Medidas e Incertezas Experimentais George C Cardoso Mea

Medidas e Incertezas Experimentais George C. Cardoso

“Meça o que mensurável e faça mensurável o que não é” Galileu Essa filosofia forma a base da ciência e tecnologia moderna. Esta filosofia permitiu o surgimento do método científico e o desenvolvimento da engenharia e produção em massa. O método científico visa minimizar a subjetividade, quantificando tanto o que é observado quanto a incerteza do observável.

Vamos medir (contar) o numero de laranjas • Quantas laranjas tem aí? • Incerteza? • Conte de novo algumas vezes? • Peça para outra pessoa contar.

Quantas bactérias tem nessa imagem? • Conte numa certa região. • Conte novamente. • Peça para outra pessoa contar. • Muda de medida para medida? • Qual a variação?

Medir é medir o valor médio. Melhor que isso, só se a quantidade medida puder ser contada. Usar técnicas de medida diferentes e comparar resultados para evitar inconsistências

Medindo o diâmetro de uma moeda: Lifehacker On. Fire. Guy Resolução ~ 1 mm Baixa precisão ~ 0, 5 cm Resolução ~ 0, 5 mm Média precisão ~ 0, 1 mm Banggood Resolução ~ 0, 01 mm Alta precisão ~ 0, 01 mm

Vamos “medir” a largura desta sala • O que é medir? Calcular o valor médio de estimativas • Vamos estimar o valor médio que vocês acham que esta parede tem (em metros ou metros e fração de metros). • Cada um – independentemente --estima a largura da melhor forma possível. • Anote o valor sem discutir com os colegas para nao enviesar a sua estimativa.

Não basta saber o valor médio estimado; precisamos saber qual a confiança, ou a margem de incerteza que temos no valor obtido Valor Médio:

Medida da largura da sala (olhômetro) https: //support. office. com/en-us/article/Create-a-histogram-b 6814 e 9 e-5860 -4113 -ba 51 -e 3 a 1 b 9 ee 1 bbe Resultados escritos em termos Do valor médio e desvio padrão: (9, 0 ± 1, 4) metros, n = 32 Primeiro escrevemos O desvio padrão com 1 algarismo ou 2 algarismos Significativos no caso do primeiro Dígito ser 1. Valor Médio: = 8, 9759 m Desvio padrão da amostra: = 1, 3940 m Depois, olhando para os algarismos significativos E para a posição da vírgula, se houver, escrevemos O valor da média arredondado até o algarismo correspondente Ao menor algarismo significativo do desvio padrão. Neste exemplo, O menor algarismo significativo do desvio padrão é 4 e fica logo Depois da vírgula. Assim, paramos o arredondamento da média Logo depois da vírgula. Resultado medido com a trena: 8, 9 metros

Desvio Padrão amostral: s • Variância (s 2) é a “potência média” da variação de medida para medida em torno da média. • Desvio padrão (s) tem as mesmas da quantidade medida. Exemplo: se a medida for em metros, o desvio padrão estará em metros.

Variância: potência do ruído v R V(t) + v = 0 (silencio) Vout (t) = 0 (silencio) P(t) = V 2/R Microfone Considerando, R = 1 Ohm, temos: Para v não-nulo: Onde: A variância é uma característica do ruído na medição, medindo melhor ou mais vezes conheceremos melhor o valor da variância O desvio padrão é definido como s (e tem dimensões – metros, segundos etc -- da quantidade sendo medida)

Para duas quantidades com ruído, somadas, a variância se soma: Microfone 1 Microfone 2 Assim, a variância da soma é a soma das variâncias:

2 s Variância de uma medida: “potencia média” da flutuação ou ruído da medida A variância é uma característica combinada do processo, condições de medida e habilidade dos experimentadores. Medir mais vezes sem fazer nenhuma mudança não vai diminuir a variância/ruído, Mas vai permitir uma melhor caracterização da variância (obter a variância com mais algarismos significativos) A variância tem unidade do quadrado das unidades medidas. Exemplo: se a quantidade medida foi mm, a variância será em mm 2 s (a raiz quadrada da variância) é chamado de desvio padrão e tem as mesmas unidades utilizadas na medida.

