Metda Konench Prvkov vo vrobnch technolgiach prednka 2
Metóda Konečných Prvkov vo výrobných technológiach prednáška č. 2
Obsah prednášky • Vektor, matica, tenzor • Základné matematické operácie • Spôsoby riešenia sústavy lineárnych algebraických rovníc – Príklady • Spôsoby riešenia sústavy nelineárnych algebraických rovníc • Riešiče používané programom ANSYS 2
Základná terminológia Tenzor • • je fyzikálna veličina nezávislá od aktuálne definovaného súradnicového systému je určená stupňom a usporiadaním Matica • tenzor 2 -ého rádu (stupňa) Vektor • • • tenzor 1 -ého rádu (stupňa) pre úplné určenie veličiny je potrebné poznať veľkosť, smer a nositeľku (voľný, viazaný, polohový, jednotkový) Skalár • • tenzor 0 -tého rádu (stupňa) je určený veľkosťou 3
Základná terminológia • pri uvažovaní 3 D súradnicového systému je tenzorom 2 -ého rádu napr. napätie v bode telesa • tenzorom 1 -ého rádu je napr. sila • materiálové vlastnosti, . . . 4
Základné matematické operácie Systém lineárnych algebraických rovníc môžeme v maticovom tvare zapísať A x = b 5
Základné matematické operácie kde aij - prvok matice na i-tom riadku a j-tom stĺpci Ak: m = n - štvorcová matica m = 1 - riadková matica (vektor) n = 1 - stĺpcová matica (vektor) 6
Základné matematické operácie Sčítavanie (odčítavanie) matíc: ! matice A, B musia mať rovnaký rozmer (m n) C = A + B C = A - B [cij] = [aij] + [bij] [cij] = [aij] – [bij] Násobenie matíc: k. A = C [k aij] = [cij] i = 1, 2, . . . l asociatívnosť: avšak: j = 1, 2, . . . n A (B C) = (A B) C A B B A 7
Základné matematické operácie Transponovaná matica: ak: A = [aij] potom: AT = [aji] Symetrická matica: štvorcová (n n) matica A sa nazýva symetrická ak platí: A = AT [aij] = [aji] Jednotková matica: IA = AI = A 8
Základné matematické operácie Determinant matice: Cramerovo pravidlo Singulárna matica: det A = 0 9
Základné matematické operácie Pozitívne definitná matica: štvorcová (n n) matica A sa nazýva pozitívne definitná ak pre ľubovolný nenulový vektor x platí: x. TA x > 0 Matica A je potom nesingulárna. Inverzná matica: ! existuje iba pre štvorcové a nesingulárne matice, ak det A ≠ 0 A A-1 = A-1 A = I kde C = [cij] cij = (-1)i+j Mij – je determinant matice, ktorá vznikne vynechaním i-teho riadku a j 10 -teho stĺpca z matice A.
Základné matematické operácie Derivovanie a integrovanie matíc: Okrem toho platí: (A B)T = BTAT (A B C)T = CT(A B)T = CTBTAT pre štvorcové matice: A B = BTA (A B)-1 = B-1 A-1 11
Riešenie systému lineárnych algebraických rovníc Na vyriešenie systému lineárnych algebraických rovníc môžeme použiť Priame metódy • inverznú maticu • Gaussovu eliminačnú metódu (Gauss Elimination) • Gauss-Jordanovu metódu (Gauss-Jordan Elimination) • Cramerove pravidlo (Cramer´s Rule) • LU rozklad (LU Decomposition) • Choleskyho rozklad (Cholesky Decomposition) Nepriame metódy • iteračné metódy (približné) – napr. Gauss-Seidelovu metódu, Jacobiho metódu – vhodné pre riešenie veľkých sústav rovníc • . . . 12
Príklad Nájdite riešenie (x 1 až x 3) sústavy rovníc –x 1 + 3 x 2 – 2 x 3 = 2 2 x 1 – 4 x 2 + 2 x 3 = 1 4 x 2 – x 3 = 3 Sústavu je možné v maticovom tvare zapísať 13
Inverzná matica: A x = b A-1 A x = A-1 b I x = A-1 b Matica kofaktorov: 14
Inverzná matica: det A = |A| = -6 Výpočet koreňov: x = A-1 b 15
Inverzná matica: Vzhľadom na náročný výpočet inverznej matice, z dôvodu nutnosti počítať determinanty matíc, sa táto metóda v počítačovej mechanike prakticky nepoužíva. (viď Cramerova metóda) 16
Cramerovo pravidlo: kde D(i) je matica, ktorej i-ty stĺpec je nahradený vektorom b. Výpočet koreňov: 17
Cramerovo pravidlo: 18
Cramerovo pravidlo: Praktické použitie tejto metódy je obmedzené na malé matice n m (približne n, m ≤ 5). Napr. pre výpočet determinantu matice 10 x 10 by bolo potrebné vykonať cez 30 miliónov operácií. Determinant by mal 10! = 3 628 800 členov. Preto sa táto metóda v počítačovej mechanike, podobne ako metóda inverznej matice, nepoužíva. 19
Gaussova eliminačná metóda: 20
