MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Notions de base CINEMATIQUE

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Notions de base CINEMATIQUE DEFORMATIONS CONTRAINTES Loi de comportement ELASTICITE Méthodes de résolution METHODES SEMI-INVERSES METHODES ENERGETIQUES METHODES NUMERIQUES Applications APPLICATION AUX POUTRES Compléments CALCUL TENSORIEL MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS R. FORTUNIER fin

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CINEMATIQUE Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d ’un solide Continuité de la matière Description d’une transformation Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Ligne d’émission Transport de quantités Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple CINEMATIQUE fin

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CINEMATIQUE Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d ’un solide Continuité de la matière Description d’une transformation v Configuration P u Description lagrangienne Description eulérienne Ligne d’émission Transport de quantités P Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire x Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires X Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple P : point « matériel »

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin CINEMATIQUE Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d ’un solide Continuité de la matière Description d’une transformation Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Ligne d’émission Transport de quantités Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple Le solide est en équilibre sous l’action des forces extérieures * S (forces extérieures) = variation de la quantité de mouvement * S (moments) = variation du moment de quantité de mouvement

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CINEMATIQUE Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d ’un solide Continuité de la matière Description d’une transformation Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Ligne d’émission Transport de quantités Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple Des forces de cohésion assurent la continuité de la matière * vision macroscopique * « masse » d’un élément de volume : dm = r dv fin

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CINEMATIQUE Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d ’un solide C(t) Continuité de la matière Description d’une transformation C 0 Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Ligne d’émission Transport de quantités Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple configuration de référence : C 0 : description lagrangienne C(t) : descrition eulérienne

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CINEMATIQUE Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d ’un solide Continuité de la matière Description d’une transformation C 0 v Configuration P Description lagrangienne Description eulérienne Ligne d’émission Transport de quantités P Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire x Transport d ’une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires X Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple coordonnées d'un point : x = ( X , t ) avec ( X , 0 ) = X vitesse d'un point : v = dx / dt = / t

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CINEMATIQUE Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d ’un solide C(t) Continuité de la matière Description d’une transformation v Configuration P Description lagrangienne Description eulérienne Ligne d’émission Transport de quantités P Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire x Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires X Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple vitesse d'un point : v( x , t) coordonnées d'un point : x = X à t=0, puis dx = v(x, t)dt

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CINEMATIQUE Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d ’un solide maquette du Concorde (document ONERA) cargo échoué Continuité de la matière Description d’une transformation Configuration Description lagrangienne P Description eulérienne Ligne d’émission Transport de quantités Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple ligne d'émission du point P trace produite sur la mer (ligne d'émission du cargo)

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CINEMATIQUE Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d ’un solide Continuité de la matière Description d’une transformation Configuration P u Description lagrangienne Description eulérienne Ligne d’émission Transport de quantités P Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire x Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires X Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple * déplacement du point P : u ( X, t) = x - X * déplacement autour du point P : grad(u) = grad(x) – I = F(X, t) - I tenseur gradient de la transformation

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CINEMATIQUE Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d ’un solide Continuité de la matière Description d’une transformation Configuration Description eulérienne Ligne d’émission Transport de quantités P u Description lagrangienne P dx d. X Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire x Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire X Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple x = X + u dx = (I + grad(u) ). d. X = F. d. X

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CINEMATIQUE Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d ’un solide Continuité de la matière Description d’une transformation Configuration P dv Description lagrangienne Description eulérienne Ligne d’émission Transport de quantités P d. V Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire x Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire Équations de bilan X Dérivées particulaires Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple d. V = [d. X, d. Y, d. Z] dv = [dx, dy, dz] = [F. d. X, F. d. Y, F. d. Z] = J d. V avec J = det(F)

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CINEMATIQUE Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d ’un solide n Continuité de la matière Description d’une transformation Configuration P ds Description lagrangienne N Description eulérienne Ligne d’émission Transport de quantités Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire P d. S x Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires X Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple d. S = Nd. S et d. V = d. S. d. Z ds = nds et dv = ds. dz = Jd. V, avec dz = F. d. Z ds = J(F-1)t. d. S avec J = det(F)

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CINEMATIQUE Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d ’un solide Continuité de la matière Description d’une transformation v Configuration P Description lagrangienne Description eulérienne Ligne d’émission Transport de quantités P Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire x Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires X Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple Évolution d’une grandeur physique « f ( x, t) » au cours du temps ? df / dt = f / t + f / xi. dxi / dt = f / t + v. grad(f)

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CINEMATIQUE Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d ’un solide Continuité de la matière Description d’une transformation v Configuration P Description lagrangienne Description eulérienne Ligne d’émission Transport de quantités P Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire x Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires X Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple m = dm = r dv = cste dr / dt + r div(v) = 0

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CINEMATIQUE Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d ’un solide a 2 Continuité de la matière Description d’une transformation Configuration Description lagrangienne Description eulérienne u P Ligne d’émission Transport de quantités P X Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire x Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire Équations de bilan Dérivées particulaires a 1 Conservation de la masse Exemples 1 - Cisaillement simple Description lagrangienne : Description eulérienne : x 1 = X 1 + 2 at. X 2 v 1 = 2 ax 2 = X 2 x 3 = X 3 v 2 = 0 v 3 = 0

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS DEFORMATIONS Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps Formulation en déplacements Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé DEFORMATIONS fin

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS DEFORMATIONS Comment décrire la transformation de ce solide ? Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps Formulation en déplacements Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé Il faut utiliser : - un déplacement de corps solide - une déformation - une rotation fin

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS DEFORMATIONS Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement C(t) Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps C 0 v v+dv P Formulation en déplacements Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions P Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Hypothèse des petites perturbations x Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique X Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé vitesse d'un point : v( x , t) . vitesse autour du point P : dv = grad. X(v). d. X = grad. X(v). F-1. dx = F. F-1. dx. Tenseur gradient des vitesses de déplacement : L = F. F-1

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS DEFORMATIONS Cadre général Tenseur « taux de déformation » Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement Tenseurs taux de déformation et de rotation D = ½ (L+Lt) Intégration dans le temps Formulation en déplacements L = D+W Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur « taux de rotation » Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé W = ½ (L-Lt)

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS DEFORMATIONS Comment intégrer dans le temps les tenseurs taux de déformation et de rotation ? Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps Formulation en déplacements Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations C 0 C(Dt) C(2 Dt) etc… Conditions aux limites Bilan Résumé La configuration est actualisée à la fin de chaque incrément de temps Configuration « lagrangienne réactualisée »

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS DEFORMATIONS Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement C(t) Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps C 0 dy Formulation en déplacements P Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations d’Euler-Almansi P d. Y d. X Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé dx dx. dy = d. X. Ft. F. d. Y C : tenseur des dilatations