Medida da largura da sala (olhômetro) https: //support. office. com/en-us/article/Create-a-histogram-b 6814 e 9 e-5860 -4113 -ba 51 -e 3 a 1 b 9 ee 1 bbe Resultados escritos em termos Do valor médio e desvio padrão: (9, 0 ± 1, 4) metros, n = 32 Primeiro escrevemos O desvio padrão com 1 algarismo ou 2 algarismos Significativos no caso do primeiro Dígito ser 1. Valor Médio: = 8, 9759 m Desvio padrão da amostra: = 1, 3940 m Depois, olhando para os algarismos significativos E para a posição da vírgula, se houver, escrevemos O valor da média arredondado até o algarismo correspondente Ao menor algarismo significativo do desvio padrão. Neste exemplo, O menor algarismo significativo do desvio padrão é 4 e fica logo Depois da vírgula. Assim, paramos o arredondamento da média Logo depois da vírgula. Resultado medido com a trena: 8, 9 metros

Desvio padrão da média (erro padrão) Suponha que você tem n baterias (ou medidas) do mesmo tipo, todas com ruído do mesmo tipo. Qual o desvio padrão do valor médio destas baterias (ou medidas)? Desvio padrão da média

Desvio padrão da média (erro padrão) Significado: Se repetirmos o experimento de N medidas, qual a flutuação no valor médio obtido. Exemplo: Se perguntarmos para outras classes similares e com o mesmo numero de alunos estimando a largura da parede, qual seria o desvio padrão dos valores médios encontrados? Ou seja, como flutua esse valor médio quando repetimos o experimento? x = (9, 0 ± 0, 2) metros, I. C. 68% I. C. significa “intervalo de confiança”

res obtidos nos lançamentos do dadinho Por que tão poucos algarismos significativos? 6 1 Valor médio* 3, 5 • A incerteza tem sua própria incerteza. Não é possível conhecer a variância precisamente com poucas medidas. • Só podemos usar consistentemente dois algarismos significativos na variância a partir de milhares de pontos experimentais. 2, 0 Desvio padrão* Desvio padrão 1, 0 Desvio padrão Da média* 1 10 10000 Jogadas sucessivas do dado * Calculado até a n-esima jogada

Convergência do valor médio e do desvio padrão para muitas medidas de uma variável aleatória (dado de seis faces, neste caso) Variação da variância ainda é da ordem de 10% até muitas centenas de pontos experimentais (medidas)

Caso especial de arredondamento (incerteza começando com 1, e N<1000) No caso da incerteza começar com 1 manter 2 alg. Sig. Se a incerteza começar com 2, 3, . . . , 9, basta 1 alg. sig. Valor Médio: 23, 456 Incerteza : 0, 145 0, 15 Como escrever: (23, 46 ± 0, 15) unidades Se a incerteza começar com algarismo diferente de 1, usar somente 1 alg significativo. Exemplo: (14, 29 ± 0, 33) fica escrito como: (14, 3 ± 0, 3)

Quando usamos o desvio padrão, precisamos confirmar se o histograma dos dados obedece a distribuição Gaussiana; Quando usamos o desvio padrão da média, a Gaussiana é sempre válida (para n>~15 pontos). Na Gaussiana: Aproximadamente 68% dos valores medidos estão entre o valor médio e ± σ Na Gaussiana: Aproximadamente 95% dos valores medidos estão entre o valor médio e ± 2σ 68, 2 % Voltando a medida da largura da sala: <x> = (9, 0 ± 1, 4) metros, n = 32, incerteza estimada pelo desvio padrão Interpretação: Se o histograma for gaussiano, 68% dos resultados ficam entre 7, 6 e 10, 4 metros <x> = (9, 0 ± 0, 2) metros, I. C. 68% incerteza estimada pelo erro padrão <x> = (9, 0 ± 0, 4) metros, I. C. 95% Interpretação: Em 68% dos experimentos com n =32, Em classes com alunos similares, o valor médio da largura da sala ficará entre 8, 8 e 9, 2 metros. 95, 4 % Em 95% dos experimentos, entre 8, 6 e 9, 4 metros.

