Metda Konench Prvkov vo vrobnch technolgiach prednka 5

Metóda Konečných Prvkov vo výrobných technológiach prednáška č. 5

Obsah prednášky • Nosníkové prvky Rovinný nosníkový prvok • Rovinné prvky Rovinný prvok konštantnej napätosti Rovinný prvok konštantnej deformácie Osovosymetrické prvky Príklad – štvoruzlový lineárny izoparametrický prvok • Priestorové prvky 2

Nosníkový prvok Rovnice rovinného nosníkového prvku konštantnej tuhosti: • prenáša ťah/tlak + ohyb (+ krútenie) • pre malé deformácie predpokladáme, že prierezy nosníka sa posunú a natočia ako tuhý celok a zostanú rovinné • neuvažujeme vplyv šmykového napätia • výpočet posunutí, deformácií a napätí potom spočíva v nájdení funkcií us(x), vs(x), js(x) strednice prvku 3

Nosníkový prvok 4

Nosníkový prvok • celkovo má prvok 6° voľnosti • aproximačné funkcie volíme v tvare 5

Nosníkový prvok Vektor posunutí elementu v LSS: Vektor uzlových síl elementu v LSS: 6

7

Nosníkový prvok posunutie ľubovolného bodu strednice kde matica tvarových funkcií 8

Nosníkový prvok pre posunutie ľubovolného bodu strednice nosníka v smere osi x LSS platí transformačná matica pretvorení kde 9

Nosníkový prvok maticu tuhosti dvojuzlového rovinného nosníkového prvku získame kde 10

Nosníkový prvok transformácia spojitého zaťaženia q(x) prvku do uzlov pre prípad q(x) = q = konšt 11

Nosníkový prvok transformačná matica medzi LSS a GSS pre dvojuzlový element 12

Nosníkový prvok t. j. pre dvojuzlový rovinný nosníkový prvok Obdobné transformačné vzťahy platia i pre transformáciu uzlových síl 13

Príklad - jednorozmerná úloha Vypočítajte deformácie a reakcie v rámovej sústave. Konečno prvkový model 14

Matice tuhosti prvkov 15

Matica tuhosti konštrukcie 16

Matica tuhosti konštrukcie 17

Matica tuhosti konštrukcie 18

Výsledná sústava rovnovážnych rovníc 19

Redukovaná sústava rovníc konštrukcie okrajové podmienky: u 1 = v 1 = j 1 = u 3 = v 3 = j 3 = 0 20

Redukovaná sústava rovníc konštrukcie výpočet neznámych posunutí 21

Redukovaná sústava rovníc konštrukcie výpočet neznámych reakcií 22

Príklad - dvojrozmerná úloha Vypočítajte deformácie a reakcie v rámovej sústave. L=1 m A = 1. 10 -4 m 2 q = 2000 Nm-1 I = 1. 10 -6 m 4 E = 2. 105 MPa F = 1000 N 23

Matice tuhosti prvkov v LSS 24

Transformačné matice prvkov medzi LSS a GSS pre element č. 1: pre element č. 2, 3: j = 0° j = 90° cosj = 1 cosj = 0 sinj = 1 25

Matice tuhosti prvkov v GSS 26

Matice tuhosti prvkov v GSS 27

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS 28

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS 29

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS + 30

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS 31

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS 32

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS 33

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS 34

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS 35

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS + 36

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS 37

Zostavovanie matice tuhosti konštrukcie v GSS 38

Matica tuhosti konštrukcie v GSS 39

Výsledná sústava rovnovážnych rovníc 40

Redukovaná sústava rovníc konštrukcie okrajové podmienky: u 1 = v 1 = j 1 = u 4 = v 4 = j 4 = 0 41

Posunutia a zaťaženia v uzlových bodoch náhradné vonkajšie sily od spojitého zaťaženia prvku e 1 v LSS 42

Vektor zaťažení v uzlových bodoch (GSS) 43

Redukovaná sústava rovníc konštrukcie výpočet neznámych posunutí výpočet neznámych reakcií 44

Neznáme posunutia uzlov Reakcie vo väzbách 45

Nosníkový prvok Nosníkové prvky v ANSYSe: • 2 D BEAM 3 BEAM 23 BEAM 54 2 -D Elastic Beam 2 -D Plastic Beam 2 -D Elastic Tapered Unsymmetric Beam • 3 D BEAM 4 BEAM 24 BEAM 44 BEAM 188 BEAM 189 3 -D Elastic Beam 3 -D Thin-walled Beam 3 -D Elastic Tapered Unsymmetric Beam 3 -D Linear Finite Strain Beam 3 -D Quadratic Finite Strain Beam • Explicit BEAM 161 Explicit 3 -D Beam 46

Rovinné prvky Rovinná napätosť: • pre telesá, ktoré majú malý rozmer v smere jednej osi • všetky zaťaženia sú rovnobežné so stredovou rovnonomerne rozdelené po hrúbke t rovinou a • ak os z je kolmá na rovinu takejto steny (membrány) potom z = yz = gzy = xz = gzx = 0 ( z 0) 47

48

Rovinné prvky potom potenciálna energia prvku 49

Rovinné prvky Rovinná deformácia: • pre telesá, ktoré sú dlhé v smere jednej osi • a ktorých prierez a zaťaženie sa nemení v pozdĺžnom smere • hrúbka t sa volí jednotková z = yz = gzy = xz = gzx = 0 ( z 0) 50

51

Rovinné prvky potom potenciálna energia prvku 52

Rovinné prvky Osovosymetrické prvky: • pre telesá, ktorých tvar, zaťaženie a okrajové podmienky spĺňajú v cylindrických súradniciach (r, y, j) podmienky rotačnej symetrie • potom možno úlohu zredukovať na dvojrozmernú 53

