MBA Statistique 51 601 02 http www hec

MBA Statistique 51 -601 -02 http: //www. hec. ca/sites/cours/51 -601 -02/ 1

La Statistique, c ’est ? « C’est la science d’apprendre à partir de données. Cette définition doit être interprétée dans un sens très large. Elle doit tout inclure, de la planification pour la cueillette des données en passant par la gestion subséquente de celles-ci jusqu’aux dernières activités comme l’inférence statistique pour la prise de décision et la présentation des résultats. » Jon Kettenring, ASA Past President

Plan du cours Ø Variation. Échantillonnage et estimation. Ø Inférence statistique et prise de décision. Ø Analyse de données qualitatives. Ø Régression linéaire simple et multiple. Ø Prévisions. Contrôle statistique des procédés. Ø Révision.

ÉVALUATION ØTravail en équipe: 40% ØExamen final: 60%

COURS # 1 Variation, échantillonnage et estimation.

Variation “Le principal problème en gestion est l’incapacité à comprendre et interpréter le concept de variation" W. Edwards Deming

Variation "Management takes a major step forward when they stop asking you to explain random variation" F. Timothy Fuller

Variation "Failure to understand variation is a central problem of management" Lloyd S Nelson

Airport Immigration

Airport Immigration Ø La direction s’attendait à ce que les employés s’occupent de 10 passagers durant cette période. Ø Le directeur des services d’immigration, en prenant connaissance de ces données, Ø était insatisfait de la performance de Colin Ø songeait à récompenser Frank

Expérience des billes (Deming) Programme EXCEL: beads. xls Les billes rouges sont associées à des produits défectueux. Cinq fois par jour, des techniciens choisissent au hasard un échantillon de 50 billes et comptent le nombre de billes rouges (produits défectueux).

Beads History – 17 July 2000

Beads History - 9 March 2000

Beads History - 8 March 2001

Beads History - 5 March 1999

Beads History - 19 July 1996

Beads History - 8 March 1996

Beads History - 10 March 1995

Beads History - 6 March 1998

Beads History: 27 Experiments

Beads Averages

Approche de pompier Problème Solution

Approche scientifique Ø Baser ses décisions sur des données et non des intuitions. Ø Tenter de trouver les causes du problème au lieu de simplement réagir aux symptômes. Ø Chercher des solutions permanentes au lieu de solutions rapides.

Approche scientifique Problème Solution Cause

On a besoin de données pour Ø Comprendre le processus Ø Déterminer les priorités Ø Éliminer les causes de variation Ø Observer le processus Ø Établir des liens

Étapes d’une analyse statistique: ØPlanifier la collecte de données; ØRécolter les données; ØLes évaluer; ØTirer des conclusions.

L ’échantillonnage Ø Notre connaissance, nos attitudes et nos actions sont basés, en grande partie, sur des échantillons. Ø Par exemple, l’opinion d’une personne sur une institution ou une entreprise qui fait des milliers de transactions dans une journée est souvent déterminé par seulement une ou deux rencontres avec cette institution.

Opérations gouvernementales: Ø Faire des études pour aider au développement des affaires publiques et des programmes sociaux. Ø Exemples: Ø prix des biens et services; Ø fluctuations de l’économie; Ø taux de chômage; Ø évolution de la population.

Recherche scientifique: Ø La statistique permet de valider des inférences dans divers domaines: Ø Datation au carbone 14; Ø Estimation de risque d’éruptions ou de tremblements de terre; Ø Essais cliniques (performance d’un nouveau traitement); Ø Études de populations en biologie(cerfs, poissons); Ø Qualité de l’eau; Ø Tests psychologiques.

Affaires et industries: Ø Prévision de la demande de biens et services; Ø Contrôles de la qualité; Ø Gestion de portefeuilles; Ø Prévision des risques.

Recensement vs Échantillon Ø Recensement = vérité Ø l’information que l’on désire est disponible pour tous les individus de la population étudiée. Ø Échantillon = estimation de la vérité Ø l’information n’est disponible que pour un sous-ensemble des individus de la population étudiée.