Erro padrão (desvio padrão da média) Desvio padrão da média (incerteza da média) 68, 2 % Se distribuição for Gaussiana: 68% dos experimentos com mesmo N terão média encontrada no intervalo: (<x> ± ). 95, 4 % 95% dos experimentos com mesmo N terão média encontrada no intervalo: (<x> ± 2 ) NOTE: Se o número de medições N ∞ você encontra a média Verdadeira para o tipo de medida feita.

Calculando o perímetro da sala: Seja <x> = (9, 0 ± 0, 4) m, I. C. 95% Seja <y> = (10, 0 ± 0, 3) m, I. C. 95% P = 2(x + y) Somar as médias de forma convencional e os desvios padrão conforme: Assim: P = 2*(19, 0 ± 0, 5) m, I. C. 95% P = (38, 0 ± 1, 0) m, I. C. 95%

Calculando a área da sala: Seja <x> = (9, 0 ± 0, 4) m, I. C. 95% Seja <y> = (10, 0 ± 0, 3) m, I. C. 95% A = x*y Calcula-se a área média de forma convencional <A> = 9*10 = 90 m 2 As incertezas são calculadas de acordo com σA 2= δA(x + δx, y)2 + δA(x, y + δy) 2 σA 2= (A(x + δx, y) - <A>)2 + (A(x, y + δ y) - <A>)2 = (9, 4*10 – 90)2 + (9, 0*10, 3 – 90)2 = 42 + 2, 72 = 23, 29 σA = 4, 82 <A> = (90, 0 ± 4, 82) <A> = (90 ± 5) m 2, I. C. 95%

Como diminuir a incerteza no valor médio? <A> = (90 ± 5) m 2, I. C. 95% Como fazer com que a incerteza fique abaixo de 1 m 2 • Melhorar a técnica de medida sem mudar o numero de leituras (exemplo: usar uma boa trena, trena laser, etc) • Ou Medir mais vezes para melhorar a média. • Se com n = 32 obtivemos a incerteza de 5 m 2, quantas medidas precisamos fazer para ter igual a 1 m 2 ?

• Nota: Se quisermos diminuir a incerteza no valor médio (desvio padrão da média, também conhecido como erro padrão) em 10 vezes, temos que fazer 100 vezes mais medições. O desvio padrão, por outro lado, é uma caractecterística do ruído e é simplesmente ligado a variância, ou seja, a quanto variam as medidas. Medir mais vezes simplesmente permite melhor conhecer quanto vale essa variação.

Representação do Resultado e Algarismos Significativos: olhar primeiro para a incerteza da medida. Exemplo 1: Incerteza : 0, 345 Para < 1000 medidas so teremos um algarismo significativo (máximo 2) Valor Médio: 23, 456 Incerteza : 0, 3 Valor Médio: 23, 5 (note que os números estão arredondados para o numero correto de alg. Sig. ) Como escrever: (23, 5 ± 0, 3) o. C Exemplo 2: Incerteza : 15, 345 Para < 1000 medidas so teremos um algarismo significativo (máximo 2) Valor Médio: 141, 235 Incerteza : 15 (aqui guardamos 2 algarismos significativos porque se arredondássemos para baixo seria uma mudança de 50%, que é maior que a incerteza da incerteza) Valor Médio: 141 (note que os números estão arredondados para o numero correto de alg. Sig. ) Como escrever: (141 ± 15) o. C

A interpretação do desvio padrão depende da distribuição das medidas. A interpretação do desvio padrão da média (erro padrão) não sofre desse problema e sempre tenda a uma distribuição normal (teorema central do limite) Teorema Central do Limite: Ilustração Exemplo: Medidas no olhômetro da largura da Sala Ver: Jogando. Dados-como se acumula a media v 2

