi: ……………. (b) Ruas kanan persamaan di atas hanya merupakan fungsi dari y untuk bentuk saluran tertentu, sehingga dapat ditulis sebagai f (y) dan dapat ditulis menjadi: dx = f(y) dy

y ran i l a l i Prof y 2 y 1 O x 1 x=x 2 -x x 2 1 x dy O Sketsa integrasi grafis y

Dari gambar di atas • Dipandang suatu pias saluran yang dibatasi dua tampang lintang yang berjarak x 1 dan x 2 dari titik O yang mempunyai kedalaman y 1 dan y 2. x = x 2 – x 1 …………. (c) Dengan menggunakan persamaan (b) untuk setiap nilai y dapat dihitung nilai dx/dy dan selanjutnya dapat digambar grafik hubungan antara dx/dy dan y seperti terlihat dalam gambar. Nilai x adalah sama dengan luasan yang diarsir. Dengan menghitung luasan tersebut maka dapat diperoleh nilai x.

Contoh Hitungan • Suatu saluran segiempat dengan lebar dasar B = 10 m. Kedalaman air normal yn = 2, 71 m dan kedalaman air di batas hilir adalah 4, 87 m. Kemiringan saluran Io = 0, 0005. Koefisien kekasaran Chezy C = 50 m 2/d. Koefisien Coriolis a = 1, 11 dan percepatan gravitasi g = 9, 81 m/d 2. Hitung profil muka air dengan metode integrasi grafis.

Penyelesaian Menghitung debit aliran Luas tampang basah: Keliling basah: A = 10 x 2, 71 = 27, 1 m 2 P = 10 + 2 x 2, 71 = 15, 42 m Jari-jari hidraulis: R=A/P = 1, 76 m Debit aliran: Q=AC√(RI) = 27, 1 x 50 √(1, 76 x 0, 0005) = 40, 2 m 3/d Menghitung profil muka air

……………. (1) Dimana nilai If dapat dihitung dengan rumus Chezy: Q = A C R 1/2 If 1/2 atau Hitungan selanjutnya berdasarkan persamaan (1), dilakukan dengan menggunakan tabel di bawah.

Tabel Hitungan profil muka air dengan metode integrasi grafis Nilai y pada kolom kedua dari tabel tersebut ditentukan secara sembarang kecuali nilai pada batas hulu dan hilir yang telah diketahui.

f(y) 2, 71 3, 0 0 I 3, 5 4, 0 4, 5 4, 87 II IV V y

x 0 - x 1 = x 01 = ( ∞ + 7972 ) ∙ 0, 29/2 = ∞ x 1 – x 2 = x 12 = (7972 + 3928 ) ∙ 0, 50/2 = …. . m x 2 – x 3 = x 23 = (3928 + 3053) ∙ 0, 50/2 = …. . m x 3 – x 4 = x 34 = (3053 + 2683 ) ∙ 0, 50/2 = …… m x 4 – x 5 = x 45 = (2683 + 2527 ) ∙ 0, 37/2 = ……. m Jarak kumulatif: xmax – x 4 = …. . m xmax – x 3 = …. . m xmax – x 2 = …. . m xmax – x 1 = …. . . m xmax – x 0 = ∞

M 1 yn=2, 71 y 1=3, 0 y 2=3, 5 x 1 y 3=4, 0 1 x 2 2 x 3 GKN y 4=4, 5 y 5=4, 87 3 x 4 xmax 4 Profil muka air hasil hitungan dengan metode integrasi grafis 5

Metode Langkah Langsung (Direct Step Method) • Metode langkah langsung dilakukan dengan membagi saluran menjadi sejumlah pias dengan panjang Dx. Mulai dari ujung batas hilir di mana karakteristik hidraulis di tampang tersebut diketahui, dihitung kedalaman air pada tampang di sebelah hulu. Prosedur hitungan tersebut diteruskan untuk tampang di hulu berikutnya, sampai akhirnya didapat kedalaman air di sepanjang saluran. Ketelitian tergantung panjang pias, semakin kecil Dx semakin teliti hasil yang diperoleh.

Garis en ergi hf = If ∆x y 1 y 2 ∆z = Io ∆x ∆x Persamaan energi (Persamaan Bernoulli)

Mengingat: z 1 – z 2 = Io ∆x dan hf = If ∆x maka: atau

Dengan mengetahui karakteristik aliran dan kekasaran pada satu tampang maka kecepatan dan kedalaman aliran di tampang yang lain dapat dihitung dengan menggunakan persamaan di atas. Kemiringan garis energi If adalah nilai rerata di tampang 1 dan 2, yang dapat didasarkan pada persamaan Manning atau Chezy. Apabila karakteristik aliran di kedua tampang diketahui maka jarak antara tampang dapat dihitung dengan rumus di atas.

