Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh DR FAHINU M

Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M. Pd

Mohon dikerjakan Kura-kura menempuh jarak 1 km dalam 2 jam, Berapakah jarak yang ditempuh bila 8 jam? Manakah hubungan proporsional untuk mengerjakan situasi ini? Mengapa? Jelaskan!

Berpikir Aljabar & Geometrik Kuantitas Proportional Reasoning Numerasi Bahasa Bentuk Bilangan Kesamaan Dasar 10 Komponen Number Sense

Proportional Reasoning Penalaran proporsional adalah meliputi hubungan matematis antara dua kuantitas. Penalaran proporsional merupakan aktivitas mental dalam mengkordinasikan dua kuantitas yang berkaitan dengan relasi perubahannya. .

Idea Kunci pada Penalaran Proporsional • Rasio merupakan perbandingan dari dua kuantitas/ukuran(pecahan, persentase, peluang, kecepatan, , dll). • Proporsi merupakan pernyataan kesetaraan antara dua rasio.

Masalah rasio dan proporsi Gunakan pemahaman bahwa hubungan perkalian adalah sama untuk setiap rasio dalam proporsi dalam mencari nilai yang tidak diketahui berikut.

Masalah rasio dan proporsi Hubungan perkalian antara dua rasio dalam proporsi. 2: 10 = 4 : x Jika kita mengalikan kedua bilangan dalam rasio 2: 10 oleh 2, kita menemukan nilai dalam rasio kedua.

Mengapa kita mempelajari penalaran proporsional?

Penalaran proporsional: • Dasar matematika tingkat tinggi • Tidak selalu dikerjakan dengan representasi simbolik • Menyelesaikan masalah rasio dan proporsi dalam kehidupan sehari-hari. • Mempunyai empat level strategi peny: • 0 (gunakan strategi penjumlahan, solution diperoleh karena keberuntungan) • 1 (gunakan gambar, model, manipulasi) • 2 (gunakan strategi level 1 and strategi perkalian/pembagian ) • 3 (gunakan perkalian silang atau kesamaan rasio)

Karakteristik Pemikir Proporsional (Lamon, 1999) • Memiliki pemahaman ttg kovariasi: memahami hubungan dua kuantitas yang mempunyai variasi bersama dan dapat melihat kesesuaian antara dua variasi berbeda. • Mengenali hubungan proporsional dan nonproporsional dalam dunia nyata. • Mengembangkan banyak strategi untuk menyelesaikan masalah proporsi. • Memahami rasio sebagai entitas tersendiri yang menyatakan hubungan antar kuantitas.

Bagaimana penalaran proporsional siswa dan Level Strateginya?

Malasah (Perbandingan senilai): • Siswa kelas IV membutuhkan 5 helai daun setiap hari untuk memberi makan 2 ekor ulat. Berapa helai daun untuk memberi makan 12 ulat?

Solusi (Level 0)

Solusi (Level 1) x 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30? 36 7 8 7 Jadi jumlah helai daun untuk memberi makan 12 ekor ulat adalah 30 lembar daun

Solusi (Level 2): Biasanya kesulitan karena 5/x = 2/12 tidak mendapat kan pecahan senilai sehingga 5/x = 1/6 =5/30 menggunakan diagram X = 30 Jadi jumlah helai daun untuk memberi makan 12 ekor ulat adalah 30 helai daun.

Solusi (Level 3): 5/x = 2/12 5. 12 = 2. x 60 = 2 x X = 60/2 = 30 Jadi jumlah helai daun untuk memberi makan 12 ekor ulat adalah 30 helai daun.

Masalah (Kesebangunan): Ukuran lebar dan tinggi sebuah slide berturut-turut adalah 36 mm dan 24 mm. Jika lebar pada layar 2, 16 m, tentukan tinggi pada layar.

Solusi (level 0), salah/tidak dapat mengerjakannya karena mereka menekankan pada penjumlahan Solusi (Level 1), kesulitan membuat gambar/tabel karena harus membuat 36 kali kolom … 96 72 48 24/36 72 106 142 …

Solusi (Level 2): 24/36 72 108 144 … 2160 60 x 0 36/24=2160/x x =24. 60 =1440 mm = 1, 44 m

Solusi (Level 3): 36/2160=24/x 1/60 =24/x x =1440 mm = 1, 44 m

Solusi (level 0), salah/tidak dapat mengerjakannya karena mereka menekankan pada penjumlahan Solusi (Level 1): 1 10 10 1 10 1 1 1 1 10 10

Masalah (Reduksi): Sebuah lantai ruangan berukuran 8 m x 10 m ingin digambar pada kertas gambar dengan skala 1 m : 10 cm. Tentukanlah ukuran lantai ruangan pada kertas gambar tersebut.

Solusi level 0, tidak dapat mengerjakan Solusi level 1: 80 cm x 100 cm 10 10 10 10 10

Solusi (Level 2/3) (8 m /10 cm) x (10 m / 10 cm) (800 cm/10 cm) x (1000 cm/10 cm) 80 cm x 100 cm. Jadi ukuran lantai ruangan pada kertas gambar adalah 800 cm x 100 cm.