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS DEFORMATIONS Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement C(t) Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps C 0 dx Formulation en déplacements P Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions P Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Hypothèse des petites perturbations d. X NX Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé Dilatation l (ou changement de longueur) dans la direction NX : l(NX) = dx / d. X = NX. C. NX

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS DEFORMATIONS a? Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement C(t) Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps C 0 NY Formulation en déplacements Tenseur des dilatations Angle entre deux directions dx P d. Y Dilatation dans une direction dy P Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide d. X NX Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé Glissement (ou changement d’angle a) entre les directions NX et NY : cos(a(NX, Ny)) = dx. dy / dx dy = NX. C. NY / l(NX) l(NY)

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS DEFORMATIONS Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement C(t) Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps C 0 dy Formulation en déplacements P Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations d’Euler-Almansi dx P d. Y d. X Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé dx. dy = d. X. C. d. Y = d. X. d. Y + 2 d. X. E. d. Y tenseur de Green-Lagrange : E = ½ (C-I) = ½ (Ft. F-I)

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS DEFORMATIONS Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement C(t) Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps C 0 dy Formulation en déplacements P Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations d’Euler-Almansi dx P d. Y d. X Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé dx. dy = d. X. C. d. Y = d. X. d. Y + 2 dx. e. dy tenseur d’Euler-Almansi : e = ½ (I-C-1) = ½ (I-F-t. F-1)

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS DEFORMATIONS F = I + grad(u) faibles changements de forme : F-1 I – grad(u). identification de C 0 et C(t) : F grad. X(v) Cadre général a 2 état courant Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement Tenseurs taux de déformation et de rotation d 11 = 0 Intégration dans le temps d 12 > 0 Formulation en déplacements Tenseur des dilatations d 21 = 0 Dilatation dans une direction Angle entre deux directions a 1 Tenseur des déformations de Green-Lagrange d 22 = 0 Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique état initial Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé L = grad. X(v) d = grad. X(u) ou dij = ui, j évolution de la composante ui du déplacement le long de la direction xj de l ’espace

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS d = + avec DEFORMATIONS Cadre général = ½ (d+dt) : tenseur des déformations = ½ (d-dt) : tenseur des rotations a 2 Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement état courant Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps Formulation en déplacements Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions a 1 Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique état initial Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé Tenseur des déformations - symétrique - diagonal dans le repère Tenseur des rotations - antisymétrique - « rotation » des axes

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS d = grad( u ) DEFORMATIONS F = I+d Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement C(t) Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps C 0 P Formulation en déplacements Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions P dv d. V Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Hypothèse des petites perturbations x Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique X Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé dv = det(F)d. V = det(I+d)d. V (1+tr( ))d. V En tout point du solide, la variation de volume est donnée par la trace du tenseur des déformation

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Une transformation est caractérisée par DEFORMATIONS un tenseur gradient des déplacements d = + Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement Tenseurs taux de déformation et de rotation (symétrique) donné est-il toujours le tenseur de déformation d’une ou de plusieurs transformations ? Intégration dans le temps Formulation en déplacements Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction d = + Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité doit être tel que : d. d. X = du où du est une différentielle totale Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé ki, jl+ jl, ik = kj, il + il, kj 6 équations de compatibilité

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS DEFORMATIONS Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement 0° Tenseurs taux de déformation et de rotation 45° Intégration dans le temps Formulation en déplacements Tenseur des dilatations 90° Dilatation dans une direction Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé différents points de mesure

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS DEFORMATIONS Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps Formulation en déplacements Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé tous les déplacements sont imposés nuls sur cette ligne u le vecteur déplacement est imposé ici (chargement de la structure)

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS DEFORMATIONS Cadre général Formulation eulérienne en vitesses Tenseur gradient des vitesses de déplacement Tenseurs taux de déformation et de rotation Intégration dans le temps Formulation en déplacements Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Angle entre deux directions Tenseur des déformations de Green-Lagrange Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Conditions aux limites Bilan Résumé Déformations Hypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X , t) tenseur des déformations : = ½ (grad(u) + grad(u)t) équations de compatibilité ki, jl + lj, ik = kj, il + li; jk conditions aux limites : u = U sur u :

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé CONTRAINTES fin

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Comment décrire les efforts auxquels est soumis ce solide ? Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé Il faut utiliser le tenseur des contraintes fin

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction t Signification physique du vecteur contrainte A Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes F Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé Efforts de cohésion dans A (dus à la déformation) Densité volumique de forces F Efforts de sur A (provoquant la déformation) Densité surfacique de forces t

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base C(t) Théorème de l’action et de la réaction t Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes P Signification physique des contraintes A F Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume x Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé F dv = t ds A A F x dv = t x ds A A F = div(s) t = s. n s = st Tenseur des contraintes Vecteur contrainte Le tenseur des contraintes est symétrique

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte n Différents tenseurs des contraintes t df Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé t = lim ds -> 0 df ds Le vecteur contrainte n ’est pas forcément porté par la normale à cette surface.

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS df = s. ds CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base C(t) Cauchy (eulérien, symétrique) C(t) Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression C 0 Piola-Kirchhoff (lagrangien, symétrique) C 0 Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments C(t) Piola-Lagrange C 0 vecteur contraintes surface Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Contrainte normale Contrainte tangentielle Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte sn t n Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle st Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre b ds Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé sn = t. n = sij ni nj st = t. b = sij bi nj ou st b = t - sn n

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes T Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction n T Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé Vecteur contrainte T connu sur la partie T de t = T s. n = T

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Dans un repère orthonormé (Oxyz) : Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte n 0 0 1 szz Signification physique des contraintes Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces szy szx Contraintes normale et tangentielle Équations d’équilibre syz sxz Différents tenseurs des contraintes t sxx syx sxy Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé s = sxx sxy sxz syx syy syz szx szy szz syy

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte A Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé actions sur A par le milieu extérieur - vecteur contrainte t - forces de volume fv

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES tds + fv dv = rgdv A A A Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé (div(s) + fv )dv = A rgdv A div(s) + fv = rg

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS t x ds + fv x dv = rg xdv A A A CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé (div(s) + fv - rg ) x dv + (s - s t )dv = 0 A A équilibre des forces symétrie du tenseur des contraintes

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction s = st Dans le repère « principal » : Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé s = s. I 0 0 0 s. III Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé Contraintes principales

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général contrainte moyenne : Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte s = Différents tenseurs des contraintes s 11 s 12 s 13 s 21 s 22 s 23 s 31 s 32 s 33 Signification physique des contraintes s m = 1 tr (s) 3 Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé déviateur des contraintes : Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé S = s 11 - sm s 12 s 13 s 21 s 22 - sm s 23 s 31 s 32 s 33 - sm symétrique de trace nulle

