Mechanika hmotnho bodu typy pohyb pohybov zkony pojmy

Mechanika hmotného bodu, typy pohybů, pohybové zákony, pojmy práce a energie. Dr. Jana Mattová Ústav biofyziky a informatiky 1. LF UK jana. mattova@lf 1. cuni. cz http: //www 1. lf 1. cuni. cz/~aproc/

Mechanika je nejstarším odvětvím fyziky, která se zabývá pohybem (zakladatelé Galileo Galilei a Isaac Newton). Kinematika Zkoumá popis pohybu (trajektorii, dráhu, rychlost, zrychlení…). Zajímá nás, jak se dané těleso či hmotný bod pohybuje. Dynamika Zkoumá příčinu pohybu (síly působící na těleso…). Zajímá nás, proč se dané těleso či hmotný bod pohybuje.

Kinematika •

Rychlost Průměrná rychlost – definována jako celková vzdálenost s uražena za určitý čas t. Okamžitá rychlost – rychlost v daném časovém okamžiku, kde časový okamžik je nekonečně krátký. „nekonečně malé“ t a s Rychlost je vektorová veličina, protože kromě změny polohy tělesa určuje i směr veličina pohybu tělesa.

Zrychlení Ve většině případů rychlost během pohybu tělesa není konstantní, ale různě se mění – těleso v průběhu času zrychluje nebo zpomaluje. Zrychlení tedy popisuje, jakým způsobem se mění rychlost v čase. Zrychlení je čase podobně jako rychlost vektorová veličina a může být také průměrné nebo okamžité (vzhledem k velikosti časového úseku). Pokud těleso zrychluje, zrychlení má směr stejný jako rychlost. Pokud těleso zpomaluje, směr zrychlení je opačný.

Rovnoměrný pohyb Při rovnoměrném pohybu hmotný bod urazí za libovolné, ale stejné, časové intervaly stejné úseky dráhy (závislost na přesnosti měření). Rychlost tedy zůstává konstantní. Pokud je rovnoměrný pohyb přímočarý, tak má rychlost i stejný směr (rychlost má směr přímky, po které se bod pohybuje). Pokud je pohyb křivočarý, směr rychlosti se mění (rychlost má směr tečny k dané trajektorii.

Rovnoměrně zrychlený (zpomalený) přímočarý pohyb Hmotný bod se pohybuje po přímce tak, že jeho rychlost není časově konstantní. rovnoměrné zrychlení rovnoměrné zpomalení zrychlení má stejný směr jako vektor rychlosti a rychlost se časem zvětšuje. zrychlení má opačný směr jako vektor rychlosti a rychlost se časem zmenšuje.

Rovnoměrně zrychlený (zpomalený) přímočarý pohyb Jak vypočítat dráhu rovnoměrně zrychleného (zpomaleného) pohybu? Pokud si uvědomíme, že dráha představuje plochu pod křivkou v grafu závislosti rychlosti na čase, je to snadné. S 2 S 1 t Pokud hmotný bod už nějakou dráhu urazil předtím, platí:

Příklad Vlak jede rychlostí 72 km/hod. Jakou dráhu ještě ujede, začne-li strojvůdce rovnoměrně brzdit se záporným zrychlením 0, 5 m. s-2? v 0 = 72 km/hod = 20 m. s-1 -a = 0, 5 m. s-2 s = ? m

Příklad Řidič auta jedoucího rychlostí 90 km/hod začne po dobu 20 s rovnoměrně brzdit se záporným zrychlením 0, 2 m. s-2. Jaká bude jeho rychlost? v 0 = 90 km/hod = 25 m. s-1 -a = 0, 2 m. s-2 t = 20 s v = ? m. s-1

Volný pád je výsledkem gravitačního působení Země. Jde o případ rovnoměrně zrychleného pohybu s nulovou počáteční rychlostí. Zrychlení je v tomto případě dáno působením gravitace a nazýváme ho tíhové -2. zrychlení g, jehož hodnota je přibližně 10 m. s g Jelikož se jedná o rovnoměrně zrychlený pohyb, je možné volný pád popsat známými vztahy, kde se dráha obvykle označuje písmenem h.