Gaussova eliminačná metóda: 1. krok 21
Gaussova eliminačná metóda: úprava druhého riadku matice 22
Gaussova eliminačná metóda: 23
Gaussova eliminačná metóda: 24
Gaussova eliminačná metóda: 25
Gaussova eliminačná metóda: 1. krok 26
Gaussova eliminačná metóda: 2. krok 27
Gaussova eliminačná metóda: Spätnou substitúciou - posledný koreň n - ostatné korene (n-1) až 1 Výpočet koreňov: 28
Gaussova eliminačná metóda: Táto metóda v počítačovej mechanike používa veľmi často. 29
LU dekompozícia: A = L U A x = L U x = L (U x) = b L y = b U x = y 30
LU rozklad: 31
LU rozklad: 32
LU rozklad: L y = b Doprednou substitúciou: 33
LU rozklad: U x = y Spätnou substitúciou: 34
LU rozklad: Skúška správnosti: A x = b 35
LU rozklad: Táto metóda v počítačovej mechanike používa veľmi často. 36
Choleskyho dekompozícia: metóda použiteľná len pre symetrické matice matica musí byť „dostatočne“ pozitívne definitná A = U T U alternatívne: A = L LT 37
Choleskyho rozklad: A x = b 38
Choleskyho rozklad: 39
Choleskyho rozklad: 40
Choleskyho rozklad: Doprednou substitúciou: 41
Choleskyho rozklad: Spätnou substitúciou: 42
Choleskyho rozklad: Skúška správnosti: A x = b 43
Choleskyho rozklad: Táto metóda v počítačovej mechanike používa veľmi často. 44
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: Majme sústavu rovníc A x = b Pre maticu A (n x n) platí: aii ≠ 0 pre i = 1. . . n Maticu A rozložme A = AL + AD + AU AL – dolná trojuholníková matica AD – diagonálna matica diag[aii] AU – horná trojuholníková matica príp. ALT transponovaná dolná trojuholníková matica Ďalej uvažujeme len prípad: teda: A U = A LT A = AL + AD + ALT (pre symetrické matice) 45
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: 46
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: Iteračný algoritmus pre výpočet koreňov Jacobiho iteračná metóda Gauss-Seidelova iteračná metóda 47
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: Iteračný algoritmus pre výpočet koreňov Jacobiho iteračná metóda kde Gauss-Seidelova iteračná metóda kde 48
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: Príklad: Jacobiho metódou nájdite korene sústavy rovníc s presnosťou ≤ 0, 0003 Ax=b Rozložíme maticu A 49
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: 50
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: Štartovacie riešenie (zvolené riešenie) 1. iterácia 51
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: 2. iterácia 52
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: 3. iterácia 53
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: 4. iterácia 54
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: 164. iterácia Presné riešenie: 55
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: Skúška správnosti: A x = b Presné riešenie: 56
Zle podmienené matice: Majme sústavu rovníc A x = b Ak je matica A zle podmienená (ill-conditioned matrix), riešenie úlohy môže byť obtiažne. Napr. malé zaokrúhlenia členov b vektora, môže výrazne ovplyvniť riešenie /korene/ sústavy rovníc (x vektor). 57
Zle podmienené matice: Príklad: Riešením sústavy rovníc 9 x + 8 y = 0, 8 8 x + 7 y = 0, 7 sú korene: x=0 y = 0, 1 Ak zavedieme malú chybu do pravej strany rovníc (vektor b) (napr. zaokrúhlovacou chybou) 9 x + 8 y = 0, 81 8 x + 7 y = 0, 69 sú korene: x = -0, 15 y = 0, 27 58
Riešenie systému nelineárnych algebraických rovníc 59
Riešiče implementované ® v programe ΛNSYS Direct Solvers - priame riešiče • Sparse Direct Solver – využíva LU rozklad • Frontal (Wavefront) Solver – založený na metóde Gaussovej eliminácie Iterative Solver - iteratívne riešiče • • Jacobi Conjugate Gradient (JCG) Solver Preconditioned Conjugate Gradient (PCG) Solver Incomplete Cholesky Conjugate Gradient (ICCG) Solver Automatic Iterative (Fast) Solver Option Parallel/Distributed Solvers - distribuované riešiče • Algebraic Multigrid (AMG) Solver • Distributed Jacobi Conjugate Gradient (DJCG) Solver • Distributed Preconditioned Conjugate Gradient (DPCG) Solver 60
- Slides: 60