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes contrainte équivalente de von Mises : Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes 3 s = S ij Sij 2 Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé contrainte équivalente de Tresca : Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé s = Sup(|s. I -s. II|, |s. II -s. III|, |s. I -s. III|)

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Théorème de l’action et de la réaction Signification physique du vecteur contrainte Différents tenseurs des contraintes Signification physique des contraintes Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Contraintes dans un repère orthonormé Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Utilisation du tenseur des contraintes Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Bilan Résumé Contraintes Hypothèse des petites perturbations vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t = s. n avec s = s ( X, t) équations d’équilibre : sij, j + fvi = rgi conditions aux limites : s. n = T sur T

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ELASTICITE Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation L’essai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine d’élasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé ELASTICITE fin

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ELASTICITE Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation L’essai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine d’élasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé Déformations Contraintes Hypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X , t) tenseur des déformations : = ½ (grad(u) + grad(u)t) équations de compatibilité ki, jl + lj, ik = kj, il + li; jk conditions aux limites : u = U sur u : vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t = s. n avec s = s ( X, t) équations d’équilibre : sij, j + fvi = rgi conditions aux limites : s. n = T sur T Loi de comportement du matériau

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ELASTICITE Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation L’essai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine d’élasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé Galilée (1638) : Discorsi e Demonstrazioni matematiche traction flexion

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ELASTICITE Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation Hooke (1660) : L’essai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine d’élasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Relation entre déformations et contraintes en élasticité Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé Mariotte (1680) : même loi, appliquée aux expériences de Galilé (fibres tendues et conprimées en flexion) Young (1807) : notion de module d ’élasticité fin

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ELASTICITE Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation L’essai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine d’élasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan localisation élasticité Plasticité homogène partie utile élasticité Résumé

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ELASTICITE Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation s= L’essai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation section S 0 0 0 0 F/S Domaine d’élasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé Pour passer de F à s, il faut connaître la section courante S de la partie utile de l ’éprouvette

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS cinématique : X 1(1 -bt) X 2(1 -bt) X 3(1+at) x = ELASTICITE Cadre général v = -bx 1/(1 -bt) -bx 2/(1 -bt) ax 3/(1+at) lagrangien (Green-Lagrange) : Historique 0 -bt + ½b 2 t 2 E = 0 -bt + ½b 2 t 2 0 0 Résistance des solides Relation contrainte-déformation L’essai de traction Courbe force-allongement 0 0 at + ½a 2 t 2 Tenseur des contraintes Tenseur des déformations eulérien (Euler-Almansi) : 0 1 - 1 2 (1 -bt) Courbe contrainte-déformation Domaine d’élasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée E = Énergie de déformation élastique 0 1 - 1 (1 -bt)2 0 0 0 1 - 1 (1+at)2 Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé En pratique, intégration du champ de vitesses de déformation ln (1 -bt) = 0 0 ln (1 -bt) 0 0 0 ln (1+at)

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ELASTICITE Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation L’essai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations s 33=F/S Courbe contrainte-déformation Domaine d’élasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé 33= ln(1+at)=ln(l/l 0)

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ELASTICITE Module d ’Young Coefficient de Poisson Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation L’essai de traction Courbe force-allongement s 33= E 33 Tenseur des contraintes Tenseur des déformations E Courbe contrainte-déformation Domaine d’élasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé -n 0 0 s = s 33 0 0 0 1 = 33 0 0 -n 0 0 0 1

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ELASTICITE Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation L’essai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine d’élasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope s = C: Tenseur des rigidités = S: s Tenseur des complaisances s 11 s 22 s 33 s 23 s 12 = Ordre 4 81 termes !! C 1111 C 1122 C 1133 C 1123 C 1112 11 C 2222 C 2233 C 2223 C 2212 C 3311 C 3322 C 3333 C 3323 C 3312 C 2311 C 2322 C 2333 C 2323 C 2312 C 1311 C 1322 C 1333 C 1323 C 1312 C 1211 C 1222 C 1233 C 1223 C 1212 22 33 2 23 2 12 Bilan Résumé 36 coefficients !!!!

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Travail mécanique fourni : s. d Taux de chaleur reçu : Tds ELASTICITE Cadre général Historique Par unité de volume en cours de transformation : de = dw + dq Résistance des solides Relation contrainte-déformation L’essai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine d’élasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé sij = w ij = Cijkl kl Cijkl = 2 w ij kl Cijkl = Cklij Le tenseur des rigidités a 6 x 7/2 = 21 composantes indépendantes !!!

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ELASTICITE Cadre général même comportement dans trois directions orthogonales Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation L’essai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine d’élasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan s 11 s 22 s 33 s 23 s 12 = C 11 C 12 0 0 0 11 C 12 C 11 C 12 0 0 0 C 12 C 11 0 0 0 C 44 0 0 0 C 44 22 33 2 23 2 12 Résumé Le tenseur des rigidités a trois composantes indépendantes (C 1111, C 12 C 1122, C 44 C 1212)

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ELASTICITE Cadre général même comportement dans toutes les directions Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation L’essai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine d’élasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan s 11 s 22 s 33 s 23 s 12 l+2 m l = l l+2 m l l l+2 m 0 0 0 11 0 0 0 22 33 2 23 2 12 0 0 0 m 0 0 0 m Résumé Le tenseur des rigidités a deux composantes indépendantes (l = C 11, m = C 44) : les coefficients de Lamé Quel est le lien entre les coefficients de Lamé (l, m) et les paramètres (E, n) ?

