Mdulo 4 Factorizacin de trinomios de la forma

Módulo 4 Factorización de trinomios de la forma ax 2 + bx + c con a, b, c reales, a ≠ 1 Por Prof. Federico Mejía

Pre-prueba Factorice cada trinomio: 2 x 2 - 3 x + 1 2 x 2 - 7 x + 3 3 x 2 + 13 x + 4 4 x 2 - 4 x + 1 6 x 2 + 7 x + 2 6 x 2 – 7 x + 2 2 x 2 + 5 x + 10 4 y 2 – 9 y – 2 8 y 2 – 2 x – 15 3 x 2 + x + 6 Oprime aquí para ver todas las respuestas

Soluciones a los problemas Problema 2 x 2 - 3 x + 1 2 x 2 - 7 x + 3 3 x 2 + 13 x + 4 4 x 2 - 4 x + 1 6 x 2 + 7 x + 2 6 x 2 – 7 x + 2 2 x 2 + 5 x + 10 4 y 2 – 9 y – 2 8 y 2 – 2 x – 15 3 x 2 + x + 6 Solución (2 x - 1) (x - 3) (3 x + 1) (x + 4) (2 x - 1) (2 x – 1) (3 x + 2) (2 x + 2) (3 x – 2) (2 x – 1) Primo (4 y – 1) (y – 2) (2 y – 3) (4 y + 5) Primo

Introducción • Para factorizar un trinomio de la forma ax 2 + bx + c, con a, b, c números reales, a ≠ 1, utilizaremos el método de agrupación.

Procedimiento Primer Paso • Identificamos los coeficientes a, b, c.

Procedimiento (cont. ) Segundo Paso • Calculamos el producto ac

Procedimiento (cont. ) Tercer Paso • Hallamos dos enteros b 1, b 2 cuyo producto es ac y cuya suma es b, es decir: b 1 b 2 = ac b 1 + b 2 = b

Procedimiento (cont. ) Cuarto Paso • Escribimos el trinomio ax 2 + bx + c en la forma ax 2 + b 1 x + b 2 x + c

Procedimiento (cont. ) Quinto Paso • Factorizamos al polinomio ax 2 + b 1 x + b 2 x + c utilizando el método de agrupación (ver módulo 2)

Procedimiento (cont. ) Sexto Paso • Comprobamos la respuesta resolviendo el producto encontrado en el quinto paso.

Ejemplo 1 Factorizar el trinomio 3 x 2 + 13 x + 4. Primer Paso • Identificamos los coeficientes a, b, c. a=3 b = 13 c=4

Ejemplo 1 (cont. ) Segundo Paso • Calculamos el producto ac ac = (3)(4) = 12

Ejemplo 1 (cont. ) Tercer Paso • Hallamos dos enteros b 1, b 2 cuyo producto es ac (12) y cuya suma es b (13), es decir: b 1 b 2 = 12 b 1 + b 2 = 13 b 1 = 12 b 2 = 1

Ejemplo 1 (cont. ) Cuarto Paso • Escribimos el trinomio ax 2 + bx + c en la forma ax 2 + b 1 x + b 2 x + c, es decir: 3 x 2 + 13 x + 4 = 3 x 2 + 12 x + 1 x + 4

Ejemplo 1 (cont. ) Quinto Paso • Factorizamos al polinomio ax 2 + b 1 x + b 2 x + c utilizando el método de agrupación (ver módulo 2) 3 x 2 + 12 x + 1 x + 4 = (3 x 2 + 12 x) + (1 x + 4) = 3 x (x + 4) + 1(x +4) = (x + 4)(3 x + 1) Respuesta

Ejemplo 1 (cont. ) Sexto Paso • Comprobamos la respuesta resolviendo el producto encontrado en el quinto paso. (x + 4)(3 x + 1) = 3 x 2 + x + 12 x + 4 = 3 x 2 + 13 x + 4 Trinomio original

Ejemplo 2 Factorizar el trinomio 2 x 2 + 5 x - 12. Primer Paso • Identificamos los coeficientes a, b, c. a=2 b=5 c = -12

Ejemplo 2 (cont. ) Segundo Paso • Calculamos el producto ac ac = (2)(-12) = -24

Ejemplo 2 (cont. ) Tercer Paso • Hallamos dos enteros b 1, b 2 cuyo producto es ac (-24) y cuya suma es b (5), es decir: b 1 b 2 = -24 b 1 + b 2 = 5 b 1 = +8 b 2 = -3

