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MEDICIONES E INCERTIDUMBRES

¿Cómo navegar en estos Apuntes? • En la siguiente diapositiva se muestra un mapa conceptual. • Un mapa conceptual es una forma esquemática de presentar los conceptos fundamentales de la materia y su relación entre sí. • Observa este mapa y, haciendo click en el tema de tu interés, puedes ir a este tema donde encontrarás explicaciones en extenso y ejemplos ilustrativos. • Haciendo click en los botones puedes avanzar, retroceder e ir a los ejemplos. Con el botón: i, puedes regresar al mapa de donde partiste.

Método Subjetivo MAPA CONCEPTUAL Incertidumbre absoluta o tolerancia (subjetivo) para Mediciones Directas Reproducibles Calculamos No, entonces asignamos para Mediciones Directas No Reproducibles Incertidumbre: Ix: mitad de la mínima escala o tolerancia Salida “Aproximadamente” Sí, entonces asignamos ¿El número de mediciones es mayor o igual a 10? ¿N≥ 10? para Mediciones Indirectas Calculamos Promedio: Método Objetivo MEDICIONES Calculamos para Mediciones Directas para Mediciones Indirectas Calculamos Promedio: Desviación estándar media (objetivo) Calculamos Promedio: Error: Desv. est. media: Incertidumbre: Error: Desv. est. media: Error: Dif. Total Ix = - Li Salida “Aproximadamente” Salida 68% de probabilidad Salida 68 % de probabilidad

Mediciones • MEDIR: es un proceso mediante el cual se busca asignar un número a una cantidad física determinada. Ir a Ejemplo 1 Ir a Ejemplo 2

Ejemplo 1: medición directa • MEDIR: la LONGITUD de un campo de fútbol. • mínimo 90 m. • maximo 120 m.

Ejemplo 2: medición indirecta • MEDIR: la constante de la gravitación G • Conociendo F, • las masas: m y M; • y la separación: r, • se despeja la constante G de la fórmula de la fuerza de atracción: Péndulo de torsión 2 m. M Nm F=G Û G = (6. 7 ± 0. 3) x 10 11 r kg 2

Número De Mediciones • Para obtener medición con una su incertidumbre absoluta: • Es suficiente con tener menos de mediciones, diez inclusive una sola es suficiente, dado que se trabaja con la: • Escala del aparato o con su tolerancia. • Para obtener una medición con su desviación estándar: • Es preciso contar con una muestra representativa de los posibles valores: • Esto lo aseguramos midiendo la cantidad, al menos: • Diez veces bajo las mismas circunstancias experimentales

Incertidumbre o Tolerancia Definiciones Preliminars En todo proceso de medición se cometen errores que los podemos clasificar como: ERRORES SISTEMÁTICOS: son aquellos que se pueden evitar y suceden en una misma dirección, es decir, siempre se mide por exceso o por defecto. Ir a Ejemplo ERRORES ALEATORIOS: son aquellos que no se pueden evitar, pero sí se pueden minimizar midiendo al menos diez veces la cantidad bajo las mismas circunstancias experimentales. Estos errores suceden en ambas direcciones: por exceso y por defecto indistintamente. Por ejemplo: una distracción al tomar la lectura del el aparato. Ir a Ejemplo Durante el desarrollo del proceso experimental se cometerán ambos tipos de error indistintamente y se debe ser muy cuidadoso con su manejo. De tal manera que medir bien o efectuar una: MEDICIÓN BIEN HECHA: es aquel proceso en el que se han eliminado todos los errores Ir a Ejemplo sistemáticos y se han minimizado al máximo todos los errores aleatorios. Ir a Ejemplo EXACTITUD: se dice que toda medición bien hecha es exacta, pero puede diferir en precisión. PRECISIÓN: es el número de cifras significativas que se conocen de una cantidad cualquiera y Ir a Ejemplo usualmente nos las brinda el aparato de medición. Continuar: Incertidumbre o Tolerancia