Schéma de l’échantillonnage Paramètre Population Choix estimation Échantillon Statistique calcul

Avantages d’un échantillon Ø Coût réduit Ø Rapidité accrue Ø Offre plus de possibilités Ø dans certains cas il peut être impossible de faire un recensement (ex: contrôle de qualité) Ø Peut-être plus précis! Ø cas où une main-d’œuvre hautement qualifiée est requise pour la collecte des données

Échantillons probabilistes et non probabilistes Méthodes d'échantillonnage Probabiliste aléatoire simple systématique Non probabiliste stratifié par grappes sur base volontaire commodité

Les erreurs d’échantillonnages Ø Erreur aléatoire Ø différents échantillons vont produire différentes estimations de la caractéristique de la population à l’étude Ø Erreurs systématiques - biais Ø échantillon non probabiliste Ø échantillon probabiliste mais avec un taux élevé de non-répondants Ø instrument de mesure biaisé

TV Show Poll - March 1998 Ø Should Hamilton be renamed Waikato City? Ø 4400 ont appelé participé Ø 73% étaient contre le changement Ø Quel type d’échantillonnage a été utilisé? Ø Quelles sont les conclusions à tirer?

Illustration : biais vs variabilité Ø Le biais est la divergence répétée, dans la même direction, des estimations d'un paramètre. Ø Une grande variabilité signifie que les valeurs répétées des estimations sont très éparpillées; les résultats de l'échantillonnage ne sont pas reproductibles.

a) Grand biais, faible variabilité b) faible biais, grande variabilité c) Grand biais, grande variabilité d) faible biais, faible variabilité

Biais dû à la non-réponse Ø Le biais est souvent le résultat de la non-réponse lors de sondages. Ø En effet supposons que la population est divisée en deux groupes : les répondants (60%) et les non répondants (40%). Ø Parmi les répondants 65% des personnes sont en faveur d’un projet et parmi les non répondants 20% sont en faveur du projet. La vraie proportion de la population en faveur du projet est donc p = 47%. Un sondage nous donnera une estimation de p autour de 65 (n’égale pas 47%). Le biais est donc de 18%.

Comment faire un tirage aléatoire simple? Ø Mettre les noms de tous les N individus de la population dans un chapeau et en tirer un échantillon de n au hasard. Ø Numéroter les individus de la population de 1 à N et utiliser une table de nombres aléatoires. Ø Utiliser un logiciel qui génère des nombres aléatoires (ex: Excel, MINITAB, SAS).

On supposera que les individus de la population sont ordonnés de la manière suivante, afin d ’obtenir les résultats pour divers échantillons que nous choisirons au hasard ultérieurement: 1 à 80 81 à 280 281 à 400 401 à 640 641 à 760 761 à 1000 Homme Femme Livre Journal Revue. On choisit un échantillon de 30 personnes: (en partant de la colonne 6, ligne 6 en se déplaçant horizontalement dans la table de nombres aléatoires) individu résultat 033 648 847 204 334 639 193 639 411 095 H L F J F R H J H R 924 707 054 329 776 F R F J H L H R F R 646 886 823 920 461 F J F R F R F L F L H J 100 871 007 255 980 H J F R H L H J F R 893 829 380 900 796 F R H R F R

Exemple:

Remarques : Ø Les résultats obtenus dépendent de l ’échantillon prélevé. Ø Si les échantillons sont prélevés selon les règles de l ’art, les résultats devraient se ressembler. Ø Pour un tirage aléatoire simple, chaque individu de la population a la même chance d ’être sélectionné à chaque tirage. Ø Pour un tirage aléatoire simple, tous les échantillons possibles de même taille ont la même chance d ’être sélectionnés.

Les sondages d’opinion Ø Les résultats obtenus dans un échantillon probabiliste serviront à généraliser à l’ensemble de la population. Ø Mais le fait d’utiliser un échantillon induit nécessairement une marge d’erreur que nous essayerons de contrôler. Ø Nous distinguerons deux types de données: qualitatives et quantitatives.

Types de données Ø Qualitatives (échelle de mesure: nominale ou ordinale) (paramètre: %) Ø exemples: Ø sexe (F, M) Ø parti politique (PLQ, PQ, ADQ) Ø marque préférée (Coke, Pepsi, Marque maison, …) Ø niveau de satisfaction (échelle de Likert de 1 à 5) Ø Quantitatives (échelle de mesure: intervalle ou rapport) (paramètre: moyenne) Ø exemples: Ø ge, revenu, rendement

Estimation par intervalle de confiance Ø Pour estimer la proportion p d ’individus possédant la caractéristique à l ’étude dans la population, ou la moyenne , on utilise un intervalle de confiance au niveau (1 - ).