54

Rovinné prvky potom potenciálna energia prvku 55

Rovinné prvky v ANSYSe: • • • • • PLANE 2 PLANE 13 PLANE 25 PLANE 35 PLANE 42 PLANE 53 PLANE 55 PLANE 77 PLANE 78 PLANE 82 PLANE 83 PLANE 121 PLANE 145 PLANE 146 PLANE 162 PLANE 183 PLANE 223 PLANE 230 2 -D 6 -Node Triangular Structural Solid 2 -D Coupled-Field Solid Axisymmetric-Harmonic 4 -Node Structural Solid 2 -D 6 -Node Triangular Thermal Solid 2 -D Structural Solid 2 -D 8 -Node Magnetic Solid 2 -D Thermal Solid Axisymmetric-Harmonic 4 -Node Thermal Solid 2 -D 8 -Node Thermal Solid Axisymmetric-Harmonic 8 -Node Thermal Solid 2 -D 8 -Node Structural Solid Axisymmetric-Harmonic 8 -Node Structural Solid 2 -D 8 -Node Electrostatic Solid 2 -D Quadrilateral Structural Solid p-Element 2 -D Triangular Structural Solid p-Element Explicit 2 -D Structural Solid 2 -D 4 -Node Structural Solid 2 -D 8 -Node Coupled-Field Solid 2 -D 8 -Node Electric Solid 56

Rovinné prvky Trojuholníkové prvky odvodené pomocou lineárnych tvarových funkcií označujeme ako prvky konštantného pretvorenia! (Program ANSYS napr. takéto prvky ani nepoužíva. ) Trojuholníkové prvky odvodené pomocou kvadratických tvarových funkcií označujeme ako prvky lineárneho pretvorenia! 57

Príklad – štvoruzlový bilineárny izoparametrický rovinný prvok Určte matice prvku s t = konšt. 58

Funkcia posunutí všeobecného bodu prvku Funkcia súradníc všeobecného bodu prvku izoparametrický prvok 59

Transformačná matica deformácií prvku - problém derivovania (integrovania) funkcií s prirodzenými súradnicami. 60

Matica tuhosti prvku s konštantnou hrúbkou t Vektor prvkového zaťaženia (napr. od teploty) 61

Matica tuhosti osovosymetrického prvku 62

Priestorové prvky 3 D modely: • • sieť je tvorená 4 – 6 stenovými prvkami každý uzol prvku má 3° voľnosti (platí pre štrukturálne úlohy) pomer tvoriacich strán by mal byť 1: 1: 1 5 stenové prvky sa najčastejšie používajú ako prechodové • Generovanie siete: zvnútra telesa smerom k obvodovým stenám z hraničných plôch dovnútra objemu 63

Priestorové prvky • nárast počtu stupňov voľnosti Príklad: rovinná úloha: 20 x 20 = 400 uzlov x 2° voľnosti na uzol = 800 rovníc šírka pásu matice 20 x 2 = 40 (pre prípad optimálneho číslovania uzlov) priestorová úloha: 20 x 20 = 8000 x 3° = 24000 rovníc šírka pásu matice 20 x 3 = 1200 (pre prípad optimálneho číslovania uzlov) 64

Priestorové prvky • lineárne prvky p o, p o m m n n l i k k, l i j j m, n, o, p k, l i j 65

Priestorové prvky v ANSYSe: • • • • SOLID 5 SOLID 46 SOLID 62 SOLID 64 SOLID 65 SOLID 69 SOLID 70 SOLID 87 SOLID 90 SOLID 92 SOLID 95 SOLID 96 SOLID 97 SOLID 98 SOLID 117 3 -D Coupled-Field Solid 3 -D Structural Solid 3 -D 8 -Node Layered Structural Solid 3 -D Magneto-Structural Solid 3 -D Anisotropic Structural Solid 3 -D Reinforced Concrete Solid 3 -D Coupled Thermal-Electric Solid 3 -D Thermal Solid 3 -D 10 -Node Tetrahedral Thermal Solid 3 -D 20 -Node Thermal Solid 3 -D 10 -Node Tetrahedral Structural Solid 3 -D 20 -Node Structural Solid 3 -D Magnetic Scalar Solid 3 -D Magnetic Solid Tetrahedral Coupled-Field Solid 3 -D 20 -Node Magnetic Edge 66

Priestorové prvky v ANSYSe: • • • • • SOLID 117 SOLID 122 SOLID 123 SOLID 127 SOLID 128 SOLID 147 SOLID 148 SOLID 164 SOLID 168 SOLID 185 SOLID 186 SOLID 187 SOLID 191 SOLID 226 SOLID 227 SOLID 231 SOLID 232 3 -D 20 -Node Magnetic Edge 3 -D 20 -Node Electrostatic Solid 3 -D 10 -Node Tetrahedral Electrostatic Solid 3 -D Tetrahedral Electrostatic Solid p-Element 3 -D Brick Structural Solid p-Element 3 -D Tetrahedral Structural Solid p-Element Explicit 3 -D Structural Solid Explicit 3 -D 10 -Node Tetrahedral Structural Solid 3 -D 8 -Node Structural Solid 3 -D 20 -Node Structural Solid or Layered Solid 3 -D 10 -Node Tetrahedral Structural Solid 3 -D 20 -Node Layered Structural Solid 3 -D 20 -Node Coupled-Field Solid 3 -D 10 -Node Coupled-Field Solid 3 -D 20 -Node Electric Solid 3 -D 10 -Node Tetrahedral Electric Solid 67