Masalah (Penguk. tak langsung): Sebuah pohon mempunyai tinggi 180 cm dengan bayangannya 240 cm. Berapakah tinggi bangunan yang mempunyai bayangan 1200 cm? Level 0 & 1, Salah/sulit Solusi (Level 2/3): 180/x = 240/1200 180/x =1/5 180(5)/x = 1(5)/5 x = 900 cm

Peluang yang dibutuhkan siswa untuk memahami masalah (Level 0, 1, dan 2): • • Alasan tentang situasi proporsional Mencari nilai satuan unit Mengkonstruksi rasio equivalen Menghubungkan rasio, persen, and pecahan

Menghubungkan Level 3 Memerlukan pemahaman yang kuat dari komponen penalaran proporsional: • Perubahan antara rasio equivalen (bukan penjumlahan) • Perubahan perkalian adalah konstan • Hubungan antara rasio adalah faktor skala (Jika mengalikan suatu rasio dengan faktor skala, hasilnya adalah rasio yang baru)

Masalah Sebuah bola besi berjari-jari 3 cm, dimasukkan ke dalam tabung berisi air sehingga permukaan air dalam tabung naik. Jari-jari alas tabung 10 cm, Berapa cm kenaikan air dalam tabung tersebut?

Solusi (hanya Level 3): Volume air yang naik = volume bola . r 22. t =4/3. . r 13 3, 14(10)2. t =4/3(3, 14)(3)3 t = 36/100 = 0, 36 Jadi kenaikan air dalam tabung adalah 0, 36 cm.

Mengembangkan Penalaran proporsional • • • Kegiatan informal untuk mengembangkan penalaran proporsional (Van De Walle: 2008): Mengidentifikasi hubungan perkalian Pemilihan rasio equivalen Perbandingan rasio Pembuatan skala berdasarkan tabel rasio Konstruksi dan pengukuran. Selanjutnya banyak latihan Problem solving

PROBLEM SOLVING

Cognitive Processes in Problem Solving Richard E. Mayer • Translating • Integrating • Planning • Executing

Masalah Seorang petani mempunyai 200 m kawat untuk memagari suatu kebun berbentuk persegi panjang. Petani tersebut menginginkan luas kebunnya mempunyai luas yang maksimum. Berapakah panjang dan lebar kebun petani tersebut?

Translating

Prototype Mengkonstruksi Pengetahuan 1 2 Luas (Squared Measure) vs. Keliling (Linear Measure) L= p x l=10 P= 2 p + 2 l=14 Kuantitas: Math Structure: Symbols Konsep konkrit Discussion of the Concrete Record Keeping!

Frayer Model for Linguistics Definition (in own words) Characteristics • Pengukuran satu dimensi Jarak keliling suatu objek (linear measure) • Melibatkan penjumlahan Keliling Examples • Melibatkan problem solving Non-Examples 10 cm 2 cm Keliling = 24 cm The picture shows an Luas = 20 cm².

Frayer Model for Linguistics Definition (in own words) Characteristics • Melibatkan pengukuran dua dimensi Ukuran interior of a figuresuatu gambar (squared measure) Examples • Imelibatkan perkalian Luas • Melibatkan problem solving Non-Examples 10 cm 2 cm Luas = 20 cm² Keliling = 24 cm.

Problem Solving. Translating Mengkonversi masalah ke dalam gambaran mental. • Saya mempunyai 200 m kawat, dibuat persegi panjang. • Saya tahu bahwa persegi panjang mempunyai 2 pasang sisi yang sejajar. • Saya tahu bahwa untuk menghitung keliling menggunakan penjumlahan dan menghitung luas menggukan perkalian. • Saya tahu bahwa banyak ukuran pasang sisi yang berbeda yang dapat dibuat.

Problem Solving. Translating • Saya tahu bahwa luas adalah ukuran persegi pada interior gambar persegi panjang. • Saya tahu bahwa luas yang diinginkan adalah maksimal.

Integrating

Problem Solving. Integrating Membangun model mental problem. Jika Keliling adalah 200 m, persegi panjang mempunyai luas maksimum?

Planning

Problem Solving-Planning • Konkrit (Kuantitas) • Representasi (Verbal Discussion) • Abstrak (Symbolic)

Konkrit Semua persegi panjang yang terjadi disusun dari persegi satuan sisi 10 m

Representasi • Bagaimana kita mengorganisasi data? • Persegi panjang manakah yang mempunyai luas terbesar bila kelilingnya tertentu?

Executing

Organisasi Data p l K= 2 p + 2 l L =p x l 1 9 20 units 9 sq. units 2 8 20 units 16 sq. units 3 7 20 units 21 sq. units 4 6 20 units 24 sq. units 5 5 20 units 25 sq. units 6 4 20 units 24 sq. units 7 3 20 units 21 sq. units 8 2 20 units 16 sq. units 9 1 20 units 9 sq. units

Symbolic • • • 1 2 3 4 5 x x x 9 8 7 6 5 = 9 square units = 16 square units = 21 square units = 24 square units = 25 square units (largest area!!!)

Jadi panjang kebun adalah 5 x 10 m = 50 m, lebar kebun adalah 5 x 10 m = 50 m, serta luas kebun maksimal adalah 2500 m 2

Penutup • Penalaran proporsional merupakan dasar matematika tingkat tinggi sehingga penalaran proporsional siswa perlu dikembangkan secara kontinu. • Mengembangkan penalaran proporsional siswa perlu memperhatikan level penalaran proporsional. • Melatih siswa mengembangkan strategi melalui problem solving