Vrhy Vodorovný vrh Svislý vrh vzhůru Šikmý vrh v = 0 v 0 osa x – dráha rovnoměrného pohybu osa y – výška volného pádu

Rovnoměrný pohyb po kružnici Pohyb po kružnici je nejjednodušší typ křivočarého pohybu. Poloha hmotného bodu na kružnici je dána tzv. průvodičem, průvodičem jehož velikost odpovídá poloměru kružnice r. Při pohybu z bodu A do bodu B hmotný bod urazí dráhu rovnou velikosti oblouku AB, pro kterou platí: Rychlost, kterou se hmotný bod pohybuje, se nazývá uhlová rychlost . Uhlová rychlost se rovná velikosti úhlu, který opíše průvodič za určitou dobu: Pokud hmotný bod opíše v libovolných, ale stejných, časových úsecích stejné úhlové dráhy, jde o pohyb rovnoměrný. Užitečné vztahy:

Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici Při zrychlení pohybu po kružnici se kromě velikosti rychlosti mění i její směr. Pro výsledné zrychlení je proto nutné uvažovat dvě složky zrychlení: 1. tečné zrychlení at – působí ve směru rychlosti a má za následek změnu velikosti rychlosti 2. normálové zrychlení an – působí směrem do středu (nazývá se i dostředivé zrychlení) a má za následek změnu směru rychlosti Výsledné zrychlení a je pak dáno součtem tečného a normálového zrychlení. Pozor!: Toto zrychlení závisí na vzdálenosti bodu od středu kružnice. Abychom zrychlený pohyb po kružnici zjednodušili, často se používá tzv. uhlové zrychlení , které je pro všechny body otáčejícího se tělesa konstantní: Užitečné vztahy:

Příklad Uvažujte přibližnou hodnotu g = 10 m. s-2 a zanedbejte odpor vzduchu. Kámen vržený svisle vzhůru dopadl zpět za 4 s. Jaké nejvyšší výšky dosáhl? t = 4 s g = 10 m. s-2 h = ? m Čas 4 sekundy, je doba, kterou trval celý svislý vrh, tedy nahoru a dolů. Cesta tam a zpět je stejná, proto musíme do rovnice dosadit poloviční hodnotu času t/2.

Příklad Doba oběhu sedačky rovnoměrně se pohybujícího kolotoče o průměru 6 m jsou 3 s. Jaká je velikost její rychlosti? T = 3 s d = 6 m r = 3 m v = ? m. s-1

Dynamika se zabývá příčinami pohybu – proč se vlastně tělesa pohybují. Dynamika je založena na třech Newtonových zákonech a na pojmu síla. Správně definovat, co je vlastně síla, je poměrně těžké. Síla se projeví až při vzájemném působení těles buď přímým stykem těles nebo prostřednictvím silového pole. Z toho taky vyplývá, že existuje více „typů“ sil podle toho, jaké konkrétní působení si všímáme (gravitace, elektřina, pohyb…). Pokud bychom chtěli sílu „namalovat“ na papír, musíme nakreslit alespoň dvě věci, mezi kterými působí. Síla může mít na tělesa dva základní účinky: 1. deformační (statický) – má za následek deformaci tělesa (rozbití sklenky, ohnutí tyče, rozdrcení aut při srážce…) 2. pohybový (dynamický) – má za následek změnu pohybového stavu tělesa (jedeme autem po silnici, hodíme míčem, plovoucí ryba ve vodě…) Síla je vektorová veličina, která má svojí velkost, směr a polohu působiště.

1. Newtonův pohybový zákon – zákon setrvačnosti Znění: Těleso setrvává v relativním klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud na něj nepůsobí silové působení jiného tělesa (resp. těles). Jinými slovy, pokud na těleso nepůsobí žádná síla, těleso je v klidu nebo se pohybuje přímočaře bez zrychlení. Setrvačnost není síla; je to tendence těles zůstat v daném pohybovém stavu. Setrvačnost v klidu Setrvačnost v pohybu

2. Newtonův pohybový zákon – zákon síly Znění: Velikost zrychlení hmotného bodu je přímo úměrná velikosti výslednice sil působících na hmotný bod a nepřímo úměrná hmotnosti tělesa. Směr zrychlení je shodný se směrem výslednice sil. Jinými slovy, síla působící na těleso o hmotnosti m uvede těleso do pohybu s rovnoměrným zrychlením a. Síla dává vznik zrychlení. Ze zákonu taky vyplývá, že čím těžší těleso, tím větší sílu potřebujeme na jeho rozpohybování.