Error Sistemático, Ejemplo • ERROR SISTEMÁTICO: un ejemplo típico es el error de calibración, es decir, cuando el aparato no mide cero apropiadamente. Por ejemplo, considere una báscula que no está calibrada, entonces siempre medirá de más o de menos, según sea el monto de tal descalibración. Báscula bien calibrada Báscula descalibrada

Error Aleatorio, Ejemplo ERROR ALEATORIO: un ejemplo típico es el que se comete al tomar la lectura con un cronómetro, es decir, el tiempo de respuesta al iniciar o detener el aparato: algunas veces se comenzará a medir antes y otras veces después; de tal manera que algunas veces se medirá de más y otras veces de menos.

Exactitud y Precisión, Ejemplos Medición bien hecha: se midió un espesor con: A) Flexómetro: e = 2. 1 ± 0. 05 cm. B) vernier: e = 2. 095 ± 0. 0025 cm. Ambas mediciones, A) y B), están bien hechas porque se eliminaron todos los errores sistemáticos y se minimizaron al máximo los errores aleatorios, es decir, ambas: Son EXACTAS porque se midieron cuidadosamente, pero difieren en: PRECISIÓN: la medición A) tiene precisión de un milímetro, y la medición B) tiene precisión de un veinteavo de milímetro. En otras palabras, la medición A) tiene menos cifras significativas que B): A) tiene menor precisión que B).

Incertidumbre o Tolerancia INCERTIDUMBRE ABSOLUTA: se denota de mediante una I latina mayúscula a la cual se pone un subíndice que denota el nombre de la cantidad a la que se le está asignando el error: IL, Im, It, para la incertidumbre de la longitud, de la masa y del tiempo respectivamente. Esta cantidad indica la precisión del aparato y el tamaño del intervalo dentro del cual puede estar el valor real de la medición, con cierta confianza. Usualmente se le asigna un valor igual a la mitad de la mínima escala. Ejemplo . TOLERANCIA: es la cantidad que asigna el fabricante de un aparato para cuantificar el error asociado a las mediciones efectuadas con dicho aparato. Usualmente se muestra en el propio aparato o se especifica en el manual. Cuando aparece sustituye a la incertidumbre absoluta. Ejemplo . INCERTIDUMBRE RELATIVA: se denota de mediante una I latina mayúscula a la cual se pone un subíndice que incluye una R mayúscula y el nombre de la cantidad a la que se le está asignando el error: IRL, IRm, IRt, para la incertidumbre relativa de la longitud, de la masa y del tiempo respectivamente. Esta cantidad indica cuánto error se tiene por cada unidad que se mide con un método determinado; se calcula como: incertidumbre absoluta, dividida entre el valor medio de la cantidad. Matemáticamente: Ejemplo . INCERTIDUMBRE PORCENTUAL: se denota de mediante una I latina mayúscula a la cual se pone un subíndice que incluye un signo de % y el nombre de la cantidad a la que se le está asignando el error: I%L, I%m, I%t, para la incertidumbre porcentual de la longitud, de la masa y del tiempo respectivamente. Esta cantidad indica el porcentaje de error respecto de la media. Matemáticamente: Ejemplo

Incertidumbre Absoluta, Ejemplo • Una compañía fabricante de controles reporta las siguientes especificaciones para juntas de acero. Observa que se muestra el nombre de la cantidad con sus unidades, un valor promedio y un error o incertidumbre (+/-) que proporciona la confianza en la medición. En este caso, la incertidumbre tiene un valor de: IJ = ± 0. 5 mm. La medición se reportará entonces de la siguiente manera: J =12. 0 ± 0. 5 mm. Nombre de la cantidad Error Unidades Steel Ball Joints Valor promedio B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 8 B 9 J (+/-) 12. 0 mm 0. 5 mm 13. 0 mm 0. 2 mm 16. 0 mm 0. 25 mm NO NO K (+/-) 9. 0 mm 0. 3 mm 12. 5 mm 0. 5 mm 16. 5 mm 0. 5 mm 20. 0 mm 0. 5 mm PIN

