Mesh Parametrisierung Katja Bhler Mathematische Methoden der Computergrahik

Mesh Parametrisierung Katja Bühler, Mathematische Methoden der Computergrahik

Papers: • MAPS – Multiresolution Adaptive Parametrization of Surfaces A. Lee, W. Swelden, P. Schröder, L. Cowsar, D. Dobkin Siggraph 1998 • Hierarchical Parametrizations of Triangulated Surfaces K. Hormann, G. Greiner, Swen Campagna

Wozu Parametrisieren? Surface fitting: Parametrische glatte Flächen approximieren 3 D Datenpunkte Texture Mapping: Farbinformation / Texturen werden über Parametergebieten definiert und auf die Fläche abgebildet. Morphing / Mesh editing Remeshing: Die Triangulierung eines Meshes wird so verändert, dass ein Mesh eine Unterteilungshierarchie (subdivision connectivity) besitzt. (z. B. i. A. nicht der Fall für 3 D Scanner Output) Parametrisierung erlaubt adaptives Remeshing ohne die subdivision connectivity zu verlieren.

Beispiel für Parametrisierungen

Arten von Parametrisierungsalgorithmen? • 1. Ansatz: Direkte Abbildung des Meshes in die Ebene. Dieses Parameter-Mesh kann mittels Optimierungsalgorithmen verbessert werden • 2. Ansatz: Eng verbunden mit Vereinfachungs-algorithmen: – Zwei “Schulen”: • Klassische Multiresolution Darstellungen • Sequenzielle Vereinfachung (PMs) • Optimale Parametrisierung: – Hängt stark von der Anwendung ab, z. B. Minimierung der #Dreiecke, Minimierung des Approximationsfehlers, Minimierung der Verzerrung.

Allgemeine Problemstellung • Gegeben: – Ein Dreiecks-Mesh, d. h. eine Menge von Punkten pi und dazugehörigen Dreiecken Ti im R 3. – Ein Parametergebiet G im R 2. • Gesucht: – Parameterwerte (ui, vi) aus G für jeden Punkt pi, so daß die Topologie des Meshes erhalten bleibt. D. h. die den Dreiecken Ti entsprechenden Dreiecke ti im Parametergebiet dürfen sich nicht überlappen.

Lokale Parametrisierung • Parametrisierung der Nachbarschaft W 0, …, Wn eines Referenzknotens V durch “Plätten” der Nachbarschaft. • Die Abbildung hat folgende Eigenschaften – || wi – vi || = || Wi – Vi || – Winkel zum Nachbarknoten im “geplättete” Dreieck:

Globale Parametrisierung • Komplexes Problem! – Direkte Abbildung einer gerümmten Fläche in die Ebene ist immer mit Verzerrungen verbunden. – Manche Algorithmen zerstückeln die Fläche – Was soll erhalten werden? (Flächeninhalt, Winkel, geodätische Krümmung……) – Optimierungsalgorithmen finden bezüglich vorgegebener Randwerte optimale Parametrisierungen.

Hierarchische Parametrizierungen • Nutzen Mesh-Hierarchien aus, um “gute” Parametrisierungen zu erhalten. • Idee: Gute Parametrisierungen lassen sich für weniger komplexe Meshes leichter berechnen und dann auf die feineren Levels übertragen. • Wichtige Fragestellung: Wie berechne ich sinnvoll die Parameter und deren zusammenhänge in den einzelnen Levels?

Hierarchical Parametrizations Hormann et al. • Relativ simples Paper • Idee: • Verwende Progressive Meshes um ein gute Anfangsmesh für den Optimierungsprozess zu bekommen und ihn so zu beschleunigen.

Hormann – Algorithmus 1 • Berechne alle Hierarchie-Levels. • Bei jedem Half Edge Collaps berechne außerdem die baryzentrischen Koordinaten des eliminierten Punktes bezüglich der lokalen Parametrisierung des umgebenden Dreiecks. • Speichere baryzentrische Koordinaten und Index des Mutterdreiecks.

Hormann – Algorithmus 2 • Parametrisierung: – Beginne mit dem gröbsten Mesh und berechne eine optimale Parametrisierung – Verwende die gespeicherten baryzentrischen Koordinaten um die fehlenden Dreiecke in das nächst feineren Level einzufügen. – Nehme diese Parametrisierung als Anfangswert für die Optimierung des nächstfeineren Levels, usw.