Ejemplo 2 (cont. ) Cuarto Paso • Escribimos el trinomio ax 2 + bx + c en la forma ax 2 + b 1 x + b 2 x + c, es decir: 2 x 2 + 5 x - 12 = 2 x 2 + 8 x - 3 x - 12

Ejemplo 2 (cont. ) Quinto Paso • Factorizamos al polinomio ax 2 + b 1 x + b 2 x + c utilizando el método de agrupación (ver módulo 2) 2 x 2 + 8 x - 3 x - 12 = (2 x 2 + 8 x) + (-3 x - 12) = 2 x (x + 4) - 3(x + 4) = (x + 4)(2 x - 3) Respuesta

Ejemplo 2 (cont. ) Sexto Paso • Comprobamos la respuesta resolviendo el producto encontrado en el quinto paso. (x + 4)(2 x - 3) = 2 x 2 - 3 x + 8 x - 12 = 2 x 2 + 5 x - 12 Trinomio original

Ejemplo 3 Factorizar el trinomio 2 x 2 + 5 x + 10. Primer Paso • Identificamos los coeficientes a, b, c. a=2 b=5 c = 10

Ejemplo 3 (cont. ) Segundo Paso • Calculamos el producto ac ac = (2)(10) = 20

Ejemplo 3 (cont. ) Tercer Paso • Hallamos dos enteros b 1, b 2 cuyo producto es ac (20) y cuya suma es b (5). Después de buscar todas las posibles combinaciones de enteros concluimos que no existen dos enteros b 1, b 2 cuyo producto es (20) y cuya suma es (5). Por esta razón el polinomio 2 x 2 + 5 x + 10 no se puede factorizar y decimos que es un polinomio primo.

Ejemplo 4 Factorizar el trinomio 6 x 2 - 7 x + 2. Primer Paso • Identificamos los coeficientes a, b, c. a=6 b = -7 c=2

Ejemplo 4 (cont. ) Segundo Paso • Calculamos el producto ac ac = (6)(2) = 12

Ejemplo 4 (cont. ) Tercer Paso • Hallamos dos enteros b 1, b 2 cuyo producto es ac (12) y cuya suma es b (-7), es decir: b 1 b 2 = +12 b 1 + b 2 = -7 b 1 = -4 b 2 = -3

Ejemplo 4 (cont. ) Cuarto Paso • Escribimos el trinomio ax 2 + bx + c en la forma ax 2 + b 1 x + b 2 x + c, es decir: 6 x 2 - 7 x + 2 = 6 x 2 - 4 x - 3 x + 2

Ejemplo 4 (cont. ) Quinto Paso • Factorizamos al polinomio ax 2 + b 1 x + b 2 x + c utilizando el método de agrupación (ver módulo 2) 6 x 2 - 4 x - 3 x + 2 = (6 x 2 - 4 x) + (-3 x + 2) = 2 x (3 x - 2) - 1(3 x - 2) = (3 x - 2)(2 x - 1) Respuesta

Ejemplo 4 (cont. ) Sexto Paso • Comprobamos la respuesta resolviendo el producto encontrado en el quinto paso. (3 x - 2)(2 x - 1) = 6 x 2 - 3 x - 4 x + 2 = 6 x 2 - 7 x + 2 Trinomio original

Post-prueba Factorice cada trinomio: 2 x 2 - 3 x + 1 2 x 2 - 7 x + 3 3 x 2 + 13 x + 4 4 x 2 - 4 x + 1 6 x 2 + 7 x + 2 6 x 2 – 7 x + 2 2 x 2 + 5 x + 10 4 y 2 – 9 y – 2 8 y 2 – 2 x – 15 3 x 2 + x + 6 Oprime aquí para ver todas las respuestas

Soluciones a los problemas Problema 2 x 2 - 3 x + 1 2 x 2 - 7 x + 3 3 x 2 + 13 x + 4 4 x 2 - 4 x + 1 6 x 2 + 7 x + 2 6 x 2 – 7 x + 2 2 x 2 + 5 x + 10 4 y 2 – 9 y – 2 8 y 2 – 2 x – 15 3 x 2 + x + 6 Solución (2 x - 1) (x - 3) (3 x + 1) (x + 4) (2 x - 1) (2 x – 1) (3 x + 2) (2 x + 2) (3 x – 2) (2 x – 1) Primo (4 y – 1) (y – 2) (2 y – 3) (4 y + 5) Primo