Tolerancia, Ejemplo • La mayoría de las veces el fabricante especifica el grado de error que se obtiene al medir con determinado aparato. En este caso, el micrómetro que se ilustra posee una tolerancia de ± 0. 001 mm ; de tal manera que al medir, por ejemplo, un espesor de 21. 2345 mm, esta medida se reportará como a = 21. 234 ± 0. 001 mm. Tolerancia

Incertidumbre Relativa, Ejemplo Tomemos el caso del ejemplo de la incertidumbre absoluta donde: J =12. 0 ± 0. 5 mm. La incertidumbre relativa se calcula como: Nota que no tiene unidades porque se cancelan al efectuar la división. La cantidad se reporta como: J =12. 0 mm ± 0. 04. Este número indica que se tiene 0. 04 de error por cada mm medido con este método. En otras palabras, éste método es bueno para medir milímetros, pero ya no es bueno para medir, por ejemplo: 1. 5 m, porque el error crece hasta: 60 mm = (1500 mm)(. 04) por cada metro medido.

Incertidumbre Porcentual, Ejemplo • Tomemos el caso del ejemplo de la incertidumbre absoluta con: J =12. 0 ± 0. 05 mm. La incertidumbre porcentual se calcula entonces como: • Este valor nos indica el error respecto del valor promedio, y se reporta como: J =12. 0 mm ± 4 %.

Mediciones Directas Reproducibles MEDICIONES DIRECTAS: son aquellas que se realizan comparando directamente el patrón de medida con el objeto a medir. MEDICIONES DIRECTAS REPRODUCIBLES: son aquellas mediciones directas que se pueden repetir tantas veces como sea necesario, bajo las mismas circunstancias experimentales. Ir a ejemplo

Mediciones Directas Reproducibles EJEMPLO Se desea medir la temperatura corporal de una persona sana. Para ello se utiliza una termocámara realizándose varias lecturas durante una semana, siempre a la misma hora y en el mismo lugar. El resultado del experimento arroja la siguiente lectura: Tc = 36. 87 ± 0. 03 ˚C. Es decir, se pueden tomar tantas lecturas como se quiera bajo las mismas circunstancias experimentales.

Mediciones Directas NO Reproducibles MEDICIONES DIRECTAS: son aquellas que se realizan comparando directamente el patrón de medida con el objeto a medir. MEDICIONES DIRECTAS NO REPRODUCIBLES: son aquellas mediciones directas que NO se pueden repetir tantas veces como sea necesario, bajo las mismas circunstancias experimentales. Ir a ejemplo

Mediciones Directas NO Reproducibles EJEMPLO Se desea medir la temperatura corporal de una persona enferma. Para ello se utiliza una termocámara realizándose varias lecturas a lo largo del día para ver la evolución de la enfermedad. El resultado del experimento arroja la siguiente lectura: Tc = 39 ± 2 ˚C. Es decir, NO se pueden tomar tantas lecturas como se quiera bajo las mismas circunstancias experimentales dado que la enfermedad evoluciona.

Mediciones Indirectas Son aquellas que presumen el conocimiento de una o más mediciones directas y se obtienen efectuando un cálculo matemático utilizando dichas mediciones directas. Ir a ejemplo

Mediciones Indirectas. Ejemplo. Se desea establecer el peso que deberá soportar una estructura de 160 m 2 de área al ser techada con lámina acanalada. El fabricante proporciona la siguiente información: P = 5. 21 ± 0. 005 kg/m 2. Perfil de lámina acanalada De esta manera, la estructura debe soportar un peso de: We = 160*P*g <=> We = 8161 ± 8 N. Ir a cálculo

Mediciones Indirectas. Cálculo. Al multiplicar cantidades con error: We = 160*P*g. 160*P = 160*(5. 21 ± 0. 005) =. 160*P = 160* 5. 21 ± 160* 0. 005 = 833. 6 ± 0. 8 N. 160*P*g = (833. 6 ± 0. 8 )(9. 79) =. 160*P*g = 833. 6*9. 79 ± 0. 8*9. 79 = 8160. 94 ± 7. 83 N. De esta manera, la estructura debe soportar un peso de: We = 8161 ± 8 N.

