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Mediciones Eléctricas I Ciclo Lectivo 2014 www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

UNIDAD TEMÁTICA I TEORIA DE ERRORES www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

TEORIA DE ERRORES Clasificación de los errores Groseros Sistemáticos Accidentales • Transposición de cifras: 21. 5 25. 1 • Leer en escalas incorrectas • Utilizar fórmula inapropiada • No efectuar el ajuste del cero mecánico o infinito previo a la medición Método empleado Instrumento Tendencia del Operador Paralaje Poder separador del ojo Apreciación Condiciones ambientales www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

CONTRASTE Y VERIFICACIÓN DE INSTRUMENTOS www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

ELEMENTOS PATRONES www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Elementos Patrones de Tensión - + E=1. 0183 V www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Patrones de Resistencia Manganina: 84% Cu – 12% Mn – 4% Ni Constantan: Ni - Mn www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Patrones de Resistencia www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Patrones de Resistencia R L C R L Bobinado Bifilar C R C Arrollamiento Rowland www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Sistemas de unidades y patrones de medidas www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Unidades de Base SI CANTIDAD SIMBOLO Longitud Corriente Temperatura Masa Tiempo l I, i T m t UNIDAD ABREV. metro ampere kelvin kilogramo segundo m A K kg s www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Unidades derivadas SI Tensión V, v, E, e Carga Q, q Resistencia R Potencia P, p Capacitancia C Inductancia L Frecuencia f Flujo Magnético Densidad Flujo Mag. B volt coulomb ohm watt farad henry hertz weber tesla V C W F H Hz Wb T www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Potencia de 10, Científica y Notación Ingenieril § § § Potencia de 10; ej. 83. 5 x 105 Hz. Si la cantidad tiene un número de decimales que se desea respetar se utiliza la notación científica; ej. 8. 35 x 106 Hz. Prefijos se utilizan para notación ingenieril; ej. 8. 35 MHz. www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Prefijos para Notación Ingenieril Potencia de 10 PREFIJO SÍMBOLO tera 1012 T 109 giga G 106 mega M 103 kilo k 10 -3 mili m 10 -6 micro 10 -9 nano n 10 -12 pico p www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Cómo se determina la clase de un instrumento? www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Contraste: Ensayo para establecer la clase de un instrumento R U Ac Ap § Temperatura ambiente constante, llamada de calibración (20 a 25ºC) § Reducción de campos magnéticos externos § Posición normal de trabajo § c. a. : Sinusoidal, 50 Hz § Permanencia de las lecturas § Constancia del cero www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Contraste -15 • Escala lineal, alcance coincide 1 A 100 V con el valor máximo • Escala Ampliada, es el valor máximo 240 V • Cero al Centro: se