Melukis bulatan Bulatan TAKRIF Set titiktitik yang berada

Melukis bulatan

Bulatan • TAKRIF : Set titik-titik yang berada pada jarak r daripada pusat bulatan (xc, yc). • • Persamaan bulatan berasaskan rumus jarak (Teorem Pythagoras): • (x - xc )2 + (y - yc ) 2 = r 2

Bulatan • Bagi menjana bulatan, bermula daripada (xc- r, yc) hingga (xc + r, yc), rumus berikut digunakan y = yc ± r - (x - xc )2 Result: - Apakah masalah yang wujud pada bulatan di atas?

Bulatan • Contoh di atas menggunakan konsep simetri 2 hala • Bulatan mempunyai lebih banyak sifat simetri • Simetri 4 -hala simetri 8 hala (-a, b) (-a, -b) (a, -b)

Bulatan • Apa kebaikan konsep simetri ? • konsep simetri digunakan bagi mengurangkan pengiraan • Bagaimana ? • Daripada setiap titik yang diperolehi (oktan pertama), kita boleh memplot 7 titik yang lain

Algoritma titik tengah (Mid Point) yk yk -1 Sempadan bulatan xk • • Pertimbangkan bulatan berjejari r dan berpusat di asalan. Bahagian oktan pertama ( x = 0 hingga x = y). Bagaimanakah kecerunan garis tangen pada sempadan ?

Algoritma titik tengah (Mid Point) yk yk -1 Sempadan bulatan xk • kecerunan garis tangen pada setiap titik di sempadan berubah dari 0 hingga – 1 • Oleh kerana |m|<1, persampelan dilakukan pada setiap unit x dan nilai y yang sepadan ditentukan.

Algoritma titik tengah (Mid Point) yk yk -1 Sempadan bulatan xk xk xk +1 xk +2 TITIK TENGAH • Katakan piksel semasa (xk, yk), piksel seterusnya ialah samada (xk+ 1, yk) ataupun (xk+ 1, yk + 1). Titik tengah di antara 2 piksel yang menjadi ‘calon’ untuk diplot seterusnya akan diuji samada ia berada di dalam atau di luar sempadan bulatan.

Algoritma titik tengah (Mid Point) - Fungsi yang digunakan : - f(x, y) = x 2 + y 2 - r 2 -----------persamaan 14 - Gantikan sebarang titik (x, y) ke dalam fungsi di atas - f(x, y) < 0; (x, y) di dalam sempadan bulatan - f(x, y) = 0; (x, y) di atas sempadan bulatan - f(x, y) > 0; (x, y) di luar sempadan bulatan

Algoritma titik tengah (Mid Point) • Katakan titik tengah tersebut ialah (xk+ 1, yk - ½). Masukkan ke dalam persamaan 1 • Pemalar decision Pk digunakan untuk menguji titik tengah di antara 2 titik yang terlibat. • Pk = f(xk+ 1 yk - ½). • = (xk+ 1) 2 + ( yk - ½)2 - r 2 • Pk = +ve - plot titik (xk+ 1, yk– 1) = -ve - plot titik (xk+ 1, yk) yk -1 xk TITIK TENGAH xk +1 xk +2

Algoritma titik tengah (Mid Point) • Parameter decision awal P 0 = 5/4 –r • Parameter decision seterusnya dikira spt berikut < 0 (negatif ) : Pk+1 = Pk + 2 xk+1 +1 Pk > 0 (positif) : Pk+1 = Pk + 2 xk+1 +1 - 2 yk+1

jejari, r dan pusat bulatan (xc, yc) Titik awal (0, r) P 0 = 5/4 –r T Pk < 0 Y Titik seterusnya ialah (xk+1, yk– 1) Pk+1 = Pk + 2 xk+1 +1 - 2 yk+1 Titik seterusnya ialah (xk+ 1, yk) Pk+1 = Pk + 2 xk+1 +1 Dapatkan titik-titik pada 7 oktan yang lain menggunakan konsep simetri jika ingin melukis bulatan yang lenkap Plotkan titik sebenar (x + xc , y + yc ) x y

• Algoritma mid point adalah dibuat utk bulatan yang berpusat diasalan (0, 0). Utk sebarang pusat bulatan, titik yang diperolehi perlulah ditambah dgn nilai pusat bulatan yang sebenar (x, y) nilai kiraan ------------------- (x + xc , y + yc ) nilai sebenar

contoh • Diberi jejari bulatan, r = 10 dan pusat bulatan ialah (7, 8). Dapatkan titik-titik pada oktan pertama dengan menggunakan algoritma bulatan titik tengah.

Pk+1 = Pk + 2 xk+1 +1 = -9 + 2(1) + 1 = -1 + 2(3) + 1 = -6 Pk+1 = Pk + 2 xk+1 +1 =6 = -6 + 2(2) + 1 = -1 Pk+1 = Pk + 2 xk+1 +1 - 2 yk+1 = 6 + 2(4) + 1 - 2(9) jawapan = -3 • Anggap pusat di asalan , titik awal = (0, r) = (0, 10) Pk xk+1 yk+1 -9 1 10 -6 -1 6 2 3 4 10 10 9 -3 5 9 8 5 6 7 8 7 Titik sebenar xk+1 + xc , yk+1 + yc 8 , 9 , 10 , 18 18 18 11 , 12 , 13 , 17 17 16 14 , 15 (7 , 18)