Cálculos Para Mediciones Directas Reproducibles Para calcular el valor central o promedio: ; Donde xi son los valores de los diferentes datos, y n es el número de datos. Para asignar error reportando la incertidumbre absoluta, ix: Ix = mitad de la mínima escala del aparato que se esté utilizando. PRECAUCIÓN: debe asegurarse que con este error se cubra la dispersión de los datos experimentales. Ir a ejemplo Para asignar error utilizando la tolerancia, ix: Ix = tolerancia, monto del error que asigna el fabricante a las mediciones hechas con determinado aparato. Ojo, la tolerancia sustituye a la incertidumbre absoluta. Ir a ejemplo PRECAUCIÓN: debe asegurarse que con este error se cubra la dispersión de los datos experimentales.

CÁLCULOS PARA MEDICIONES DIRECTAS REPRODUCIBLES: Ejemplo Con Incertidumbre Se medió la longitud de un perfil de aluminio con un flexómetro obteniéndose los siguientes resultados: Ver Foto → L 1 = 10. 05 cm; L 2 = 10. 1 cm; L 3 = 10. 15 cm. Así pues, la longitud promedio será: La mínima escala del flexómetro es: 0. 1 cm. Por lo tanto, la incertidumbre absoluta es: Ix = 0. 1/2 = 0. 05 cm. El valor reportado para la longitud: L = 10. 1 ± 0. 05 cm.

Medición Con Flexómetro Medición: L 1 = 10. 05 cm Flexómetro Perfil de aluminio Mínima escala del aparato: 0. 1 cm

CÁLCULOS PARA MEDICIONES DIRECTAS REPRODUCIBLES: Ejemplo Con Tolerancia Se medió el volumen de un líquido con una probeta, obteniéndose los siguientes resultados: Ver Foto → V 1 = 40 ml; V 2 = 40. 5 ml; V 3 = 40. 5 ml ; V 4 = 39. 5 ml. El volumen promedio será: La probeta posee una tolerancia de: Ix = 0. 6 ml. El valor reportado para el volumen: V = 40. 1 ± 0. 6 ml.

Medición Con Probeta Medición: V 1 = 40 ml Error reportado por el fabricante Se mide en la parte más baja del menisco Tolerancia: 0. 6 ml

Cálculos Para Mediciones Directas No Reproducibles • El valor promedio se calcula como: ; donde Li es el límite inferior, es decir, el valor más pequeño de la medición, y Ls es el límite superior, es decir, el valor más alto de la medición • El error se calcula como: Ir a ejemplo

CÁLCULOS PARA MEDICIONES DIRECTAS NO REPRODUCIBLES Ejemplo Se midió con un termómetro la temperatura ambiente a lo largo del día obteniéndose los siguientes valores: Cant. /# 1 2 3 4 5 T, ± 0. 05, ˚C 12. 5 14. 3 16. 2 18. 7 15. 4 La temperatura promedio será: El error en la temperatura será: El valor reportado de la temperatura será: T = 16 ± 3 ˚C

Cálculos Para Mediciones Indirectas Sea la función f = f( x, y, z , . . . ), que depende de las variables x, y, z, …; medidas como: El valor promedio de la función será: ; es decir, la función f evaluada en los promedios de las variables El error calculado de la función (εf ) se obtiene utilizando el método de la diferencial total: Evaluándola en los promedios y en las incertidumbres correspondientes. Ir a ejemplo

CÁLCULOS PARA MEDICIONES INDIRECTAS Ejemplo Se tiene un resorte de constante, k = 217. 35 ± 0. 07 N/m. Se desea conocer qué elongación soportará ante una fuerza de: F = 32. 7 ± 0. 1 N. Suponiendo obedece a la ley de Hooke: F = -kx. CALCULAR K = 217. 35 ± 0. 07 N/m

CÁLCULOS PARA MEDICIONES INDIRECTAS Ejemplo Despejando para la elongación: La elongación promedio: Evaluando en los promedios El error en la elongación: Obteniendo la diferencial total Evaluando la diferencial total Así pues, el valor reportado para la elongación: x = 0. 1505 ± 0. 0005 m.