suman los +35 0 valores positivos y negativos • Frecuencímetro, valor máximo m. V 50 m. V 53 Hz Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Contraste de Instrumentos Vc [V] R 1 u Vp R 2 Datos: Datos Vc IPBM Alcance 150 V C=? Mediciones Eléctricas I VC Vp [V] Eabs [V] Cr [V] 10 9, 98 0, 02 -0, 02 20 20, 05 -0, 05 30 31, 02 -1, 02 40 39, 50 0, 50 -0, 50 50 51, 80 -1, 80 60 59, 00 1, 00 -1, 00 70 69, 70 0, 30 -0, 30 80 81, 10 -1, 10 90 89, 50 0, 50 -0, 50 100 99, 60 0, 40 -0, 40 110, 95 -0, 95 120 119, 95 0, 05 -0, 05 130 129, 20 0, 80 -0, 80 140, 80 -0, 80 150 148, 75 1, 25 -1, 25 www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Quebrada de Calibración 2, 00 Cr [V] 10 -0, 02 20 0, 05 30 1, 02 40 -0, 50 50 1, 80 60 -1, 00 70 -0, 30 80 1, 10 90 -0, 50 100 -0, 40 110 0, 95 120 -0, 05 130 -0, 80 140 0, 80 150 -1, 25 Mediciones Eléctricas I 1, 50 1, 00 Corrección Vc [V] 0, 50 145 0, 00 -0. 25 10 20 30 40 50 60 70 80 V 90 100 110 120 130 140 150 -0, 50 -1, 00 -1, 50 Valor Medido Lectura corregida: www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Contraste de Instrumentos: confiabilidad de la medición e% 10 9 8 IPBM Voltímetro Alcance 100 V C=1 7 6 5 4 3 2 C=1 1 Muy poco confiable 0 10 20 Mediciones Eléctricas I 30 confiable Medianamente confiable 40 50 60 70 80 90 100 % Alcance www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Contraste y clase de instrumentos • Campo Nominal de Referencia • Campo de Utilización 15. . . 45. . . 65. . . 70 Hz www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Campo Nominal de Referencia-Utilización 2 c c f 15 45 65 70 Hz -c -2 c Referencia Utilización 15 45 65 15. . . 45. . . 65. . . 70 Mediciones Eléctricas I 70 Hz www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Campo Nominal de Referencia-Utilización 1 Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Contraste y Verificación de Instrumentos l Contraste: establecer la clase de un instrumento l Verificación: verificar que el límite de error está dentro del margen fijado por la clase Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Verificación de Instrumentos R 1 U Vp V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 R 2 Vp [V] V 1[V] 10 9. 5 20 20. 75 30 29. 5 40 40. 5 50 49. 6 60 60. 3 70 70. 2 80 79. 66 90 90. 2 100 99. 65 Mediciones Eléctricas I Emax 1 V 2[V] Emax 2 10. 3 19. 8 30. 9 40. 2 49. 9 60. 8 69. 2 80. 3 90. 4 100. 1 V 3[V] Emax 3 10. 1 20. 2 39. 8 50. 2 60. 3 70. 45 79. 8 89. 75 99. 6 V 4[V] Emax 4 9. 85 19. 3 30. 4 41. 6 49. 1 58. 3 68. 5 81. 2 90. 5 99. 1 V 5[V] Emax 5 9. 2 19. 7 30. 6 40. 1 49. 5 60. 2 69. 3 79. 7 90. 6 100. 2 www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Verificación de Instrumentos R 1 U Vp V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 R 2 Vp [V] V 1[V] 10 9. 5 20 20. 75 30 29. 5 40 40. 5 50 49. 6 60 60. 3 70 70. 2 80 79. 66 90 90. 2 100 99. 65 Mediciones Eléctricas I Emax 1 V 2[V] Emax 2 V 3[V] Emax 3 V 4[V] Emax 4 V 5[V] Emax 5 0. 5 10. 3 -0. 3 10. 1 -0. 1 9. 85 0. 15 9. 2 0. 8 -0. 75 19. 8 0. 2 20. 2 -0. 