MBINATORI KA Permutcie Varicie Kombincie O JE TO

MBINATORI KA Permutácie Variácie Kombinácie

ČO JE TO KOMBINATORIKA ? Ø Kombinatorika je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá tým, ako môžeme rôzne prvky - kombinovať - usporiadať - vyberať Ø Dôvod, prečo sa už v 16. storočí ľudia zaujímali o to, ako vypočítať možné kombinácie určitých prvkov či scenárov bol čisto praktický – boli ním hazardné hry. Ø Pri kombinačných úlohách musíme brať do úvahy či sa jednotlivé prvky, ktoré kombinujeme, môžu v rámci možných riešení opakovať a či v rámci týchto riešení záleží aj na poradí jednotlivých prvkov.

PRÍKLAD 1 Ø Predstavte si, že máme tri hrnčeky – biely, modrý a červený. Koľkými spôsobmi ich môžeme uložiť na poličku vedľa seba do radu ? Máme spolu 6 možností, ako uložiť hrnčeky na policu.

PRÍKLAD 2 Ø Anička má v skrini 5 tričiek a 3 nohavice. Koľkými spôsobmi ich môže spolu nakombinovať ? Ø

PRÍKLAD 3 Ø Pomocou cifier 2, 5, 7 napíšte všetky trojciferné čísla, ktoré je možné z týchto číslic poskladať, pričom jednotlivé číslice sa môžu opakovať. Koľko je takýchto čísel ? Ø Počet možností na výber pre jednotlivé číselné pozície : 1. číslica 3 2. číslica . 3 3. číslica . 3 = 27 Existuje teda 27 čísel, ktoré zodpovedajú podmienkam zadania. Ø Sú to čísla : 222, 225, 227, 252, 255, 257, 272, 275, 277, 522, 525, 527, 552, 555, 557, 572, 575, 577, 722, 725, 727, 752, 755, 757, 772, 775, 777

PRÍKLAD 4 Ø Pomocou cifier 2, 5, 7 napíšte všetky trojciferné čísla, ktoré je možné z týchto číslic poskladať, pričom jednotlivé číslice sa nesmú opakovať. Koľko je takých čísel ? Ø Počet možností na výber pre jednotlivé číselné pozície : 1. číslica 3 2. číslica . 2 3. číslica . 1 = Existuje teda 6 takýchto čísel, ktoré zodpovedajú podmienkam zadania. Ø Skúste si tie čísla vypísať – fakt to funguje 6

PERMUTÁCIE Ø Permutáciou n prvkov bez opakovania je usporiadaná množina všetkých týchto prvkov, pričom vo výslednej n -tici sa každý prvok vyskytuje práve raz. Počet všetkých permutácií n prvkov vypočítame ako P(n) = n (n – 1)(n – 2). . . 2. 1 = n! Ø Symbol n! čítame ako n faktoriál n! = n(n – 1)(n – 2)! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)! =. . . Platí, že 0! = 1. 1! = 1 2! = 2. 1 = 2 3! = 3. 2. 1 = 6 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 atď.

PRÍKLAD 5 Ø Koľko rôznych prirodzených 5 -ciferných čísel možno zostaviť z číslic 1, 2, 3, 4, 5, ak sa číslice v čísle nesmú opakovať ? Ø Ide o permutáciu piatich prvkov, čiže n = 5. Po dosadení do vzorca dostaneme P(5) = 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120 Môžeme zostaviť 120 rôznych päťciferných čísel bez opakovania číslic.

PERMUTÁCIE

PRÍKLAD 6

VARIÁCIE

PRÍKLAD 7

VARIÁCIE Variácie k- tej triedy z n prvkov s opakovaním používame, ak vyberáme usporiadanú k- ticu prvkov z n- prvkovej množiny, pričom záleží na poradí jednotlivých prvkov a prvky sa môžu ľubovoľne opakovať. Počet takýchto k- tic z n prvkov dostaneme ako : V´(k, n) = nk

PRÍKLAD 8 Ø Koľko rôznych vrhov môžeme urobiť so 4 hracími kockami ? Ø Kockou môžeme hodiť čísla 1 až 6, to znamená, že počítame 4 -členné variácie s opakovaním zo 6 prvkov. Po dosadení do vzorca dostaneme V´(4, 6) = 64 = 1296 So štyrmi hracími kockami môžeme urobiť 1 296 rôznych vrhov.

KOMBINÁCIE

PRÍKLAD 9

KOMBINÁCIE

PRÍKLAD 10

KEDY KTORÝ VZOREC ? ✔ Záleží na poradí prvkov ? Ø NIE – kombinácie Ø ÁNO ✔ Požívame všetky prvky z danej množiny ? Ø ÁNO – permutácie Ø NIE (robíme výber niekoľkých prvkov) - variácie ✔ Môžu sa prvky vo výslednom výbere opakovať ? Ø ÁNO - vzorec s opakovaním Ø NIE – vzorec bez opakovania

AHOJ V ĎALŠOM VIDEU !