Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden qqPlot Methode zur

Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden q-q-Plot Methode zur Prüfung der Multivariaten Normalverteilung Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz

Methoden der Psychologie Prüfung der NV-Annahme Klassifikation Verteilungsanpassung/Prüfung der Verteilungsannahme • Ausreißeranalyse: Vor der Schätzung der Parameter (m, S) für die multivariate NVwird eine Analyse der Rohdaten auf Ausreißer vorgenommen. • Effiziente Tests: Die NV- Annahme ist mit effektiven Methoden und trennscharfen Test zu prüfen, um ihre Gültigkeit sicherzustellen • Korrekturen und Datentransformationen: Ist die NV- Annahme auf den originalen Skalen verletzt, können Skalentransformationen für die einzelnen Variablen des Variablenverbundes gefunden werden, mit denen die multivariate Normalverauf den transformierten Skalen gilt.

Methoden der Psychologie c 2 - Test auf Güte der Passung Univariate Tests (1 D) Klassifikation Die allgemeine Form des Chi – Quadrat für Häufigkeiten ist: • Dieses Schema wird flexibel auf die jeweilige Fragestellung angewendet. • Die Frage ist, nach welchem Kriterium sich die erwarteten Häufigkeiten ergeben. Das einfache c 2 hat k-1 Freiheitsgrade, die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die c 2 Verteilung. • Für den Test der Anpassung an die Normalverteilung werden die erwarteten Häufigkeiten aus den Wahrscheinlichkeiten der Quantil. Intervalle der Normalverteilung berechnet.

Methoden der Psychologie Univariate Tests (1 D) c 2 - Test auf Güte der Passung Klassifikation Univariate Normalverteilung • • • Die erwarteten relativen Häufigkeiten berechnet man aus der Differenz der Werte der Verteilungsfunktion für die exakten Intervallgrenzen. Die erwarteten Häufigkeiten ergeben sich durch Multiplikation mit der Anzahl der Beobachtungen N. Test mit progressivem alpha-Niveau, da man an der Absicherung für die Beibehaltung der H 0 interessiert ist (a = mind. 10%).

Methoden der Psychologie c 2 - Test auf Güte der Passung Klassifikation Univariate Tests (1 D) Univariate Normalverteilung h(x) Beobachtet: oi h(x) erwartet als Normalverteilung: ei 4000 3000 2000 1000 100 300 500 700 9001100 1300 x x 100 300 500 700 9001100 1300 h(x) 4000 3000 Vergleich: 2000 100 300 500 700 900 11001300 x

Methoden der Psychologie Prüfung der NV-Annahme Klassifikation Tests der NV- Annahme Nachteile von c 2 - Tests Alternative: Q-Q Plot Methoden und Korrelations. Tests • c 2 Tests sind nicht sehr trennscharf und brauchen ein hohes N • Sie hängen von der Anzahl der Intervalle (Freiheitsgrade) ab • Sie können nur für die univariaten Verteilungen der einzelnen Meßvariablen durchgeführt werden (- Ausreisser durch spezielle Wertekombinationen in der multivariaten Verteilung können nicht aufgedeckt werden) • Effektive Methoden: Methoden, die Quantile der erwarteten und tatsächlichen Distanzen vom Zentroid verwenden, können univariat und multivariat verwendet werden • Effiziente Tests: Die Testung der Gleichheit von erwarteten und tatsächlichen Quantilen beruht auf einer trennscharfen Testung des Korrelationskoeffizienten (uni-und multivariat).

Methoden der Psychologie Data Clearing Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation Identifikation von Ausreißern • Ausreißer sind heikel zu bestimmen, bei kleinen Stichproben N < 30 gibt es keine zuverlässigen Methoden • Bei N > 30 legt man die Quantile der Normalverteilung zugrunde und eliminiert die Werte, die jenseits der äußeren Quantile liegen. Dies sollten nicht mehr als 7%-8% sein. Ausreißer:

Methoden der Psychologie Q-Q Plot Methode Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation Test über Quantilskorrelation • Nach Ausreißerbereinigung werden Meßwerten empirische Quantile qo (in z) zugeordnet über die sortierte Reihe der Meßwerte. • Mit aus den Daten geschätzten Parametern (m, s) werden für die Prozentränge erwartete Quantile qe (in z) bestimmt. • Man trägt qo (y-Achse) und qe (x-Achse) gegeneinander ab. Perfekte Passung liegt vor, wenn die Daten auf der Winkelhalbierenden liegen. • Man bestimmt Anteil der aufgeklärten Varianz und Korrelation. • Für den Korrelationskoeffizienten existieren kritische Werte, die bei Unterschreitung zur Ablehnung der NV-Annahme führen (s. Tabelle).

Methoden der Psychologie Q-Q Plot Methode Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation Kritische Q-Q- Korrelationen Korrelations. Test Ist rqq < rcrit(a), wird die Annahme der NV auf dem gewählten a Level verworfen. a sollte progressiv gewählt sein (10%), da man eine Sicherheit für die Beibehaltung wünscht.

Methoden der Psychologie Q-Q Plot Methode Klassifikation Test der NV-Annahme (univariat) Datenbeispiel mit 2 Ausreißern N = 30 Korrelations. Test NV Test knapp im Annahmebereich, aber 2 Ausreißer verschlechtern die Passung beträchtlich

Methoden der Psychologie Q-Q Plot Methode Klassifikation Test der NV-Annahme (univariat) Datenbeispiel ohne Ausreißer N = 28 Korrelations. Test NV Test und Varianzaufklärung zeigt perfekte der empirischen Quantile an die NV an.