3. Newtonův pohybový zákon – zákon akce a reakce Znění: Každá dvě tělesa na sebe vzájemně působí stejně velkými silami opačného směru (jedné se říká akce, druhé reakce). Akce a reakce současně vznikají i současně zanikají. Mohlo by se zdát, že se silové účinky obou těles vyruší, ale není tomu tak. Každá z těchto sil působí právě na to druhé těleso, takže k žádné kompenzaci sil nedochází.

Hybnost hmotného bodu Kdybychom chtěli vyjádřit „množství“ pohybu, záviselo by to na rychlosti, jakou se těleso pohybuje a na jeho hmotnosti. Proto se zavedla fyzikální veličina hybnost p, která určitým způsobem vyjadřuje „množství“ pohybu: Hybnost ve skutečnosti vychází z 2. Newtonova zákona. Když působíme sílou na nějaké těleso, můžeme ho uvést do pohybu, dojde tedy ke změně jeho rychlosti: Z uvedeného vztahu vyplývá, že síla působící na těleso po určitou dobu vyvolá změnu hybnosti („množství“ pohybu). Takto vyjádřený 2. pohybový zákon je obecnější, neboť zahrnuje i tělesa, které mění svojí hmotnost. Často se setkáme i s vyjádřením , kde součin levé strany rovnice se nazývá impuls síly. Změna hybnosti totiž může být stejná, když působíme velkou sílou po krátký časový úsek nebo malou sílou po dlouhý čas.

Zákon zachování hybnosti Znění: Celková hybnost všech těles v izolované soustavě se zachovává (zachovává se směr i velikost celkové hybnosti). Izolovaná soustava těles je taková, na kterou nepůsobí žádné vnější síly, resp. výslednice jejich sil je nulová.

Příklad Těleso o hmotnosti 100 g původně v klidu bylo urychleno na rychlost 108 km/hod. Jak velký byl impuls síly? m = 100 g = 0, 1 kg v = 108 km/hod = 30 m. s-1 F. t = ? N. s

Příklad Těleso o hmotnosti 10 kg padalo volným pádem a při dopadu mělo hybnost 200 kg. m. s-1. Použijte pro gravitační zrychlení hodnotu 10 m. s-2 a odpor vzduchu zanedbejte. Z jaké výšky padalo? m = 10 kg p = 200 kg. m. s-1 g = 10 m. s-2 h = ? m

Dostředivá síla Když se hmotný bod pohybuje po kružnici rovnoměrně i bez zrychlení, rychlost svůj směr přesto mění. Následkem toho je vznik dostředivého zrychlení ad, jehož velikost je dána vztahem: Příčinou vzniku zrychlení je vždy nějaká síla, v tomto případě síla dostředivá: Původ síly může být různý – tah, gravitace, magnetismus… Pokud se hmotný bod otáčí i se zrychlením, k odstředivému zrychlení se navíc přidá i tečné zrychlení, které mění velikost rychlosti.

Odstředivá síla Existují dva typy odstředivé síly, které se často mylně nazývají jako jediná „odstředivá síla“. Rozdíl spočívá v pozorovateli. Odstředivá síla jako reakce Odstředivá síla vzniká jako reakce na sílu dostředivou; má stejnou velikost, ale opačný směr. Jde o sílové působení auta na cestu. Je to tedy síla skutečná. Setrvačná odstředivá síla Aby „panáček“ zůstal v jedoucím autě v klidu, musí na něj působit ještě nějaká síla, která je opačná k síle dostředivé. Její původ není v silovém působení jiných těles, ale vzniká jako důsledek setrvačnosti pohybu (není to skutečná síla).