Salida De Mediciones Directas Toda medición se reporta con el FORMATO ESTÁNDAR: C = ± IC u Nombre de la cantidad Valor Central o promedio Error Unidades Cifras significativas adecuadas

Nombre de la Cantidad El nombre de la cantidad se escoge procurando que: Sea breve y Represente a la cantidad medida. • Por ejemplo, si se desea medir una temperatura, una letra representativa será: T, es decir: T = 27. 5 ± 0. 5 ˚C

Valor Central o Promedio • El valor central o promedio se establece de acuerdo con el tipo de medición que se esté manejando: • Mediciones directas reproducibles: • Mediciones directas no reproducibles: EJEMPLO: t = 31. 2 ± 0. 2 s

Error El error se asignará de acuerdo con el tipo de medición que se esté llevando a cabo: • Mediciones directas reproducibles: Incertidumbre: mitad de la mínima escala. Tolerancia: según reporte el fabricante. • Mediciones directas NO reproducibles: IC = - Li EJEMPLO: V = 12. 7 ± 0. 3 ml

Unidades • Las unidades las establece el aparato con el que se midió dicha cantidad: EJEMPLO: T = 27. 5 ± 0. 5 ˚C EJEMPLO: t = 31. 2 ± 0. 2 s Cronómetro EJEMPLO: V = 12. 7 ± 0. 3 ml Probeta Termómetro

Cifras Significativas Se establecerán en base a la precisión de la medición o al error. El redondeo se hará desde la última cifra y subirá a partir del cinco. Con algunos ejemplos quedará más claro. 1. Se midió con el flexómetro: = 16. 1 cm ; IL = 0. 05 cm. Entonces, la longitud se reportará con UNA cifra significativa después del punto decimal: L = 16. 1 ± 0. 05 cm. En total la cantidad tendrá tres cifras significativas. 2. Se midió con el cronómetro: = 5. 125 s ; It = 0. 2 s. El tiempo se reportará con UNA cifra significativa después del punto decimal: t = 5. 1 ± 0. 2 s. En total la cantidad tendrá dos cifras significativas.

Salida De Mediciones Indirectas Toda medición se reporta con el FORMATO ESTÁNDAR: f = ± If u´ Nombre Valor de la Central o cantidad promedio Error Unidades Cifras significativas adecuadas

Nombre De La Cantidad El nombre de la cantidad se escoge procurando que: Sea breve y Represente a la función medida. • Por ejemplo, si se desea medir una Área, la letra representativa será: A, es decir: A = 17. 51 ± 0. 03 m 2.

Valor Central O Promedio Se calcula evaluando la función en los valores promedio de las variables. Consideremos a la función f que depende de las variables x, y, z, etcétera: f = f(x, y, z, …); Donde las variables están medidas como: El valor promedio será: Ir a ejemplo→

Valor Central O Promedio EJEMPLO Se calcula evaluando la función en los valores promedio de las variables. Consideremos a la función densidad, r, que depende de las variables masa, M; y volumen, V. r = r(M, V), M = 17. 2 ± 0. 05 g; V = 19. 5 ± 0. 6 ml. El valor promedio será: Ir a valor de la densidad→

Error El error se asignará obteniendo la diferencial total: sea la función f = f(x, y, z, …); Donde las variables están medidas como: El error se calcula de la siguiente manera: Ir a Cálculos más usuales → Es decir, se deriva respecto de la primera variable tomándose todas las otras variables como constantes, y luego se multiplica por su incertidumbre correspondiente. Se continúa derivando hasta que se completan todas las variables; Evaluándose, entonces, en los valores promedio y las incertidumbres. Ir a ejemplo→