Voltando ao problema da medida da largura da sala de aula • Obtivemos (9, 0 ± 1, 4) metros, n = 32 • O que é a média verdadeira? A média verdadeira seria a média que encontraríamos se medíssemos um número infinito de vezes, ou seja n infinito. Isso não conseguimos fazer na prática. • Sabemos que o desvio padrão é uma característica do processo de medida. Ele vai se manter da mesma ordem de grandeza do que já temos, ou seja, da ordem de 1 metro, mesmo com n muito grande. • Repetições para produzir estatística das medidas nao conseguem avaliar se a técnica de medida é adequada ou correta. Para isso precisamos usar diferentes técnicas de medida e comparar os resultados.

Comparando resultados: A utilidade das incertezas X = (100 ± 4 ) m 2 95% I. C. Y = (106 ± 3 ) m 2 95% I. C. Será que X e Y concordam um com o outro? X – Y = (6 ± 5 ) 95% I. C. Assim no I. C. de 95% X e Y não concordam um com o outro. Por outro lado, com 99% de I. C. eles vão concordar. Com 100% de I. C. nunca podemos dizer que dois resultados discordam entre si. Outro Exemplo: X = (100 ± 0, 4 ) m 2 95% I. C. Y = (106 ± 0, 3 ) m 2 95% I. C. Será que X e Y concordam um com o outro? X – Y = (6, 0 ± 0, 5 ) 95% I. C. Com 95% I. C. , NAO. Mas aqui, mesmo com 4σ, X – Y = (6 ± 1 ) 99, 99% I. C. X e Y ainda são distintos. E ainda seriam distintos com 7 sigma, fora do intervalo Uma vez a cada 390 bilhões de medições. Com 100% de I. C. nunca podemos dizer que dois resultados concordam ou discordam entre si. Na prática, utiliza-se 95% I. C. para determinar concordância ou discordância entre duas medições. Em física, para aceitar que uma lei da Natureza é verdadeira utiliza-se pelo menos 5σ (99, 999942% I. C. )

Incertezas se somam mesmo nas diferenças de valores

Leitura suplementar

Incerteza aleatório vs. sistemático • Aleatório (incerteza): tende a variar a cada medida, tanto para mais quanto para menos. Na maioria dos casos forma uma distribuição Gaussiana em torno da média. O erro aleatório está sempre presente nas medidas. O erro aleatório pode ser minimizado fazendo-se muitas médias, melhorando método experimental para minimizar variância e/ou medindo-se a variável em função de outra e fazendo ajuste de curva. • Sistemático: erros de calibração e de método. Difícil de detectar. Somas destes erros são somas lineares. ANALISE ESTATISTICA não detecta este erro. Esse erro pode ser detectada utilizando-se métodos alternativos e comparando resultados. • Assume-se que não existem enganos nem erros crassos. Supõe-se que o experimentalista é cuidadoso (da mesma forma que se assume que os cálculos num artigo ou relatório cientifico estão corretos, o que nem sempre é verdade. )

Erro aleatório: Precisão vs. Exatidão Fonte: wikipedia (http: //en. wikipedia. org/wiki/Accuracy_and_precision)

Discuta com seu colega a precisão e exatidao de cada figura

Incertezas em vários instrumentos de medida Incerteza de leitura: ½ da menor divisão Qual a incerteza nesse multimetro? Cuidado com Paralaxe: em instrumentos de ponteiros e Reguas. Instrumentos digitais: Ver manual do fabricante. Metade do digito que contém incerteza ou metade Do ultimo digito caso nenhum digito apresentado tenha incerteza.

Incertezas devido a erros Aleatórios e sistemáticos Erros aleatórios, somente True value Erros aleatórios + sistemático • Um resultado é exato se o erro sistemático for pequeno • Um resultado é preciso se o erros aleatório for pequeno.