Mencari akarakar persamaan fx0 mencari perpotongan kurva yfx

  • Slides: 12
Download presentation
 Mencari akar-akar persamaan f(x)=0 mencari perpotongan kurva y=f(x) dengan sumbu x(y=0)

Mencari akar-akar persamaan f(x)=0 mencari perpotongan kurva y=f(x) dengan sumbu x(y=0)

f(x) y=f(x) x’ 1 xo x’ 2 x xo = solusi eksak x’ 1,

f(x) y=f(x) x’ 1 xo x’ 2 x xo = solusi eksak x’ 1, x’ 2 = solusi pendekatan Solusi pendekatan yang baik: 1. Cukup dekat dengan xo, yaitu | x’-xo| 0 2. Nilai mutlak fungsinya mendekati nol: | f(x)| 0 Kedua kriterian diatas sulit dipenuhi bersamaan.

Pers. : xsinx +(x 2+4)ex = cosx akarnya? xo adalah akarnya jika xo sin

Pers. : xsinx +(x 2+4)ex = cosx akarnya? xo adalah akarnya jika xo sin xo + (xo 2 + 4) e = cos xo Bentuk umum pers. F(x) = 0 memiliki akar xo jika untuk harga x diganti xo pers. menjadi BENAR. Kemungkinan akarnya: - satu - beberapa. Kadang perlu mencari harga “Akar pendekatan=aproksimasi” yaitu harga x yang paling ”dekat” dengan suatu akar. Apa artinya akar xo dari pers. F(x) = 0 ? grafik F(x) memotong sumbu x pada x = xo Jadi akar pendekatan: 1. Merupakan suatu bilangan x’ shg. | x’- xo | berharga kecil 2. Suatu bilangan x’ shg. |F(x’)| memp. harga kecil.

Pada umumnya diperlukan : 1. | x’- xo | hrs. kecil dimana F(x)=0 dan

Pada umumnya diperlukan : 1. | x’- xo | hrs. kecil dimana F(x)=0 dan juga 2. F(x’) hrs. kecil. , krn. F(x) y=F(x) F(x’) x’ xo x x’ 2 x xo

Algoritma yang akan dikembangkan biasanya ditujukan untuk satu kriteria: harus memiliki algoritma yg memenuhi

Algoritma yang akan dikembangkan biasanya ditujukan untuk satu kriteria: harus memiliki algoritma yg memenuhi kriteria sesuai dgn tujuan masalah. Penyelesaian akar persamaan F(x) = 0 secara metode numerik: a. tertutup: -Bisection - Regulasi falsi b. terbuka: - iterasi - Newton Raphson - Secant

Metode Bisection (Bagi dua Interval) fungsi y = f(x) akan memotong sumbu x didalam

Metode Bisection (Bagi dua Interval) fungsi y = f(x) akan memotong sumbu x didalam interval a<x<b, jika f(a) dan f(b) berlawanan tanda. Atau f(x)=0 akan memp. Akar dlm interval a<x<b jika f(a) dan f(b) berlawanan tanda. membutuhkan 2 titik awal (disebut x. L dan x. R), dgn syarat f(x. L) dan f(x. R) berlawanan tanda. membutuhkan kondisi berhenti, umumnya saat |f(x)| , ( =errror yang ditentukan) pasti konvergen (meskipun lambat).

Algoritma: 1. Mencari titik tengah interval [x. L, x. R], sebut x. T 2.

Algoritma: 1. Mencari titik tengah interval [x. L, x. R], sebut x. T 2. Bila f(x. T) sama tanda dengan f(x. L) maka x. T menggantikan x. L. Sebaliknya x. T menggantikan x. R. 3. Periksa nilai f(x. T). Bila |f(x)| , perulangan(iterasi) berhenti, akar pendekatan = x. T, bila tidak kembali ke no. 1. f(x) y=f(x) x. L 1 3 2 x. R x

Contoh: Carilah akar dari x 2 – 6 x + 8 = 0, dengan

Contoh: Carilah akar dari x 2 – 6 x + 8 = 0, dengan metode Bisection. Iterasi dihentikan jika |f(x)| , ( =0, 01 dan ketelitian 4 desimal).

Metode Regulasi Falsi (Posisi Salah) • Mirip metode Bisection, relatif lebih cepat • Membutuhkan

Metode Regulasi Falsi (Posisi Salah) • Mirip metode Bisection, relatif lebih cepat • Membutuhkan 2 titik awal (x. L dan x. R) dengan syarat f(x. L) dan f(x. R) berlawanan tanda. • Membutuhkan kondisi berhenti |f(x)| ( diberikan), dan pasti konvergen. |

Algoritma: 1. Tetapkan interval (x. L, x. R) sedemikian sehingga f(x) dan f(x. R)

Algoritma: 1. Tetapkan interval (x. L, x. R) sedemikian sehingga f(x) dan f(x. R) berbeda tanda. 2. Cari perpotongan garis yang menghubungkan (x. L, f(x. L)) dan (x. R, f(x. R)) dengan sumbu x sebutlah untuk perpotongan itu x. T. Formula mencari x. T adalah: x. T = x. R – (f(x. R). (x. L-x. R ))/(f(x. L)- f(x. R)). Bila f(x. T) sama tandanya dengan f(x. L), maka x. T menggantikan x. L. Bila f(x. T) sama tandanya dengan f(x. R), maka x. T menggantikan x. R.

3. Periksa nilai f(x. T). Bila |f(x. T)| pengulangan dihentikan, akar pendekatan =x. T.

3. Periksa nilai f(x. T). Bila |f(x. T)| pengulangan dihentikan, akar pendekatan =x. T. Bila tidak demikian kembali ke langkah nomor 1. Catatan: Dalam perhitungan, x. T akan menggantikan x. L terus-menerus, atau x. T akan menggantikan x. R terus menerusn x. L 1 x. R 2

 • Contoh Soal: Carilah akar dari x 2 – 6 x + 8

• Contoh Soal: Carilah akar dari x 2 – 6 x + 8 = 0, dengan metode Resulasi Falsi. Iterasi dihentikan jika |f(x)| , ( =0, 01 dan ketelitian 4 desimal).