Contoh Hitungan • Suatu saluran segiempat dengan lebar B = 3 m mengalirkan air dengan debit Q = 3 m 3/d. Kedalaman air pada suatu titik yang berdekatan adalah 1, 3 m dan 1, 2 m. Apabila koefisien Manning n = 0, 018 dan kemiringan dasar saluran So = 0, 0003, hitung jarak antara kedua tampang tersebut. (Metode langkah langsung)

Penyelesaian Karakteristik aliran pada tampang 1. Luas tampang basah : A 1 = 3 x 1, 3 = 3, 9 m 2 Keliling basah : P 1 = 3 + 2 x 1, 3 = 5, 6 m Jari-jari hidraulis : R = = 0, 696 m Tinggi kecepatan : = 0, 03016

Karakteristik aliran pada tampang 2. Luas tampang basah : A 2 = 3 x 1, 2 = 3, 6 m 2 Keliling basah : P 1 = 3 + 2 x 1, 2 = 5, 4 m Jari-jari hidraulis : R = = 0, 667 m Tinggi kecepatan : = 0, 0354 Tampang basah rerata : Ar = = 3, 75 m 2 Jari-jari hidraulis rerata : Rr = Kemiringan garis energi dihitung dengan rumus Manning berdasarkan nilai Ar dan Rr = 0, 6815 m

Jarak antara kedua tampang adalah :

Metode Tahapan Standar (Standar Step Method) • Metode ini dikembangkan dari persamaan energi total dari aliran pada saluran terbuka. Persamaan energi (Persamaan Bernoulli) E 1 E 2 E 1 = E 2 + hf

Prinsip metode standar step • Dicoba harga y (kedalaman air) sedemikian hingga memenuhi persamaan: E 1 = E 2 + hf • Jika memenuhi persamaan tersebut maka telah diselesaikan satu tahap perhitungan. • Cara tersebut diulangi untuk titik-titik selanjutnya.

Contoh • Suatu saluran berbentuk trapesium dengan kemiringan dinding 1 : 1, lebar dasar 3, 0 m dan kemiringan dasar saluran 0, 0015. Pemasangan bangunan pintu pengontrol menyebabkan kenaikan kedalaman air di hulu pintu menjadi 4, 0 m pada debit 19, 0 m 3/d. Jika angka kekasaran Manning n = 0, 017, maka hitung dan gambarkan profil muka air yang terjadi.

Penyelesaian Mencari kedalaman normal dengan Rumus Manning Melalui metode coba-coba diperoleh y = 1, 726 m

Mencari kedalaman air kritis Harga yc didapat dengan cara coba-coba, diperoleh yc = 0, 546 m y > yn > yc, maka profil aliran adalah M 1 Selanjutnya dihitung profil muka air, dimulai dari kedalaman yang sudah diketahui di hulu titik kontrol, y = 4, 0 m, bergerak ke arah hulu. Pada titik kontrol ini diberi notasi x = 0.

Hasil perhitungan ditampilkan pada tabel berikut ini

Keterangan Kolom Simbol Keterangan 1 X Lokasi titik di mana kedalaman airnya dihitung 2 z Elevasi dasar saluran, dihitung berdasarkan elevasi dasar yang diketahui (misalnya pada titik kontrol diambil z 1 = 0) dan kemiringan dasar saluran, S 0, z 2 = z 1 + S 0(X 2 -X 1)

Kolom Simbol Keterangan 3 y Perkiraan kedalaman air 4 A Luas penampang basah yang dihitung untuk kedalaman y pada kolom 3 5 6 Kecepatan aliran, V=Q/A, di mana A luas penampang diambil dari kolom 4 V 2/2 g Tinggi kecepatan V

Kolom Simbol Keterangan E 1 7 Total tinggi energi, merupakan penjumlahan ketinggian dasar saluran, z, pada kolom 2, kedalaman air , h, kolom 3, dan tinggi energi V 2/2 g, kolom 6, atau E = z + y + V 2/2 g R 8 Jari-jari hidrolis untuk kedalaman air h adalah R=A/P, di mana A luas penampang basah dari kolom 4, P keliling basah Sf 9 Kemiringan garis energi yang dihitung dengan persamaan di bawah tabel ini

Kolom Simbol Keterangan Sf 10 Rata-rata Sf pada kedalaman yang bersangkutan dan kedalaman sebelumnya untuk jarak yang ditentukan ΔX Jarak antara titik yang dihitung 11 kedalaman airnya dan lokasi yang telah dihitung kedalaman air sebelumnya hf 12 Kehilangan tinggi energi sepanjang ΔX dihitung dari persamaan, hf = ΔX∙Sf, di mana Sf diambil dari kolom 10 dan ΔX dari kolom 11

Kolom 13 Simbol E 2 Keterangan Merupakan tinggi energi total, yang dihitung dari penambahan kehilangan tinggi energi, hf, dengan tinggi energi total (E 1 di kolom 7) pada perhitungan sebelumnya. Jika selisih E 1 pada kolom 7 dan E 2 pada kolom 13 berada pada kisaran yang dapat diterima, maka perkiraan kedalaman air y pada kolom 3 merupakan kedalaman air yang dicari pada titik tersebut, dan perhitungan dapat dilanjutkan pada titik berikutnya. Sebaliknya, jika selisih masih jauh, maka perlu diulang dengan harga y yang baru.

Kemiringan Garis Energi (Manning) (Chezy)

Sketsa profil muka air M 1 (pembendungan) M 1 hn=1, 726 GKN hc=0, 546 y 1=4, 0 m GKK 5 GKN : garis kedalaman normal GKK : garis kedalaman kritik y 2 4 3 2 1