2 19. 3 0. 7 19. 7 0. 3 0. 5 30. 9 -0. 9 30. 2 -0. 2 30. 4 -0. 4 30. 6 -0. 5 40. 2 -0. 2 39. 8 0. 2 41. 6 -1. 6 40. 1 -0. 1 0. 4 49. 9 0. 1 50. 2 -0. 2 49. 1 0. 9 49. 5 0. 5 -0. 3 60. 8 -0. 8 60. 3 -0. 3 58. 3 1. 7 60. 2 -0. 2 69. 2 0. 8 70. 45 -0. 45 68. 5 1. 5 69. 3 0. 7 0. 34 80. 3 -0. 3 79. 8 0. 2 81. 2 -1. 2 79. 7 0. 3 -0. 2 90. 4 -0. 4 89. 75 0. 25 90. 5 -0. 5 90. 6 -0. 6 0. 35 100. 1 -0. 1 99. 6 0. 4 99. 1 0. 9 100. 2 -0. 2 www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Verificación de Instrumentos R 1 U Vp V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 R 2 Vp [V] V 1[V] 10 9. 5 20 20. 75 30 29. 5 40 40. 5 50 49. 6 60 60. 3 70 70. 2 80 79. 66 90 90. 2 100 99. 65 Emax 1 V 2[V] Emax 2 V 3[V] Emax 3 V 4[V] Emax 4 V 5[V] Emax 5 0. 5 10. 3 -0. 3 10. 1 -0. 1 9. 85 0. 15 9. 2 0. 8 -0. 75 19. 8 0. 2 20. 2 -0. 2 19. 3 0. 7 19. 7 0. 3 0. 5 30. 9 -0. 9 30. 2 -0. 2 30. 4 -0. 4 30. 6 -0. 5 40. 2 -0. 2 39. 8 0. 2 41. 6 -1. 6 40. 1 -0. 1 0. 4 49. 9 0. 1 50. 2 -0. 2 49. 1 0. 9 49. 5 0. 5 -0. 3 60. 8 -0. 8 60. 3 -0. 3 58. 3 1. 7 60. 2 -0. 2 69. 2 0. 8 70. 45 -0. 45 68. 5 1. 5 69. 3 0. 7 0. 34 80. 3 -0. 3 79. 8 0. 2 81. 2 -1. 2 79. 7 0. 3 -0. 2 90. 4 -0. 4 89. 75 0. 25 90. 5 -0. 5 90. 6 -0. 6 0. 35 100. 1 -0. 1 99. 6 0. 4 99. 1 0. 9 100. 2 -0. 2 0. 75 0. 9 0. 45 1. 7 0. 8 =MAX([Emax 1]), ABS(MIN([Emax 1]))) =MAX(1. 7, 1. 6) Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Teoría de Errores PROPAGACIÓN DE ERRORES LÍMITES www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Propagación de errores límites E I A Medida Directa c Cota de Error Amperímetro – Alcance 10 A - c=0. 5 – Imedida=7. 5 A Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Propagación de errores límites Medida Indirecta Medida Directa E E I A I R V A Determinación de P=U. I Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Propagación de errores límites Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Conclusiones Cuando las funciones son sumas o restas, se suman los errores absolutos: Cuando las funciones son productos o cocientes se suman los errores relativos: Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Problema 1 Sobre una resistencia R = 200 1% , se miden separadamente corriente y tensión. La tensión medida con un voltímetro de clase 0. 5 coincidió con el alcance de 100 V. El amperímetro de clase 1 midió 0, 5 A en el alcance de 1 A. Analice y determine la mejor ecuación para calcular el error relativo porcentual cometido en el cálculo de la potencia disipada sobre R causada por los errores de clase de los instrumentos. A los fines prácticos considerar “ideales” los instrumentos ( ). Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Problema 1 Mejor Solución Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Problema 2 Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Problema 2 Pérdidas en el Transformador e%=34% Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Rendimiento del Transformador Mediciones Eléctricas I Problema 2 www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

