Mdulo IV Leis de potncia e autosimilaridade Paulo

Módulo IV: Leis de potência e auto-similaridade Paulo R. Guimarães Jr Marcus A. M. de Aguiar Instituto de Física “Gleb Wataghin” UNICAMP F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Conteúdo 1. 2. 3. 4. Fractais Leis de Potência Passeios aleatórios Resumo F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Ao final desta aula, você deve ser capaz de: 1. Entender a relação entre auto-similaridade e lei de potência 2. Entender as implicações para a diversidade da estrutura fractal da natureza F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Conteúdo 1. Fractais 2. Leis de Potência 3. Passeios aleatórios 4. Resumo F 016: Física aplicada à Ecologia

Cálculo da Dimensão Fractal Cobrindo uma reta de comprimento 1 com segmentos menores: Tamanho Número e 1 1

Tamanho Número e 1 1 ½ 2

Tamanho Número e 1 1 ½ 2

Tamanho Número e 1 1 ½ 2 ¼ 4 Dividindo o lado do segmento por 2, o número de segmentos multiplica por 2. Veja que N(e) = 1/e.

Cobrindo um quadrado de lado 1 com quadrados menores: Tamanho Número e 1 1

Tamanho Número e 1 ½ 1 4=22

Tamanho Número e 1 ½ ¼ 1 4=22 16=4*4=42

Tamanho Número e 1 1 ½ 4=22 ¼ 16=42 1/2 k (2 k)2 = (1/e)2 Dividindo o lado por 2, o número de quadrados multiplica por 4 = 2 2. Veja que N(e) = (1/e)2.

Cobrindo cubo de lado 1 com cubos menores: Tamanho Número e 1 1

Tamanho Número e 1 ½ 1 8=23

Tamanho Número e N(e) 1 1 ½ 8=23 ¼ 64=43 1/2 k (2 k)3 = (1/e)3 Dividindo o lado por 2, o número de cubos multiplica por 8 = 2 3. Agora temos que N(e) = (1/e)3.

Podemos então definir a dimensão de uma figura com base nesse processo: Tomando o logaritmo dos dois lados podemos isolar d: e

Dimensão da Curva de Koch: Tamanho Número e N(e) 1 1 1/3 4 1/9 16=42 1/27 64=43 1/3 k 4 k

Módulo IV Fractais 1. Estruturas auto-similares F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Auto-similaridade estatística Idéia: A medida de uma característica em uma certa parte do sistema é proporcional ao valor da medida da mesma característica para o sistema inteiro. F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Auto-similaridade estatística F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Auto-similaridade estatística F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Auto-similaridade estatística F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Auto-similaridade estatística F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Como investigar auto-similaridade estatística? • A assinatura: leis de potência F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Conteúdo 1. Fractais 2. Leis de Potência 3. Passeios aleatórios 4. Resumo F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Lei de potência F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Lei de potência F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Lei de potência: exemplo F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Lei de potência: exemplo F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Lei de potência: exemplo F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Lei de potência e auto-similaridade F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Lei de potência e auto-similaridade F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Lei de potência e auto-similaridade F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Lei de potência e auto-similaridade F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Lei de potência F 016: Física aplicada à Ecologia

r N(r)

N(r) r inclinação

Maioria das espécies tem poucas interações

Freqüência baixa de espécies com muitas interações

Módulo IV Conteúdo 1. Fractais 2. Leis de Potência 3. Passeios aleatórios 4. Resumo F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Passeios aleatórios Idéia: Um processo estocástico no qual uma partícula se move pelo espaço através de saltos aleatórios. F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Passeios aleatórios D = 2 o passeio aleatório garante a cobertura de planos, mas não de espaços tridimencionais Reações biológicas ocorrem em superfícies E a estrutura tridimencional dos ambientes? F 016: Física aplicada à Ecologia

Dimensão da Curva de Koch: Tamanho Número e N(e) 1 1 1/3 4 1/9 16=42 1/27 64=43 1/3 k 4 k

d = 1. 5

Módulo IV Conteúdo 1. 2. 3. 4. Fractais Leis de Potência Passeios aleatórios Resumo F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Fractais 1. Estruturas auto-similares F 016: Física aplicada à Ecologia

Módulo IV Auto-similaridade estatística F 016: Física aplicada à Ecologia

N(r) r inclinação

Maioria das espécies tem poucas interações

Freqüência baixa de espécies com muitas interações