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ELASTICITE Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation L’essai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine d’élasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé Déformations Contraintes Hypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X , t) tenseur des déformations : = ½ (grad(u) + grad(u)t) équations de compatibilité ki, jl + lj, ik = kj, il + li; jk conditions aux limites : u = U sur u : vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t = s. n avec s = s ( X, t) équations d’équilibre : sij, j + fvi = rgi conditions aux limites : s. n = T sur T Comportement élastique linéaire isotrope sij = 2 m ij + ltr( )dij

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES SEMI-INVERSES Résumé Inconnues et équations Équations de base Approches en déplacements et en contraintes Résolution en déplacements Résolution en contraintes Le tube sous pression Géométrie et cinématique Contraintes et déformations Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats METHODES SEMI -INVERSES fin

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES SEMI-INVERSES Résumé Inconnues et équations Équations de base Approches en déplacements et en contraintes Résolution en déplacements Résolution en contraintes Le tube sous pression Géométrie et cinématique Contraintes et déformations Déformations Contraintes Hypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X , t) tenseur des déformations : = ½ (grad(u) + grad(u)t) équations de compatibilité ki, jl + lj, ik = kj, il + li; jk : vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t = s. n avec s = s ( X, t) équations d’équilibre : sij, j + fvi = rgi Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites conditions aux limites : u = U sur u conditions aux limites : s. n = T sur T Résultats Loi de comportement : s ij = 2 m ij + l tr( ) d ij

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES SEMI-INVERSES Résumé Inconnues et équations Équations de base Approches en déplacements et en contraintes Résolution en déplacements Résolution en contraintes Le tube sous pression Géométrie et cinématique Contraintes et déformations Déformations Contraintes Hypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X , t) tenseur des déformations : = ½ (grad(u) + grad(u)t) équations de compatibilité ki, jl + lj, ik = kj, il + li; jk : vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t = s. n avec s = s ( X, t) équations d’équilibre : sij, j + fvi = rgi Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites conditions aux limites : u = U sur u conditions aux limites : s. n = T sur T Résultats Loi de comportement : s ij = 2 m ij + l tr( ) d ij 15 inconnues (champs) 15 équations (EDP)

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES SEMI-INVERSES Résumé Inconnues et équations Équations de base Approches en déplacements et en contraintes Résolution en déplacements Résolution en contraintes Le tube sous pression Géométrie et cinématique Contraintes et déformations Déformations Contraintes Hypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X , t) tenseur des déformations : = ½ (grad(u) + grad(u)t) équations de compatibilité ki, jl + lj, ik = kj, il + li; jk : vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t = s. n avec s = s ( X, t) équations d’équilibre : sij, j + fvi = rgi Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites conditions aux limites : u = U sur u conditions aux limites : s. n = T sur T Résultats Loi de comportement : s ij = 2 m ij + l tr( ) d ij Approche en déplacements Approche en contraintes

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES SEMI-INVERSES fin équations d ’équilibre (en statique) : div( s ) + f v = 0 Résumé Inconnues et équations Équations de base utilisation de la loi de comportement et de la définition des déformations : div(s) = m div( grad(u) + grad(u) t ) + l div( tr( ) I) Approches en déplacements et en contraintes Résolution en déplacements Résolution en contraintes m D( u ) + (l+m) grad( div( u ) ) + f v = 0 Le tube sous pression Géométrie et cinématique Contraintes et déformations Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats déformation pure ( u = grad( f ) ) : ( l+2 m ) D( u ) + fv = 0 matériau incompressible ( div( u ) = 0 ) : m D( u ) + fv = 0 thermo-élasticité linéaire ( gradients thermiques ) : fv --> fv - ( 3 l+2 m ) a grad( Dt )

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES SEMI-INVERSES équations de compatibilité : D( ) + grad( tr( ))) = grad(div( )) + grad(div( ))t Résumé Inconnues et équations Équations de base Approches en déplacements et en contraintes Résolution en déplacements Résolution en contraintes Le tube sous pression Géométrie et cinématique Contraintes et déformations loi de comportement : = 1 l s- 2 m tr( s ) I 2 m ( 3 l + 2 m ) D(s) + 2( l+m) grad( tr(s))) 3 l + 2 m t + grad(fv)+grad( fv) - Résolution en déplacements l div( fv) I= 0 l + 2 m Résolution en contraintes Conditions aux limites forces volumiques homognènes (indépendantes de X) : Résultats D( s ) + 2( l + m ) 3 l + 2 m grad( tr( s ) ) ) = 0

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES SEMI-INVERSES Résumé Inconnues et équations Équations de base pression p 0 pression p 1 Approches en déplacements et en contraintes Résolution en déplacements Résolution en contraintes Le tube sous pression Géométrie et cinématique Contraintes et déformations Résolution en déplacements r 0 r 1 r Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats u(r) coordonnées cylindriques : u(r, q, z) = 0 0

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES SEMI-INVERSES Résumé Inconnues et équations Équations de base Approches en déplacements et en contraintes = Résolution en déplacements Résolution en contraintes u’ 0 0 0 u/r 0 0 Le tube sous pression gradient en coordonnées cylindriques !!! Géométrie et cinématique Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats 0 0 0 (l+2 m)u/r+lu’ 0 0 0 (l+2 m)u’+lu/r Contraintes et déformations s= lu/r+lu’

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES SEMI-INVERSES ( (l+2 m)u’+lu/r )’ + 2 m( u’-u/r) /r = 0 Résumé Inconnues et équations Équations de base Approches en déplacements et en contraintes Résolution en déplacements Résolution en contraintes Le tube sous pression Géométrie et cinématique div( s ) = 0 0=0 divergence en coordonnées cylindriques !! Contraintes et déformations Résolution en déplacements Résolution en contraintes u’’ + u’/r - u/r 2= 0 Conditions aux limites Résultats u = ar + b/r

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES SEMI-INVERSES Résumé Inconnues et équations Équations de base Approches en déplacements et en contraintes Résolution en déplacements D( s ) et grad( tr( s ) ) ) ? Expressions très complexes en coordonnées cylindriques !! Résolution en contraintes Le tube sous pression Géométrie et cinématique On estime s en fonction du champ de déplacements : u = ar+b/r : Contraintes et déformations 2(l+m)a-2 mb/r 2 Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats s= 0 0 2(l+m)a+2 mb/r 2 0 0 2 la

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES SEMI-INVERSES -1 p 0 face interne (r = r 0) : n = 0 t = 0 0 0 Résumé Inconnues et équations Équations de base n Approches en déplacements et en contraintes Résolution en déplacements t Résolution en contraintes Le tube sous pression (p 1) (p 0) 2(l+m)a-2 mb/r 02 = -p 0 Géométrie et cinématique Contraintes et déformations Résolution en déplacements r 0 r r 1 Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats s. n = t -srr (r=r 0) = p 0 t n 1 -p 1 face externe (r = r 1) : n = 0 t = 0 0 0 s. n = t srr (r=r 1) = -p 1 2(l+m)a-2 mb/r 12 = -p 1

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES SEMI-INVERSES Résumé Inconnues et équations 2(l+m)a-2 mb/r 02 = -p 0 2(l+m)a 22 mb/r 12 = -p 1 1 - Équations de base Approches en déplacements et en contraintes Résolution en déplacements Résolution en contraintes Le tube sous pression (p 1=0) s = p 0 r 12 r 0 2 r 12 -r 0 2 r 2 0 0 0 r 12 1+ r 2 0 0 Géométrie et cinématique Contraintes et déformations l 0 l+m Résolution en déplacements s. T Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats s. T = 2 p 0 r 0 2 r 12 -r 0 2 r 12 r 0 r 1