Příklad Velikost dostředivé síly při rovnoměrném pohybu tělesa o hmotnosti 500 g po kružnici o průměru 1 m s frekvencí 10 Hz je přibližně…? m = 500 g = 0, 5 kg f = 10 Hz d = 1 m r = 0, 5 m Fd = ? N

Příklad Při rovnoměrném pohybu kuličky o hmotnosti 10 g po kružnici o poloměru 60 cm byla její hybnost 15, 072 kg. m. s-1. Jaká byla frekvence jejího pohybu? m = 10 g = 0, 01 kg p = 15, 072 kg. m. s-1 r = 60 cm = 0, 6 m f = ? Hz

Mechanická práce je konána tehdy, když na těleso působí nějaká síla a těleso se pak pohybuje. Síla, která působí na těleso, má dvě složky: Normálová složka Fn – snaží se těleso „zvednout“ ze země (pokud je vetší než tíhová síla, těleso bude vyzdviženo nad povrch země). Tečná složka Ft – snaží se těleso „táhnout“ ve směru pohybu. Výsledná mechanická práce W je dána výslednou sílou, která působí po dráze s: Pokud působící síla svírá se směrem pohybu konstantní úhel, můžeme velikost vykonané práce psát: Obvykle mezi povrchem a pohybujícím se předmětem existuje i „tření“, kterého velikost je ovlivněna normálovou složkou síly: f – součinitel smykového tření

Potenciální a kinetická energie Tíhová potenciální energie je zapříčiněná gravitačním polem Země a proto tělesa nacházející se v různé výšce od zvolené nulové hladiny mají různou velikost potenciální energie: Kinetická energie Kinetickou energii mají všechna tělesa, která se vzhledem k vztažné soustavě pohybují. Její velikost je dána vztahem: Tíhová síla může taky konat práci, která je dána rozdílem potenciální energie tělesa mezi dvěma místy: Pokud bylo těleso na začátku v klidu, pak síla, která rozpohybovala těleso, koná práci, která má stejnou velikost jako kinetická energie pohybujícího se tělesa:

Mechanická energie a zákon zachování energie Celková energie izolované soustavy zůstává konstantní při všech dějích, které v ní probíhají. Zákon zachování energie platí pro všechny typy energie, tedy i pro mechanickou:

Výkon, příkon, účinnost Když si chceme koupit v obchodě nějaký elektrický spotřebič či mechanický nástroj, obvykle nás zajímá, jak dokáže pracovat, abychom nevyhodili peníze. Proto se zavedli veličiny jako je výkon, příkon a účinnost. Ty nám řeknou, jak „dobře“ přístroj pracuje. Příkon Výkon je charakterizován jako podíl práce a doby, za kterou se daná práce vykonala: Čím více práce nějaký přístroj vykoná za určitou časovou jednotku, tím je výkonnější. Výkon představuje práci, kterou skutečně získáme z přístroje za určitý čas. Při konání práce nějakým strojem obvykle dochází i ke ztrátám energie (uniklé teplo, tření, přeměna na jinou nepotřebnou energii…). Příkon tedy představuje tu část energie (resp. práce), kterou potřebuje stroj na svůj chod nebo která se ztratí a na práci nevyužije: Účinnost je pak dána podílem výkonu a příkonu: Na závěr lze tedy říct, že koupit bychom si měli přístroj, který má velký výkon, malý příkon a velkou účinnost.

Příklad Při rovnoměrném pohybu hmotného bodu o hmotnosti 50 g po kružnici o průměru 50 cm s frekvencí 50 Hz je jeho kinetická energie přibližně…? m = 50 g = 0, 05 kg f = 50 Hz d = 50 cm r = 0, 25 m Ek = ? J

Příklad Těleso o hmotnosti 20 kg spadlo volným pádem z výšky 20 m. Použijte pro gravitační zrychlení hodnotu 10 m. s-2 a odpor vzduchu zanedbejte. Jeho kinetická energie při dopadu byla…? m = 20 kg h = 20 m g = 10 m. s-2 Ek = ? J Platí zákon zachování energie, takže v momentu dopadu bude velikost kinetické energie stejná, jako potenciální energie ve výšce 20 metrů.