Error, EJEMPLO El error se asignará obteniendo la diferencial total: Consideremos a la función densidad, r, que depende de las variables masa, M; y volumen, V. , con: M = 17. 2 ± 0. 05 g; V = 19. 5 ± 0. 6 ml. El error será: Calculando la Diferencial total Evaluando la Diferencial total Ir a valor de la densidad→

El Valor Reportado Para La Densidad Será: ρ = 0. 88 ± 0. 03 g/ml Valor central o promedio (Ir a Cálculo)→ Error (Ir a Cálculo)→

Cálculos Más Usuales Sean las cantidades experimentales: SUMA: RESTA: MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR: DIVISIÓN:

Suma , Justificación En este caso, la función depende de dos variables: f = f(x, Y). La función explícita es f = X+Y. Con esto calculamos: Valor central o promedio Error Regresar Ir a ejemplo→

Suma , Ejemplo Se desea medir una longitud, L, mayor a 40 cm y se dispone de una regla de 30 cm. Así, se debe utilizar más de una vez el aparato. Es razonable pensar que el error en la medición aumentará tantas veces como se utilice este aparato. Dado que se utiliza la regla dos veces, la primera vez será nuestra «x» , y la segunda vez será nuestra «y» , de la siguiente manera: x = 30 ± 0. 05 cm, y = 27. 7 ± 0. 05 cm. Valores Ecuación x + y = (30 + 27. 7) ± (0. 05 + 0. 05) cm. L = x + y = 57. 7 ± 0. 1 cm. Cálculo Valor reportado

Resta , Justificación En este caso, la función depende de dos variables: f = f(x, Y); Y la función explícita es f = X -Y. Con esto calculamos: Valor central o promedio Error Regresar Ir a ejemplo→

Resta, Ejemplo • Se desea medir una masa de agua utilizando una báscula y una probeta. 1. Al medir la masa de la probeta seca se obtuvo: y = 238. 7 ± 0. 05 g. 2. Medir la masa de la probeta con agua se obtuvo: x = 278. 3 ± 0. 05 g. Valores x = 278. 3 ± 0. 05 g, y = 238. 7 ± 0. 05 g. Ecuación Cálculo Valor reportado x - y = (278. 3 - 238. 7) ± (0. 05 + 0. 05) g. m = x - y = 39. 6 ± 0. 1 g.

Multiplicación , Justificación En este caso, la función depende de dos variables: f = f(x, y). La función explícita es f = x *y. Con esto calculamos: Valor central o promedio Error Regresar Ir a ejemplo→

Multiplicación, Ejemplo • Se quiere medir el área de un rectángulo: A =x*y. x = 17. 3 ± 0. 1 mm, y = 8. 7 ± 0. 1 mm. Valores Ecuación x * y = (17. 3 * 8. 7) ± (8. 7*0. 1 + 17. 3*0. 1). A = x * y = 151 ± 3 mm 2. Cálculo Valor reportado

Multiplicación Por Un Escalar , Justificación En este caso, la función depende de UNA variables: f = f(x); Y la función explícita es f = a *x. Con esto calculamos: Valor central o promedio Error Regresar Ir a ejemplo→

Multiplicación Por Un Escalar, Ejemplo • Se desea medir el perímetro de un cículo conociendo su diámetro, x: P = π*x. x = 17. 3 ± 0. 1 cm. Valores Ecuación a* x = (3. 1415* 17. 3) ± (3. 1415 *0. 1). P = a * x = 54. 4 ± 0. 3 cm. Cálculo Valor reportado

División , Justificación En este caso, la función depende de dos variables: f = f(x, y). La función explícita es f = x /y. Con esto calculamos: Valor central o promedio Error Regresar Ir a ejemplo→

División, Ejemplo • Se desea estimar la rapidez constante de un móvil que partió del origen: v = x / y. x = 1. 33 ± 0. 005 m, y = 2. 1 ± 0. 2 s. Valores Ecuación Cálculo Valor reportado