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES ENERGETIQUES Résumé Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes d’objectivité et d’équilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Exemple : allongement d ’une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution METHODES ENERGETIQUES fin

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES ENERGETIQUES Résumé Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes d’objectivité et d’équilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Exemple : allongement d ’une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Déformations Contraintes Hypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X , t) tenseur des déformations : = ½ (grad(u) + grad(u)t) équations de compatibilité ki, jl + lj, ik = kj, il + li; jk conditions aux limites : u = U sur u : vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t = s. n avec s = s ( X, t) équations d’équilibre : sij, j + fvi = rgi conditions aux limites : s. n = T sur T Encadrement de la solution Loi de comportement : s ij = 2 m ij + l tr( ) d ij

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES ENERGETIQUES Comment estimer la rigidité de ce ressort ? Il faut le déformer un peu !!! Résumé Principe des puissances virtuelles l 0+Dl Cadre général Axiomes d’objectivité et d’équilibre -Fdl + W = 0 Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA l 0 Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle l 0 Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Travail des forces intérieures Travail des forces extérieures Exemple : allongement d ’une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution Dl x Mouvement virtuel (il ne sert qu à estimer k) F(x) = k(l-l 0) W = 1/2 k(Dl)2

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin METHODES ENERGETIQUES Résumé Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes d’objectivité et d’équilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle OBJECTIVITE La puissance virtuelle des efforts intérieurs associés à tout mouvement de corps rigide est nulle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Exemple : allongement d ’une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution EQUILIBRE La puissance virtuelle des efforts intérieurs (Pi) et extérieurs (Pe) est égale à celle des accélérations (Pa)

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES ENERGETIQUES Pi = div(s). vdv - (s. n). vdv = -s: grad(v)dv Résumé Principe des puissances virtuelles Cadre général d Pi + Pe = Pa avec Pe = f. v dv + t. v ds d Axiomes d’objectivité et d’équilibre Pa = Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA r g. v dv Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle v, Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution (div(s) + f - rg). v dv + (t-s. n). v dv = 0 Exemple : allongement d ’une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements OU Equations d’équilibre Définition de s Approche en contraintes Encadrement de la solution v, s : grad(v) dv - f. v dv + rg. v dv - t. v dv = W(s, v) = 0 Fonctionnelle à annuler

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES ENERGETIQUES u, s : grad(u) dv - f. u dv + rg. u dv - t. u dv = 0 Résumé Principe des puissances virtuelles Cadre général W(s, u) : fonctionnelle à annuler Axiomes d’objectivité et d’équilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution u C. C. A. u = U sur U s C. S. A. div(s) + f = rg s. n = T sur T Exemple : allongement d ’une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES ENERGETIQUES u = u 0 + du avec u C. C. A. et u 0 solution réelle Résumé s = s(u) = C : grad(u) Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes d’objectivité et d’équilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA P p W = W(u, du) =. du = 0 u Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution P p(u) = (1/2) t grad(u): C: grad(u) dv f. u dv - T. u ds Exemple : allongement d ’une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution Energie potentielle (minimale !!) T

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES ENERGETIQUES s = s 0 - ds avec s C. S. A. et s 0 solution réelle Résumé grad(u) = S : s Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes d’objectivité et d’équilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA W = W(s, ds) = P c s : ds = 0 Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Pc (s) = - (1/2) s: S: s dv + (s. n). U ds U Exemple : allongement d ’une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution Energie complémentaire (maximale !!)

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES ENERGETIQUES Résumé Principe des puissances virtuelles u(X, t) C. C. A. Pp(u) Borne supérieure Cadre général Axiomes d’objectivité et d’équilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle u 0(X, t), s 0 (X, t) solution réelle Approche en déplacements – énergie potentielle Pp(u 0) P c (s 0 ) Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Exemple : allongement d ’une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution s(X, t) C. S. A. P c (s ) Borne inférieure

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES ENERGETIQUES Problème uniaxial (u(x)) : Résumé xx= = u’(x) Principe des puissances virtuelles Cadre général Axiomes d’objectivité et d’équilibre 0 sxx = s = E u’(x) Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Solution réelle : Approche en déplacements – énergie potentielle div(s) = Eu’’(x) = 0 Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution u(0) = 0 Exemple : allongement d ’une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes u(L) = U L U Encadrement de la solution x u(x) = (U/L)x s(x) = E(U/L)

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES ENERGETIQUES 0 Résumé Principe des puissances virtuelles Recherche d ’un C. C. A. u(x) ? Cadre général Axiomes d’objectivité et d’équilibre u(x) = U (x/L)n Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle L U Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Exemple : allongement d ’une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes x Energie potentielle associée Pp ? L P p (n) = (1/2) Encadrement de la solution S 0 ESU 2 s dv = 2 L n 2 2 n-1 Minimum de l ’énergie potentiel ? d. P p dn =0 n=1

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES ENERGETIQUES 0 Résumé Recherche d ’un C. S. A. s(x) ? Principe des puissances virtuelles Cadre général s = a Axiomes d’objectivité et d’équilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle L U Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire Encadrement de la solution Exemple : allongement d ’une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements Approche en contraintes Encadrement de la solution x Energie complémentaire associée Pc ? L Pc(a)= -(1/2) s 2/Edv + s. Uds S 0 S SL 2 =Sa. Ua 2 E Maximum de l ’énergie complémentaire ? d. P c da =0 a= EU L

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES ENERGETIQUES Pp Résumé Principe des puissances virtuelles Cadre général Pc Axiomes d’objectivité et d’équilibre Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en déplacements – énergie potentielle Approche en contraintes – énergie complémentaire 1/2 ES 2 U L 1/2 Encadrement de la solution n Exemple : allongement d ’une barre Géométrie et cinématique Approche en déplacements ES 2 U L 1/2 1 a EU L Approche en contraintes Encadrement de la solution Rigidité de la barre !