TEORIA DE ERRORES ACOTACION DEL NUMERO DE CIFRAS El error absoluto se da siempre con una sola cifra significativa: 454 tiene 3 cifras significativas 58, 0 tiene 3 cifras significativas 0, 322 tiene 3 cifras significativas 1, 0080 tiene 5 cifras significativas 1, 118 · 107 tiene 4 cifras significativas X = 14, 6782 0, 046 [ ] INCORRECTO X = 14, 678 0, 046 [ ] X = 14, 68 0, 05 [ ] www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

ACOTACION DEL NUMERO DE CIFRAS 1) El error absoluto se da siempre con una sola cifra significativa, previo redondeo: E=0. 2678 A E=0. 3 A 2) Los resultados se expresan con las cifras significativas del mismo orden: Im=35. 487 A E =0. 2105 A I =35. 5 + 0. 2 A 3) Uso de múltipos y submúltiplos para acotación del error: P=(21627+127)W P=(21, 627+0. 127) W P= 21. 7 +0. 1 Kw 4) El cero debe ser tratado como cualquier otra cifra significativa: I =72. 2041+0. 0278 A I =72. 20+0. 03 A www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

TEORÍA DE ERRORES ESTADÍSTICOS

Teoría de Errores Estadísticos Teoría de Gauss Teoría de Student Cuando disponemos de un número considerable de muestras Cuando por razones económicas la muestra está acotada en número www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

TEORIA DE ERRORES CASO I Medición de Capacitores Mediciones Eléctricas I CASO II Medición de Corriente de Corte www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Estudio Estadístico del Error Estudio de los errores accidentales, que por sus características solo pueden ser estudiados desde el punto de vista estadístico. Las conclusiones a que se arriben han de tener en cuenta resultados con cierto grado de confiabilidad, donde nunca es posible alcanzar la certeza absoluta. www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Estudio Estadístico del Error En el estudio estadístico de errores existen dos casos bien diferenciados: El primero basado en los postulados de Gauss, nos conduce a la determinación, desde un punto de vista teórico del valor verdadero y parámetros relacionados analíticamente, con la función normal de error y del concepto de probabilidad matemática El segundo, (caso real), basado en un número reducido de determinaciones “n” (muestra estadística), función de distribución “t”(Gosset- “student”) Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Estudio Estadístico del Error Población=10. 000 resistencias = > < Muestra 50 resistencias www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Estudio Estadístico del Error Valor Resistencia en W Número de Lecturas Frecuencia Relativa 99, 7 1 0, 02 99, 8 3 0, 06 99, 9 12 0, 24 100, 0 18 0, 36 100, 1 11 0, 22 100, 2 4 0, 08 100, 3 1 0, 02 50 1 www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Estudio Estadístico del Error Número de Lecturas Frecuencia Relativa 1 0, 02 3 0, 06 12 0, 24 18 0, 36 11 0, 22 4 0, 08 1 0, 02 l Mayor ocurrencia de sucesos en cercanías del valor nominal l Distribución semejante a ambos lados de este valor central Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Uso de Funciones en Excel: FRECUENCIA CTRL+SHIFT+INTRO Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Postulados de Gauss l El valor verdadero de un número muy grande de mediciones efectuadas en iguales condiciones, está dado por la media aritmética de las mismas. l Es igualmente probable cometer errores de igual valor absoluto, pero de distinto signo. l Es tanto más probable cometer errores pequeños que grandes. www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Distribución normal o gaussiana • Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ y la desviación típica, σ. • Su función de distribución es: La curva normal adopta un número infinito de formas, determinadas por sus parámetros μ y σ. Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

TEORIA DE GAUSS Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

TEORIA DE GAUSS 20 30 40 50 60 70 80 Curvas normales con distintas desviaciones estándar www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Características de la distribución Normal • Tiene forma de campana, es asintótica al eje de las abscisas (para x = ) • Simétrica con respecto a la media ( ) donde coinciden la mediana (Mn) y la moda (Mo ) • Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores Mediciones Eléctricas I - , Mo, Mn + + www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

TEORIA DE GAUSS: curva universal Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

La nueva variable t se distribuye como una NORMAL con media = 0 y desviación típica = 1 Una regla empírica indica que en cualquier distribución normal las probabilidades delimitadas entre : 1 68 % 2 95 % 3 99 % 95% 68% 99% 68% 95% -3 -2 Mediciones Eléctricas I -1 99% 0 t 1 2 3 www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Índices de dispersión DESVIACIÓN NORMAL 68% Mediciones Eléctricas I 68% www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Índices de dispersión ERROR PROBABLE 50% Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

EJEMPLO 1 Una fuente de tensión de valor nominal 4 V fue medida 100 veces en las mismas condiciones, obteniendo una desviación normal = 1. 5 ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un valor v 6 V (P(v 6 ))? www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

