MET 2211 Statistikk og dataanalyse Kapittel 5 Sannsynlighetsregning

MET 2211 Statistikk og dataanalyse Kapittel 5: Sannsynlighetsregning MET 8006 - Fred Wenstøp

Oppgaver w 4 -1 w 4 -2 w 4 -3 w 4 -4 12. 09. 2021 MET 8006 - Fred Wenstøp 2

Perspektiver på sannsynlighet w Sannsynlighet som populasjonsandel n Sannsynligheten for å trekke et menneske med en spesiell egenskap er lik populasjonsandelen til denne egenskapen w Sannsynlighet som relativ hyppighet i det lange løp n Myntkast w Subjektiv sannsynlighet n Defineres i forhold til et ruletthjul eller lignende w Aksiomatisk definisjon w Sannsynlighet som areal 12. 09. 2021 MET 8006 - Fred Wenstøp 3

Sannsynlighet w Sannsynlighet må alltid defineres i forhold til et eksperiment n n Man snakker om sannsynligheten for ulike utfall av eksperimentet w Eksperiment: n Trekk en tilfeldig person fra klassen l Mulige interessante utfall w w w 12. 09. 2021 Jente Gutt Jente som røyker Person som røyker Jente eller person som røyker osv. MET 8006 - Fred Wenstøp Utfallsrom l Et fullstendig sett med gjensidig utelukkende utfall w Eksempel 1: § Jente eller gutt w Eksempel 2: § Jente som røyker § Jente som ikke røyker § Gutt som ikke røyker 4

Sannsynlighet og krysstabeller P(J) = 31/111 = 28% P(G)= 80/111 = 72% P(J Ç R) = 7/111 = 6% P(G Ç R) = 6/111 =5% P(J Ç R’) = 24/111 = 22% P(G Ç R’) = 74/111 = 67% Data fra 2004 12. 09. 2021 MET 8006 - Fred Wenstøp 5

Sannsynlighet som areal P(J) = 0, 28 7 P(G)=0, 72 (J Ç R) 31 R 6 (G Ç R) 111 80 P(J) = 28% P(G)= 72% P(J Ç R) = 6% P(G Ç R) =5% P(J Ç R’) = 22% P(G Ç R’) = 67% Generell regneregel: P(J È R) = P(J) + P(R) - P(J Ç R) = 0, 28 + 0, 12 – 0, 06 = 0, 34 Betinget sannsynlighet: P(R | J) = P(J Ç R) / P(J) = 0, 06/0, 28 12. 09. 2021 MET 8006 - Fred Wenstøp 6

Betinget sannsynlighet Definisjon P(R | J) = P(J Ç R) / P(J) Fra tabellen n n n n 12. 09. 2021 MET 8006 - Fred Wenstøp P(J) = 28 % P(G)= 72 % P(R) = 12 % P(J Ç R) = 6% P(G Ç R) = 5% P(R | J) = 23 % P(R | G) = 8 % P(J | R) = 54 % P(G | R) = 46 % 7

Bayes formel Per definisjon: P(A½B) = P(AÇB) / P(B) derfor også: P(B½A) = P(AÇB) / P(A) Kombinert: P(B½A) = P(A½B) P(B) / P(A) = 12. 09. 2021 MET 8006 - Fred Wenstøp 8

Bayes formel, HIV-eksempel Elizatesten Sensitivitet: P(Test positiv½Smittet) = P(T+½S) = 0, 99 Spesifisitet: P(T-½S’) = 0, 98 Prevalens i befolkningen: P(S) = 0, 001 Testen din er positiv! Hva er sannsynligheten for at du er smittet? P(S½T+) = P(T+½S) P(S)/(P(T+½S) P(S) + P(T+½S’) P(S’)) = 0, 99 ´ 0, 001 / (0, 99 ´ 0, 001 + 0, 02 ´ 0, 999) = 0, 047 12. 09. 2021 MET 8006 - Fred Wenstøp 9

Sannsynlighetstre 12. 09. 2021 MET 8006 - Fred Wenstøp 10

Invertert sannsynlighetstre 0, 047 12. 09. 2021 0, 953 0, 00001 MET 8006 - Fred Wenstøp 0, 99999 11