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES NUMERIQUES Cadre général démarche Modèle physique Théorème des résidus pondérés Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis Discrétisation Assemblage Résolution Exemple : barre sous son poids Solution analytique Discrétisation Assemblage Résolution METHODES NUMERIQUES fin

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES NUMERIQUES Comment se déforme chaque ressort ? R ? u 1=0 Cadre général démarche Il faut faire le bilan des forces sur différents points !! k 1 Modèle physique Bilan au point 1 : k 1. u 2 - R = 0 Théorème des résidus pondérés Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine u 2 ? Bilan au point 2 : k 2 Méthode des éléments finis - k 1. u 2 + k 2. (u 3 -u 2) = 0 Discrétisation Assemblage Bilan au point 3 : u 3 ? P P - k 2. (u 3 -u 2) = 0 u Exemple : barre sous son poids Solution analytique Discrétisation -k 1 -k 2 k 2 -k 2 R = k 1. u 2 u 3 0 R = P = -P P/k 1 0 Point 3 Résolution P/k 1+P/k 2 Point 2 Assemblage Point 1 Résolution

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES NUMERIQUES Cadre général On fait une approche en déplacements (on cherche u(X) C. C. A. tel que. . . ) démarche Modèle physique Théorème des résidus pondérés Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis Discrétisation Assemblage Résolution Exemple : barre sous son poids Solution analytique Discrétisation Assemblage Résolution R(u) = div(s(u)) + f = 0 dans u = U sur U s(u). n = T sur T fin

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES NUMERIQUES Cadre général démarche Modèle physique Théorème des résidus pondérés Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine R(u) = div(s(u)) + f = 0 dans u = U sur U s(u). n = T sur T Méthode des éléments finis Discrétisation Assemblage Résolution Exemple : barre sous son poids Solution analytique Discrétisation Assemblage Résolution v. (div(s(u)) + f)dv = 0 u = U sur U s(u). n = T sur T Fonctions de pondération

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES NUMERIQUES Théorème de la divergence Cadre général + v = 0 sur U démarche Modèle physique Théorème des résidus pondérés v. (div(s(u)) + f)dv = 0 Formulation intégrale faible Approximation de Galerkin Méthode des éléments finis Discrétisation Assemblage Résolution u = U sur U s(u). n = T sur T C. L. « naturelles » Exemple : barre sous son poids Solution analytique Discrétisation Assemblage Résolution v. fdv + v. Tds - grad(v): s(u)dv = 0 T u = U sur U v = 0 sur U C. L. « essentielles »

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES NUMERIQUES Trouver u(X) C. C. A. tel que pour tout v(X) nul sur U : Cadre général démarche Modèle physique v. fdv + v. Tds - grad(v): s(u)dv = 0 T Théorème des résidus pondérés Formulation intégrale faible Approximation de Galerkin Méthode des éléments finis Discrétisation Assemblage Résolution Exemple : barre sous son poids Solution analytique Discrétisation Assemblage Résolution Choix de fonctions identiques et particulières pour u(X) et v(X) fin

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES NUMERIQUES Cadre général démarche Modèle physique Théorème des résidus pondérés Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis v(x) = P 1(x)v 1 + P 2(x)v 2 + P 3(x)v 3 Discrétisation Assemblage grad(v(x)) = grad(P 1(x)) v 1 + grad(P 2(x)) v 2 + grad(P 3(x)) v 3 Résolution Exemple : barre sous son poids Solution analytique Discrétisation Assemblage Pei f dv + Résolution M Ne S S vei. e=1 i=1 e - Pei T ds e T grad(Pei ). s(u) dv e =0

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES NUMERIQUES Pei f dv + M Ne Cadre général démarche Modèle physique Théorème des résidus pondérés S S vei. e=1 i=1 e - Pei T ds e T =0 grad(Pei ). s(u) dv e Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis Discrétisation Assemblage e Ti (u) N S i=1 vi. Ri (u) = 0 Résolution Exemple : barre sous son poids Solution analytique Discrétisation Ri (u) A e = (Ti (u)) e=1 Assemblage Résolution Trouver un champ de déplacements u(X), càd des vecteurs u 1, …, u. N, tels que : Ri (u 1, …, u. N) = 0 si ui inconnu M

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES NUMERIQUES Trouver un champ de déplacements u(X), càd des vecteurs u 1, …, u. N, tels que : Cadre général démarche Ri (u 1, …, u. N) = 0 si ui inconnu Modèle physique Théorème des résidus pondérés Formulation intégrale faible R Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis Discrétisation Assemblage Résolution Pb : calcul et inversion de la matrice tangente ! Exemple : barre sous son poids Solution analytique Discrétisation Assemblage Résolution u

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES NUMERIQUES = = u’(x) xx 0 sxx = s = E u’(x) Cadre général démarche div(s) = Eu’’(x) = -rg f = rg Modèle physique Théorème des résidus pondérés u(0) = 0 Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine s(L) = 0 Méthode des éléments finis Discrétisation Assemblage Résolution Exemple : barre sous son poids Solution analytique Discrétisation Assemblage Résolution L rg. L u(x) = E (1 -x/2 L)x s(x) = rgl(1 -x/L) x rg. L 2 2 E rg. L u s L x

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES NUMERIQUES 0 nœud 1 (u 1 = 0) 1 Cadre général démarche L/2 Modèle physique élément 1 (s 1 ? ) nœud 2 (u 2 ? ) Théorème des résidus pondérés 2 Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine L Méthode des éléments finis Discrétisation élément 1 (s 2 ? ) nœud 3 (u 3 ? ) x Assemblage Résolution Calcul des résidus nodaux élémentaires (pour une section unité) : Exemple : barre sous son poids Solution analytique Discrétisation Assemblage Résolution T 1 1= 1 P 11(x)rgdv rg. L 1 P 1 s(x))dv = +s 1 4 x 1 rg. L +s 2 4 2= rg. L -s 2 4 1 rg. L P 2 1 1 T 2 = P 2 (x)rgdv s(x))dv = - s 1 4 x 1 1 T 1 2= T 2

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS METHODES NUMERIQUES 0 nœud 1 (u 1 = 0) 1 Cadre général Théorème des résidus pondérés L/2 élément 1 (s 1 ? ) nœud 2 (u 2 ? ) Formulation intégrale faible 2 Approximation de Galerkine élément 1 (s 2 ? ) Méthode des éléments finis Discrétisation Assemblage Résolution L rg. L R 1 = = +s 1 4 rg. L 1 2 R 2 = T 2 + T 1 = -s 1+s 2 2 rg. L 2 R 3 = T 2 = -s 2 4 T 11 démarche Modèle physique résidus nodaux : nœud 3 (u 3 ? ) x Exemple : barre sous son poids Equations à résoudre : Solution analytique Discrétisation Assemblage Résolution u 1 = 0 R 2 = 0 R 3 = 0 Equilibre s 1 = s 1(u 1, u 3) avec s 2 = s 3(u 1, u 3) Loi de comportement