=4 = 1. 5 Hallar P ( v > 6 ) 1. - transformar x en un valor de z z = (6 - 4)/1. 5 = 1. 33 0. 09176 0. 5 0. 40824 0. 09176 ? -0. 5 -3 1 -2 2. 5 -1 4 0 5. 5 6 1 1. 33 7 2 x 8. 5 3 z = 4 Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Problema: 1) De un lote de 1000 resistencias se observa que el 8% exceden el límite de 10. 025 Ω. Si la fábrica debe entregar un total de 50. 000 que cumplan con la especificación de : 10. 000 +25 -50 Cuántas debe fabricar ? www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

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Propagación de errores estadísticos PRIMERA MEDICION: y Teorema general de la varianza: www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Propagación de errores estadísticos Problema: Averiguar la desviación normal porcentual de una resistencia calculada a partir de los siguientes datos: U = 100 V ± 12 V I = 10 A ± 2 A Una desviación del 12% en la tensión y del 20% en la corriente contribuyen para que la desviación normal en la resistencia calculada sea del 23%. Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Muestras Pequeñas www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Muestras Pequeñas Características de la distribución t de Student • Al igual que la distribución z, es una distribución continua, acampanada y simétrica • La distribución t tiene una media de cero, es simétrica respecto de la media y se extiende de - a + . • No hay una distribución t, sino una "familia" de distribuciones t, todas con la misma media cero, pero con su respectiva desviación estándar diferente de acuerdo con el tamaño de la muestra n. Existe una “distribución t” p. ej. para una muestra de 10, otra para una muestra de 11, y así sucesivamente. • La distribución t es más ancha y más plana en el centro que la distribución normal estándar. Sin embargo, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t se aproxima a la distribución normal estándar. www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

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Muestras Pequeñas Muestra de 10 resistencias f(y) DISTRIBUCION DE GOSSET-STUDENT Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Muestras Pequeñas Ensayo 1000 A Im [A] 1 2 3 980 1030 1025 4 975 Determinar la cota de error con una probabilidad del 95% Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

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Solución en Excel Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Solución en Excel =PROMEDIO(C 61: C 64) =DESVEST(C 61: C 64) =DISTR. T. INV(0. 05, 3) Mediciones Eléctricas I 1002. 5 A 29. 01 t=3. 18 www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Funciones Estadísticas en Excel DEVEST =DESVEST(B 9: B 58) MODA =MODA(B 9: B 58) MEDIANA =MEDIANA(B 9: B 58) MEDIA =PROMEDIO(B 9: B 58) DISTR. NORM =DISTR. NORM(100, 1; 99, 97; 0, 2183; VERDADERO) DISTR. T. INV =DISTR. T. INV(0, 05; 3) DISTR. NORM. ESTAND =DISTR. NORM. ESTAND(2, 82) www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Funciones Estadísticas en Excel: =DISTR. NORM. ESTAND(t) Probabilidad de encontrar un valor ≤ z Argumento de la función t Valor de z que deja por debajo una probabilidad dada Argumento de la función p =DISTR. NORM. ESTAND. INV(p) =DISTR. NORM(t, , , VERDADERO) =DISTR. NORM. INV(p, , ) Mediciones Eléctricas I Devuelve la probabilidad en una distribución normal con los parámetros: x , y Devuelve t en una distribución normal con los parámetros: p , y www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Problema: 1) De un lote de 1000 resistencias se observa que el 8% exceden el límite de 10. 025 ohm. Si la fábrica debe entregar un total de 50. 000 que cumplan con la especificación de : 10. 000 +25 -50 Cuántas debe fabricar ? www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica

Solución del Problema con Excel 8% exceden, 42% se encuentran entre 10. 000 y 10. 025 La Ptotal=P(a)+P(b) 42% P(b) >8% =DISTR. NORM. ESTAND. INV(0. 92) P(a) 9950 10. 025 1. 405 t 2=x 2/ =DISTR. NORM(9950, 10000, 17. 73, VERDADERO) 0. 4976 P(TOTAL)=P(a)+P(b)=0. 42+0. 4976=0. 9176 Número Total de Resistencias a construir=54. 500 Mediciones Eléctricas I www 3. fi. mdp. edu. ar/electrica