Hormann - Ergebnisse

MAPS – Multiresolution Adaptive Parametrization of Surfaces Lee et. al. • Ähnlicher Ansatz wie bei Hormann • Mesh-Hierarchie basiert auf einem Algorithmus von Dobkin und Kirkpatrick (DK), der eine maximale Anzahl von O(log N) Levels garantiert.

Um was geht’s genau? • Gegeben: Irreguläre Triangulierungen von Mannigfaltigkeiten vom Geschlecht 2, z. B. Daten aus einem Laserscanner, oder Ergebnis des Marching Cubes-Algorithmus, …. • Gesucht: “Glatte, schöne Parametrisierung” des original Meshes • Ansatz: – Hierarchische Vereinfachung induziert eine Parametrisierung des originalen Meshes über einer kleinen Anzahl von Dreiecken im Parameterraum – Verbesserung der Parametrisierung durch hierarchisches Glätten basierend auf Loop-Subdivision.

Aufbau der Mesh-Hierarchie: Der DK-Algorithmus • Ein Vereinfachungschrittbesteht daraus, soviele Knoten wie möglich mit minimaler Valenz zu eliminieren. • Originalalgorithmus verwendet topologische Information um die Knoten zu bestimmen. • Hier: Priority Queue, die geometrische und topolgische Information enthält.

Der DK-Algorithmus 1. Setze alle Knoten unmarkiert 2. Bestimme zufällig einen unmarkiert Knoten mit Valenz < 12 3. Entferne den Knoten und retrianguliere das entstandene Loch. 4. Markiere die Knoten der Nachbarschaft des entfernten Knotens. 5. Wiederhole Schritt 2. -4. solange bis kein Knoten mehr entfernt werden kann.

Verbesserung des DK-Algorithmus - Auswahl der Knoten • Die zufällige Auswahl der Knoten kann ersetzt werden durch eine Priority Queue, die Krümmung der Nachbarschaft eines Knotens mit in den Entscheidungsprozess einbezieht. • Zuerst werden die Knoten mit Valenz < 12 ausgewählt, die eine “flache” Umgebung haben. • Dadurch können wesentlich mehr Knoten entfernt werden (~1/4 statt mindestens 1/24)

Verbesserung des DK-Algorithmus - Retriangulierung • Abbildung der Nachbarschaft auf die Ebene mit Hilfe einer konformen Abbildung (winkeltreu, minimale metrische Verzerrung, bijektiv) • Retriangulierung in der Ebene mit “Constrained Delaunay Triangulation”

DK Mesh - Hierarchie

Parametrisierung • Beginne mit einer Parametrisierung des feinsten Meshes • Falls ein Punkt einen Vereinfachungsschritt überlebt, bleibt auch seine Parametrisierung bestehen • Falls ein Punkt entfernt wird, so wird er bezüglich des Dreiecks parametrisiert, in dem er liegt. • Früher entfernte Punkte werden ebenfalls entsprechend reparametrisiert.

Probleme • Die Abbildung der einzelnen Knoten in das Parametergebiet führt nicht unbedingt zu einer Triangulierung, wenn die Knoten verbunden werden – Dreiecke können z. B. auch auf nicht-konvexe Gebiete abgebildet werden. Gerade Verbindung führen zu überlappenden gebieten • Lösungen: – Unterteile das Mesh in den problematischen Gebieten weiter, oder – Führe Dreiecksflips durch.

Tagging and Feature Lines • Die Nachbarschaft wird entlang der Feature Line in zwei Bereiche aufgeteil und getrennt retrianguliert.

Uniform Remeshing • Baue eine 1: 4 Unterteilungshierarchie des Parametergebietes auf. • Bestimme, in welchem Dreieck eines Levels ein Knoten liegt. • Verwende baryzentrischen Koordinaten bezüglich des original Dreiecks um die Position des neuen Knotens im Mesh zu bestimmen.

Glätten der Parametrisierung • Problem: Parametrisierung geht nicht glatt über die Kanten der Basis-Dreiecke • Lösung: Verwende Modifizierte (flache) Loop Subdivision. • Details siehe Paper…. .

Adaptive Remeshing • Problem: Normalerweise wirde die komplette Hierarchie eines Meshes aufgebaut und dann werden einzelne Äste des Meshes abgeschnitte. • Hier: Verfeinerung im Remeshing-Prozess findet nur statt, wenn der Abstand zum “Mutter”-Dreieck eine bestimmten Wert übersteigt.

Ergebnisse

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