Unidades • Las unidades las establece el aparato con el que se midió dicha cantidad: EJEMPLO: A = 17. 51 ± 0. 03 m 2 Área EJEMPLO: ρ = 0. 88 ± 0. 03 g/ml Densidad EJEMPLO: V = 2. 7 ± 0. 1 m 3 Volumen

Cifras Significativas 3. Se midió el volumen: = 72. 15796 mm 3 ; IV = 0. 074983 mm 3. El volumen se reportará con DOS cifras significativas después del punto decimal: V = 72. 16 ± 0. 08 mm 3. En total la cantidad tendrá cuatro cifras significativas. 4. Se midió el área: = 20433. 97846 cm 2; IA = 12. 0570954 cm 2. El área se reportará con CERO cifras significativas después del punto decimal: A = 20434 ± 12 cm 2. En total la cantidad tendrá cinco cifras significativas.

Desviación Estándar Media • Es una manera de asignar error a una cantidad medida experimentalmente. • Es una mejor alternativa para la incertidumbre absoluta o para la Tolerancia cuando se cuenta con un número grande (N≥ 10) de mediciones realizadas bajo las mismas condiciones experimentales. • Proporciona la estimación más confiable para el valor de la cantidad medida. • Calcula la probabilidad de encontrar el «valor real» para dicha cantidad dentro de un intervalo conocido. Continúa

Desviación Estándar Media • Es un método estadístico que utiliza únicamente los valores experimentales medidos para encontrar una cantidad determinada estimando el valor más probable para su error. • Se necesita conocer la distribución de probabilidad que describe al experimento. En física, usualmente, una buena aproximación para ésta es la distribución NORMAL O GAUSSIANA. Ir a ejemplo

DESVIACIÓN ESTÁNDAR MEDIA, Ejemplo d = 37. 07 ± 0. 03 cm Nombre = promedio ± desviación estándar unidades Así pues, podemos decir que el «valor real» para esta cantidad se encuentra dentro del intervalo: 37. 04 a 37. 1 cm con un 68 % de probabilidad; dado que se reporta una desviación estándar, y el experimento está descrito por una distribución normal. Frecuencia Gráficamente: Área que representa el 68 % de probabilidad. Distribución Normal o Gaussiana Desviación Estándar Eventos 37. 04 37. 1 37. 07

Mediciones Directas (Objetivo) Son aquellas que se realizan comparando directamente el patrón de medida con el objeto a medir. Se deben tomar, al menos, diez de estas mediciones bajo las mismas circunstancias experimentales. Por ejemplo, se midió la masa de diez tapones de plástico con una báscula, obteniéndose la siguiente tabla: No de Tapón 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m, ± 0. 05, g 7. 2 7. 15 7. 25 7. 2 7. 15 Ir a Cálculo

Mediciones Directas, Cálculo (Objetivo) • Calculamos el valor central o promedio de la masa: • Calculamos la desviación estándar media de la masa: Smm = 0. 011667 g Ir a Formato estándar

Mediciones Directas, SALIDA (Objetivo) Toda medición se reporta con el FORMATO ESTÁNDAR: Ejemplo: m = 7. 20 ± 0. 01 g C = ± SC u Nombre de la cantidad Valor Central o promedio Error Unidades Cifras significativas adecuadas

Nombre El nombre de la cantidad se escoge procurando que: Sea breve y Represente a la cantidad medida. • Por ejemplo, si se desea medir una masa, una letra representativa será: m, es decir: m = 7. 20 ± 0. 01 g.

