Medianas y Estadsticas de Orden Agustn J Gonzlez

Medianas y Estadísticas de Orden Agustín J. González ELO 320: Estructura de Datos y Algoritmos 1 er. Sem. 2004 1

Conceptos n n n La estadística de orden i-ésimo de un conjunto de n elementos es el elemento i-ésimo más pequeño. El mínimo es la estadística de primer orden. La mediana es el punto en la “mitad del camino” La mediana se ubicas en i= (n+1)/2 e i= (n+1)/2 Problema de selección: Entrada: un conjunto de n números y un número i 1<= i <= n Salida: El elemento x tal que es mayor que exactamente otros i-1. 2

Mínimo y máximo n n Mínimo(A) min = A[1 ; for (i=2; i<=length(A); i++) if (min > A[i ) min = A[i ; Puede ser hecho en tiempo (n). ¿Cómo encontramos el i-ésimo lugar de un conjunto? Ejercicio: ¿Cuántas veces se ejecuta la asignación del mínimo? 3

Ejercicio: Número de Asignaciones de Máximo n n n El siguiente programa determina el máximo valor en un arreglo no ordenado A[1. . n]. max = -"infinito"; for (i=1; i <=n; i++) { if (A[i] > max) max = A[i]; /* linea 4 */ Se desea determinar el número promedio de veces que la asignación de la línea 4 es ejecutada. Suponga que los números en A fueron tomados aleatoriamente del intervalo [0, 1]. Si un número x es aleatoriamente escogido dentro de un conjunto de n número distintos, ¿cuál es la probabilidad que x sea el mayor número del conjunto? n 1/n Cuando la línea 4 es ejecutada, ¿cuál es la relación entre A[i] y A[j] para 1 <=j <= i? n A[i] > A[j] Para cada i en el rango 1 <= i <=n, ¿cuál es la probabilidad que la línea 4 sea ejecutada? n 1/i Sea s 1, s 2, . . , sn variables aleatorias, donde si representa el número de veces (0 ó 1) que la línea 4 es ejecutada durante la i-ésima iteración. ¿Cuál es el valor esperado E[si]? n E[si] = 0*P(que línea 4 no sea ejecutada) + 1*P(línea 4 sí sea ejecutada) = 1/i Determine el valor esperado para el número total de veces que la línea 4 es ejecutada. n E[número de veces pedido] = E[s 1+s 2+s 3+. . . +sn] = E[s 1]+E[s 2]+. . . +E[sn]=1+1/2+1/3+. . . +1/n Como nota interesante (fuera del certamen) 1+1/2+1/3+. . . +1/n = (lg n). 4

( ) Método integral para acotar sumatorias 1 1 2 < < 5

Problema de selección n Problema de selección: Basta usar una forma adaptada de Quicksort o Randomized_Quicksort. En ésta sólo nos preocupamos de donde se encuentra la estadística del orden que buscamos. Randomized_Select(A, p, r, i) if (p==r) return A[p ; q = Randomized_Partition(A, p, r); k = q -p+1; if (i <= k) return Randomized_Select(A, p, q, i); else return Randomized_Select(A, q+1, r, i-k); El tiempo de este algoritmo es (n) en promedio y su peor caso es (n 2). 6

Divertimento n n n Lu Una fábrica de aspirinas tiene 7 depósitos con aspirinas de 100 mg correspondientes a la producción de cada día de una semana. El generente de producción fue notificado que durante un día de la semana las aspirinas resultaron de 110 mg. Usando una pesa sólo una vez, ¿Cómo puede determinar el depósito con las aspirinas defectuosas? Ma Mi Ju Vi Sa Do 7