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Elasticité linéaire : METHODES NUMERIQUES 0 nœud 1 (u 1 = 0) 1 Cadre général s=Eu’(x) élément 1 (s 1 ? ) démarche Modèle physique L/2 nœud 2 (u 2 ? ) Théorème des résidus pondérés Formulation intégrale faible 2 Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis Discrétisation Assemblage Résolution L Discrétisation Assemblage Résolution 1 -1 u 2 rg. L -2 = 4 -1 u 3 Matrice de rigidité K Vecteur sollicitation F u 1 = 0 u 2 = 3 a/4 u 3 = a rg. L s x a 3 a/4 -2 1 élément 1 (s 2 ? ) nœud 3 (u 3 ? ) Exemple : barre sous son poids Solution analytique 2 E/L s 1 =2 E/L(u 2 -u 1) s 2 =2 E/L(u 3 -u 2) u a= rg. L 2 2 E 3 rg. L/4 x L/2 L

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Cinématique Géométrie Hypothèse de Navier Contraintes et déformations Torseur des efforts Loi de comportement élastique linéaire Méthode de résolution Calcul des efforts internes Calcul des déplacements et des rotations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Équations générales Exemple APPLICATION AUX POUTRES fin

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Cinématique Géométrie Hypothèse de Navier Contraintes et déformations Torseur des efforts Loi de comportement élastique linéaire Méthode de résolution Calcul des efforts internes Calcul des déplacements et des rotations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Équations générales Exemple Cette structure est un assemblage de poutres !!! Il faut utiliser la Rd. M

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS APPLICATION AUX POUTRES - section : S = ds = dx 2 dx 3 Cadre général - moments d ’ordre 1 Cinématique Géométrie x 2 ds = x 3 ds = 0 Hypothèse de Navier Contraintes et déformations Torseur des déformations - moments d ’ordre 2 Torseur des efforts Loi de comportement élastique linéaire quadratique : I 2= x 32 ds. I 3= x 22 ds Méthode de résolution Calcul des efforts internes Calcul des déplacements et des rotations produit : I 23 = x 2 x 3 ds Poutre à plan moyen chargée dans son plan Équations générales Exemple - section S massive et droite - longueur L >> les autres - courbure de L faible - profil sans discontinuité - moments de giration I = I 2 + I 3

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Cinématique Géométrie Hypothèse de Navier Contraintes et déformations Torseur des efforts Loi de comportement élastique linéaire Méthode de résolution Calcul des efforts internes Calcul des déplacements et des rotations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Équations générales Exemple Degrés de liberté : - trois déplacements u 1, u 2, u 3 - trois rotations r 1, r 2, r 3 Au cours de la déformation, la section S reste droite. Vecteur déplacement au point M : u. M = u + r GM u = torseur des déplacements r

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Vecteur déplacement au point M : u. M = u + r GM M complètement déterminé à partir de 11, 12 et 13 Cinématique Géométrie Hypothèse de Navier 11 Contraintes et déformations Torseur des efforts Loi de comportement élastique linéaire On introduit le vecteur e. M = 2 12 2 13 Méthode de résolution Calcul des efforts internes Calcul des déplacements et des rotations e. M = e + k GM Poutre à plan moyen chargée dans son plan Équations générales Exemple e k = torseur des déformations

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Cinématique Géométrie Hypothèse de Navier Contraintes et déformations Torseur des efforts Loi de comportement élastique linéaire Méthode de résolution Calcul des efforts internes Calcul des déplacements et des rotations Vecteur contrainte au point M sur un élément de S : t. M = s 11 s 12 s 13 Poutre à plan moyen chargée dans son plan Équations générales Exemple - force résultante : R = t. Mds R = torseur des efforts - moment résultant : M = GM t. Mds M

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Cinématique Géométrie Hypothèse de Navier Contraintes et déformations Torseur des déformations R 1 R 2 R 3 M 1 M 2 M 3 = ES 0 0 0 0 m. S 0 0 0 0 0 m. I 0 0 EI 2 -EI 23 0 -EI 23 EI 3 . Torseur des efforts Loi de comportement élastique linéaire Méthode de résolution R Calcul des efforts internes Calcul des déplacements et des rotations = torseur des efforts M Poutre à plan moyen chargée dans son plan Équations générales Exemple e k = torseur des déformations e 1 e 2 e 3 k 1 k 2 k 3

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS APPLICATION AUX POUTRES Cadre général - force répartie : p = fvds Cinématique Géométrie Hypothèse de Navier Contraintes et déformations - couple réparti : c = GM fvds Torseur des déformations Torseur des efforts Loi de comportement élastique linéaire Méthode de résolution Calcul des efforts internes Calcul des déplacements et des rotations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Équations générales Exemple Equilibre des forces : R’ + p = 0 Equilibre des moments : M’ + x 1 R + c = 0 Conditions aux limites : R et M aux extrémités R M = torseur des efforts

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Cinématique Géométrie Hypothèse de Navier R 1 R 2 R 3 M 1 M 2 M 3 = ES 0 0 0 0 m. S 0 0 0 0 0 m. I 0 0 EI 2 -EI 23 0 -EI 23 EI 3 Contraintes et déformations . e 1 e 2 e 3 k 1 k 2 k 3 Torseur des déformations Torseur des efforts Loi de comportement élastique linéaire Méthode de résolution Calcul des efforts internes Calcul des déplacements et des rotations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Équations générales Exemple Efforts internes calculés par les équations d’équilibre Caractéristiques de la poutre (matériau et géométrie) Déformations calculées par inversion du système Courbure : r’ = k Déformation : u’ + x 1 r = e Conditions aux limites : u et r aux extrémités u = torseur des déplacements r

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Effort normal APPLICATION AUX POUTRES y R Cadre général u Effort tranchant R = N T 0 u = u v 0 Moment de flexion M = 0 0 M r = 0 0 r Cinématique Géométrie Hypothèse de Navier Contraintes et déformations Torseur des déformations M, r x Torseur des efforts Loi de comportement élastique linéaire Méthode de résolution Calcul des efforts internes Déplacement normal Flèche Calcul des déplacements et des rotations N’ + px = 0 Poutre à plan moyen chargée dans son plan Équations générales Exemple Equations d’équilibre : T’ + py = 0 M’ + T + cz = 0 r’ = kz Equations cinématiques : u’ = ex v’-r = ey Rotation