Valor Promedio • El valor central o promedio se calcula mediante el promedio aritmético: • Por ejemplo: m = 7. 20 ± 0. 01 g

Error (Objetivo) El error se asignará calculando la desviación estándar media: Por ejemplo: m = 7. 20 ± 0. 01 g

Unidades, Ejemplo • Las unidades las establece el aparato con el que se midió dicha cantidad: m = 7. 20 ± 0. 01 g Báscula

Cifras Significativas (Objetivo) Se establecerán en base a la precisión de la medición o al error. El redondeo se hará desde la última cifra y subirá a partir del cinco. Con algunos ejemplos quedará más claro. 1. Se midió con un flexómetro: = 1. 15 cm ; Sm. L = 0. 1358 cm. Entonces, la longitud se reportará con UNA cifra significativa después del punto decimal: L = 1. 1 ± 0. 1 cm. En total la cantidad tendrá dos cifras significativas. 2. Se midió con el cronómetro: = 5. 125 s ; St = 0. 03526 s. El tiempo se reportará con DOS cifras significativa después del punto decimal: t = 5. 13 ± 0. 04 s. En total la cantidad tendrá tres cifras significativas.

Mediciones Indirectas (Objetivo) Son aquellas que presumen el conocimiento de una o más mediciones directas con sus respectivas desviaciones estándar, y se obtienen efectuando un cálculo matemático utilizando dichas mediciones directas. Por ejemplo: se desea medir la densidad de un cilindro de aluminio; para ello, se midieron las siguientes cantidades: La masa: m = 20. 33 ± 0. 02 g. El volumen: V = 7591. 1± 0. 9 mm 3. Se utilizó la siguiente ecuación: Ir a cálculo

Mediciones Indirectas (Objetivo) Cálculo. Dado que una medición indirecta se calcula, es preciso conocer entonces una función que defina este cálculo. Sea f una función que depende de las variables x, y z, etcétera: f = f(x, y, z, . . . ); donde: El valor central o promedio de la función se obtiene evaluando en los promedios: El error se calcula mediante la diferencial total: Ir a ejemplo

Mediciones Indirectas (Objetivo) Ejemplo. Aquí la función es: ; que depende de las variables: m y V; donde: m = 20. 33 ± 0. 02 g; V = 7591. 1± 0. 9 mm 3. El valor central o promedio de la función se obtiene evaluando en los promedios: El error se calcula mediante la diferencial total: Ir a Formato estándar

Mediciones Indirectas, SALIDA (Objetivo) Toda medición se reporta con el FORMATO ESTÁNDAR: Ejemplo: ρ = 0. 0002678 ± 0. 0000003 g/mm 3 f = ± Sf u Nombre de la Cantidad Valor Central Error Unidades Cifras Significativas

Mediciones Indirectas Nombre El nombre de la cantidad se escoge procurando que: Sea breve y Represente a la cantidad medida. • Por ejemplo, si se desea medir la densidad, una letra representativa será: ρ, es decir: ρ = 0. 0002678 ± 0. 0000003 g/mm 3.

Mediciones Indirectas Valor Central o Promedio • El valor central o promedio se calcula evaluando la función enlos valores promedio: • Por ejemplo: ρ = 0. 0002678 ± 0. 0000003 g/mm 3.

Mediciones Indirectas Error (Objetivo) El error se asignará calculando la desviación estándar media: Por ejemplo: ρ = 0. 0002678 ± 0. 0000003 g/mm 3.

Mediciones Indirectas Unidades, Ejemplo • Las establecen las unidades de las cantidades con la que se calculó dicha función: ρ = 0. 0002678 ± 0. 0000003 g/mm 3.

Mediciones Indirectas Cifras Significativas Se establecen a partir de la primera cifra que tiene error, por ejemplo: 3. Se midió el volumen: = 72. 15796 mm 3 ; IV = 0. 074983 mm 3. El volumen se reportará con DOS cifras significativas después del punto decimal: V = 72. 16 ± 0. 08 mm 3. En total la cantidad tendrá cuatro cifras significativas. 4. Se midió el área: = 20433. 97846 cm 2; IA = 12. 0570954 cm 2. El área se reportará con CERO cifras significativas después del punto decimal: A = 20434 ± 12 cm 2. En total la cantidad tendrá cinco cifras significativas.