Meccatronica Applicata Applicazioni Matematiche e tecnologie delle macchine

Meccatronica Applicata Applicazioni Matematiche e tecnologie delle macchine automatiche Ing Gabriele Canini KPL Packaging spa Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata Applicazioni matematiche a casi industriali nelle macchine automatiche 1) Come fare poca fatica (ottimizzazione risorse software e computazionali) - interpolazione leggi di moto polinomiali 2) Come spendere meno (ottimizzazione costi attuatori) - dimensionamento ottimo trasmissione cinematica Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : MOTORE RIDUTT Interpolazione Polinomiale T. CINGHIA NASTRO, M. TRASLANTE Y ATTUATORE 1: n Z 1 : Z 2 TRASMISSIONE Dx p CARICO Ci interessa descrivere la legge di moto del mezzo operativo Y rispetto ad un master di macchina X Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : 6 g. d. v : servono 6 g. d. l che possono essere fissati nei 6 coeff di un polinomio di 5° grado YY slave Interpolazione Polinomiale r. N r. K r 2 r 1 0 X master 360 [°] 1 [ciclo] Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale Y r. K X Dati i vincoli geometrici nei punti bisogna determinare i coefficienti del polinomio interpolante Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale Vincoli in Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale Le eq. 1. 5) – 1. 10) possono essere riscritte in forma matriciale Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale Risolvendo il sistema 1. 11) o 1. 12) di ordine 6 x 6 si ricava il vettore coefficienti del polinomio in funzione dei vincoli geometrici. La soluzione deve essere SIMBOLICA e non Numerica perché : 1) La precisione della soluzione peggiora tanto più la matrice condizionata. è mal Ing Gabriele Canini dei

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale 2) Poiché al cambiare del formato di macchina cambiano i vincoli del profilo di moto (da a ) è meglio assegnare in forma chiusa i coefficienti del polinomio così da adattarli a qualunque situazione e non avere errori numerici 3) Normalmente i computer di macchina non dispongono di librerie matriciali, (questo non è un vero ostacolo) Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale Il sistema 6 x 6 non si riesce ad invertire agevolmente a mano (ore di lavoro e alto rischio di sbagliare). Tanto meno aiutano i risolutori simbolici tipo Maple V o Mathematica perché non forniscono espressioni semplificate (sparano 40 pag di calcoli da ridurre a posteriori manualmente) Serve un’alternativa ASTUTA !! Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale ALTERNATIVA : Traslando il punto di inizio del ramo rk nell’origine si risolvono immediatamente 3 g. d. l ed il sistema totale si riduce ad un problema 3 x 3 Y r. K X spazio originale spazio traslato Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale Infatti calcolando i vincoli di spazio, velocità ed accelerazione nel punto master si ottengono immediatamente i primi 3 coeff. di grado più basso del nuovo polinomio interpolante nello spazio traslato: r. K Vincoli in Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale Scrivendo le equazioni di vincolo nel punto e combinandole con le 1. 17)-1. 18)-1. 19) si ottiene il sistema ridotto ad un 3 x 3 Il sistema 3 x 3 si risolve agevolmente a mano e porta ad espressioni semplici facilmente implementabili in qualunque calcolatore di controllo di una macchina automatica Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale L’algoritmo per i coeff. del polinomio 5° grado traslato : Dati i vincoli geometrici nei punti traslazione coeff. di grado 0, 1, 2 variabili ausiliare (colonna termini noti) coeff. di grado 3, 4, 5 Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale Per calcolare il polinomio interpolante nel dominio originale si trasla all’indietro il polinomio interpolante così ottenuto Questa soluzione è molto comoda da implementare con cicli di calcolo iterativi nei computer della macchina automatica Successivamente si itera il metodo a tutti i rami della legge di moto Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale Polinomio di 3° Grado : I vincoli sono solo in posizione e velocità (no accelerazione) nei punti. Applicando il solito criterio della traslazione : Y r. K X spazio originale spazio traslato Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale L’algoritmo per i coeff. del polinomio 3° grado traslato : Dati i vincoli geometrici nei punti traslazione coeff. di grado 0, 1 variabili ausiliare coeff. di grado 2, 3 Ing Gabriele Canini

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale DOMANDE ? Ing Gabriele Canini