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS y R 0 M 0 APPLICATION AUX POUTRES 0 -P 0 F= Cadre général Cinématique Forme de la section de la poutre : S et Iz y Hypothèse de Navier Contraintes et déformations Torseur des déformations M(x) Diagramme de l ’effort tranchant R 0 T(x) x F x Torseur des efforts Matériau constituant la poutre : E et m Loi de comportement élastique linéaire Méthode de résolution M 0 x L Géométrie Diagramme du moment x z Calcul des efforts internes Calcul des déplacements et des rotations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Équations générales Exemple Efforts internes : N’ = 0 T’ = 0 M’ + T = 0 N = 0 T = -P M = -P(L-x) Déplacements et rotations : r’ = M/EIz u’ = 0 v’ - r = T/m. S Contribution du moment Contribution de l’effort tranchant r = -(Px/2 EIz)(2 L-x) u = 0 v = -(Px 2/6 EIz)(3 L-x) -Px/m. S

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance Le tenseur métrique Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs Géométrie différentielle Repère naturel Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point CALCUL TENSORIEL fin

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance Le tenseur métrique Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs Géométrie différentielle Repère naturel a 2 u a 2 Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs a 1 Accélération d’un point Gradient, divergence a 1 Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point E : e. v. sur un corps K u = xi ai E* : formes linéaires de E vers K u*(e) = u. e identification de E et de E* xi= u*(ai) = u. ai

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance Le tenseur métrique Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs Géométrie différentielle Repère naturel Symboles de Christoffel u a 2 b 2 Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs Accélération d’un point Gradient, divergence b 1 a 1 Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point E : e. v. sur un corps K u = xi ai = yi bi Composantes « contravariantes » xi = u. ai et yi = u. bi Composantes « covariantes »

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance Le tenseur métrique Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs y Géométrie différentielle Repère naturel x a 2 Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs a 1 Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires x. y = xi yi = gij xi yj Tenseur métrique Accélération d’un point gij = ai. aj gij = gij-1 x. y = xiyi = gijxiyj g : tenseur métrique caractérisant le système de coordonnées

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual produit tensoriel = produit des composantes Covariance et contravariance Le tenseur métrique exemple : Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs Géométrie différentielle 1 3 u v = 2 -1 3 4 3 -1 4 6 -2 8 9 -3 12 Repère naturel Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs Tenseur d ’ordre N = élément de E E E … E Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point N fois

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance Le tenseur métrique Si u E, alors u = ui ai Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur Si T E E, alors T = Tij ai aj Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs Géométrie différentielle Repère naturel Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point Composantes contravariantes Composantes covariantes Composantes mixtes

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance Le tenseur métrique Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes « physiques » d ’un tenseur = projection sur les axes de coordonnées Composantes mathématiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs Géométrie différentielle Repère naturel Si u E, alors u. I= u. ai Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point Si T E E, alors TIJ = T: ai aj

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS fin CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual X et Y deux tenseurs d’ordre 2 (c’est-à-dire sur E E) Covariance et contravariance Le tenseur métrique Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs Géométrie différentielle Repère naturel Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point Z = X+Y : ordre 2 (somme des composantes de même type) Z = X-Y : ordre 2 (différence entre des composantes de même type Z = X Y : ordre 4 (produit des composantes) Z = X. Y : ordre 2 (produit contracté) Z = X: Y : ordre 0 (produit doublement contracté)

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Repère naturel Lignes de coordonnées Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance (x 2) Le tenseur métrique Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs a 2 M a 1 (x 1) Géométrie différentielle Repère naturel Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs O Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point En chaque point M de l ’espace : ai = OM xi Tenseur métrique local (gij)

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance (x 2) Le tenseur métrique Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur a 2 Composantes physiques d ’un tenseur M Opérations sur les tenseurs a 1 (x 1) Géométrie différentielle Repère naturel Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs O Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point ai xk = Gikj aj Symboles de Christoffel

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance (x 2) Le tenseur métrique u+du Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur a 2 Composantes physiques d ’un tenseur M Opérations sur les tenseurs Géométrie différentielle a 1 u (x 1) Repère naturel Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs O Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point du = (Du)k ak = duk ak + uk dak = (duk + Gkji uj dxi) ak (Du)k = uk, i dxi uk uk, i = xi + Gkji uj Terme « convectif » dû au système de coordonnées

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Trajectoire (courbe paramétrée) Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Covariance et contravariance (x 2) Le tenseur métrique Algèbre tensorielle Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs a 2 M a 1 v Géométrie différentielle (x 1) Repère naturel Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs Accélération d’un point O Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point d. OM OM dxi = = vi ai v = Vitesse d ’un point dt xi dt Terme « convectif » dv dvi g i = + Gikl vk vl Accélération d ’un point g = dt dt

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) u = ui ai Espace vectoriel et espace dual A = Aij ai aj Covariance et contravariance (x 2) Le tenseur métrique Algèbre tensorielle u Les tenseurs euclidiens Composantes mathématiques d ’un tenseur a 2 Composantes physiques d ’un tenseur M Opérations sur les tenseurs a 1 (x 1) Géométrie différentielle Repère naturel Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs O Accélération d’un point Gradient, divergence Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point Gradient : Divergence : grad(u) = ui, j ai aj div(u) = ui, i grad(A) = Aij, k ai aj ak div(A) = Aij, j a i

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL cos(q) Repère naturel : a 1 u Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Le tenseur métrique Les tenseurs euclidiens r cos(q) a 1 (q) Algèbre tensorielle a 2 (r) a 2 Covariance et contravariance sin(q) -r sin(q) M x 2 u = ui ai (contravariantes) Composantes mathématiques d ’un tenseur ui = u. ai (covariantes) Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs Géométrie différentielle Repère naturel O x 1 Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs Accélération d’un point Gradient, divergence x 1 = r cos(q) OM x 2 = r sin(q) Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point Tenseur métrique : [gij] = Composantes physiques de u : 1 0 0 r 2 [gij] = 1 0 0 1/r 2 ur = u 1 uq = u 2 /r = r u 2

fin MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL TENSORIEL [G 1 Symboles de Christoffel : u Notions de base (cas euclidien) Espace vectoriel et espace dual Le tenseur métrique 0 -r a 1 (q) Algèbre tensorielle 0 [G 2 ij] = 0 1/r 0 (r) a 2 Covariance et contravariance Les tenseurs euclidiens ij] = 1 Tenseur métrique : M x 2 Composantes mathématiques d ’un tenseur [gij] = Composantes physiques d ’un tenseur Opérations sur les tenseurs 1 0 0 r 2 [gij] = 1 0 0 1/r 2 Géométrie différentielle Repère naturel O x 1 Symboles de Christoffel Différentielle absolue, dérivée covariante Expression de quelques opérateurs Accélération d’un point Gradient, divergence x 1 = r cos(q) OM x 2 = r sin(q) Exemple 1 : coordonnées polaires Tenseur métrique Accélération d’un point Accélération radiale d’un point : vr = 0 gr = g 1 = dv 1 dt + G 1 kl vk vl = gr = - vq 2 / r dvr dt - r (vq /r)2