Methoden der Psychologie Q-Q Plot Methode Klassifikation Test der NV-Annahme (univariat) Datenbeispiel Nichtlineare Abweichung N = 29 Korrelations. Test • NV Annahme ist heikel und sollte abgelehnt werden • Ausreißerentfernung würde Passung verbessern, aber die Art der Abweichung deutet auf eine systematische Transformation der Quantile

Methoden der Psychologie Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation Quantils-Transformation zur NV • Unsystematische Ausreißer sollten entfernt werden. • Bei systematischen Quantilsabweichungen können die Rohdaten einer Potenztransformation unterzogen werden, um eine gute Approximation an die NV zu erreichen. • Parameterschätzung für (m, s) der NV sind über die transformierten Daten auszuführen. Box-Cox-Power Transformation maximiert nach k Die Power-Transformation g(x) liefert mit dem Wert k aus der Maximierung von l(k) die beste Annäherung an die NV

Methoden der Psychologie Q-Q Plot Methode Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation Datenbeispiel nichtlineare Abweichung Q-Q - Plot Maximierungsfunktion l(k) N = 29 k 0 Optimale Potenz. Transformation Potenztransformation der Originalskala: Erneuter Q-Q Test

Methoden der Psychologie Q-Q Plot Methode Test der NV-Annahme (univariat) Datenbeispiel nichtlineare Abweichung Q-Q – Plot original Q-Q – Plot nach Potenztransformation h 2 =. 877 r =. 937 berechnen Optimale Potenz. Transformation Klassifikation z- transformieren h 2 =. 986 r =. 993 Q-Q plotten Potenztransformation bringt fast perfekte Passung der NV

Methoden der Psychologie Data Clearing p-dimensions Test der NV-Annahme (multivariat) Klassifikation Identifikation von Ausreißern • Auch im multivariaten Fall sind Ausreißer in kleinen Stichproben nicht zuverlässig bestimmbar, • Bei N > 30 legt man die Quantile der multivariaten Normalverteilung zugrunde (c 2) und eliminiert die Beobachtungen, dessen quadrierte Mahalanobis-Distanzen jenseits der äußeren Quantile liegen. Dies sollten nicht mehr als 7%-8% sein. Ausreißer: [Excel-Beispiel q-q-Plot]

Methoden der Psychologie Q-Q Plot Methode multivariat Test der NV-Annahme (multivariat) Klassifikation Test über Quantilskorrelation • Nach Ausreißerbereinigung werden Meßvektoren empirische Quantile qo zugeordnet über die Reihe der Meßwerte sortiert nach Mahalanobisdistanz. • Mit aus den Daten geschätzten Parametern (m, S) werden für die linearen Prozentränge erwartete Quantile qe aus der c 2 - Verteilung bestimmt. • Man trägt qo (y-Achse) und qe (x-Achse) gegeneinander ab. Perfekte Passung liegt vor, wenn die Daten auf der Winkelhalbierenden liegen. • Man bestimmt Anteil der aufgeklärten Varianz und Korrelation. • Für den Test des Korrelationskoeffizienten verfährt man exakt wie im univariaten Fall.

Methoden der Psychologie Q-Q Plot Methode Test der NV-Annahme (multivariat) Klassifikation Datenbeispiel (p = 4 Variablen) mit 3 Ausreißern N = 30 p=4 Korrelations. Test • NV Test knapp im Annahmebereich, aber 2 Ausreißer verschlechtern die Passung beträchtlich, auch in den unteren Quantilen • Die beiden größten Ausreißer erfüllen das Kriterium, aber der 3. höchste Wert ist ebenfalls suspekt (hoher Intervallabstand)

Methoden der Psychologie Q-Q Plot Methode Test der NV-Annahme (multivariat) Klassifikation Datenbeispiel (p = 4 Variablen) ohne 3 Ausreißer N = 27 p=4 Korrelations. Test NV Test zeigt nach Entfernung der höchsten 3 Werte (nicht nur 2) nun eine gute Passung der multivariaten NV

Methoden der Psychologie Ausreisser. Kontrolle Test der NV-Annahme (multivariat) Klassifikation Allgemeines zur Verteilungskorrektur • Ausreißerbereinigung sollte immer multivariat erfolgen, da ein Ausreisser in einer einzelnen Variable noch nicht einen Ausreißer im Variablenverbund definiert. • Das Entfernen extremer Beobachtungen ändert die Korrelationsmatrix, daher können iterative Bereinigungen nötig werden. Transformationen Skalentransformationen • Skalentransformationen können nur univariat erfolgen. (Keine Methode definiert eine Transformation für den Variablenverbund) • Es ist ratsam eine univariate Untersuchung systematischer Verteilungsabweichungen nach der multivariaten Ausreißerkontrolle durchzuführen, und die einzelnen Variablen mit geeigneten Potenztransformationen zu korrigieren. • Sind die Randverteilungen (univariate) alle normal, so wird auch die multivariate Verteilung normalverteilt sein.

Methoden der Psychologie Klassifikation Ausreisser in 2 D Ausreißer als Distanz vom Zentroid univariat x 2 multivariat Zentroid x 1 Ausreisser in 2 D: einer univariat und einer multivariat

Methoden der Psychologie Ausreisser in 2 D Klassifikation Ausreisser in 4 D: einer univariat und zwei multivariat Ausreißer als Distanz vom Zentroid uni+multivariat

Methoden der Psychologie Q-Q Plot Method Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation Test über Quantilskorrelation Beispiel für sehr gute Übereinstimmung von beobachteten und gemäß NV erwarteten Quantilen