Estimation par intervalle de confiance (suite) Ø L ’estimation par intervalle de confiance consiste à établir un intervalle de valeurs qui nous permet d ’affirmer, avec un certain niveau de confiance ou de certitude prédéterminé (en général: 90%, 95% ou 99%), que la vraie valeur du paramètre dans la population se trouve dans cet intervalle.

Intervalle de confiance pour estimer une proportion p Ø Exemple: Sur un échantillon de 125 étudiants d ’un collège interrogés pour savoir s ’ils ont l ’intention de voter aux prochaines élections de leur association, 45 ont répondu positivement. Ø Estimer, de façon ponctuelle, la proportion de l ’ensemble des étudiants de cette institution qui ont l ’intention de voter aux prochaines élections.

Solution: On estime la proportion p inconnue (de la population) par celle obtenue dans l’échantillon.

I. C. pour estimer une proportion p Ø Programme EXCEL: ICproportion. xls Ø Si la taille de l’échantillon n est assez grande, l ’intervalle de confiance au niveau (1 - ) pour estimer la vraie proportion p du caractère à l ’étude dans la population, est donnée par: Ø où est la proportion de succès dans l’échantillon,

Exemple (suite) : Ø Par conséquent, un intervalle de confiance de 95% de certitude pour la proportion de l ’ensemble des étudiants de cette institution qui ont l ’intention de voter aux prochaines élections nous est donné par:

Exemple (suite) : Ø Comment rapporterait-on les résultats de ce sondage dans le journal étudiant de ce collège? Ø 36% des étudiants du collège ont l ’intention d ’exercer leur droit de vote aux prochaines élections de l ’association étudiante. La marge d ’erreur est de 8, 4% avec un niveau de confiance de 95% (ou avec un degré de certitude de 95% ou 19 fois sur 20).

Remarques: Ø Cette formule est approximative et s ’applique uniquement pour les grands échantillons. Ø Si je prends tous les échantillons aléatoires possibles de taille n et que je calcule pour chacun un intervalle de confiance au niveau de 95%, 95% d’entre eux incluront la vraie proportion p de la population, et donc 5% ne l ’incluront pas. Ø La quantité est appelé marge d ’erreur ou précision, au niveau de confiance 95% (19 fois sur 20).

Marge d ’erreur au niveau 95%

Marge d ’erreur au niveau 90%

Calcul de la taille n pour assurer une marge d ’erreur maximale Ø Si nous voulons estimer la proportion p au niveau de confiance (1 - ) avec une marge d ’erreur maximale notée e, alors nous avons la relation suivante pour le calcul de la taille n de l ’échantillon:

I. C. pour estimer la moyenne Ø Programme EXCEL: ICmoyenne. xls Ø De façon générale, si la taille de l’échantillon n est assez grande, l ’intervalle de confiance au niveau (1 - ) pour estimer la vraie moyenne de la population, est donnée par:

Remarques: Ø Cette formule est approximative et s’applique uniquement pour les grands échantillons (sauf si la caractéristique a une distribution normale et que l ’écart type est connu la formule est exacte). Ø Lorsque l ’écart type est inconnu, on utilise une estimation de et on remplace la valeur de Z 0, 025=1, 96 pour une valeur légèrement supérieure lu dans une table de la loi de Student qui dépend de la taille de l ’échantillon.

Remarques: (suite) Ø Interprétation d’un intervalle de confiance au niveau 95% pour la moyenne d ’une caractéristique dans la population: Si je prends tous les échantillons aléatoires de taille n et que je calcule pour chacun un intervalle de confiance de 95%, 95% d’entre eux incluront la vraie moyenne de la population, et donc 5% ne l ’incluront pas.

Exemple Ø Afin de connaître le coût hebdomadaire moyen du panier d ’épicerie pour une famille de 4 personnes résidant à Sherbrooke, on prélève un échantillon de 50 de ces familles et on note le montant de leur épicerie de cette semaine. On obtient un montant moyen de 155$. L’écart type de l’échantillon est de 15$.

Exemple (suite) : Ø Estimer le coût actuel moyen du panier d ’épicerie d ’une famille de 4 personnes résidant à Sherbrooke à l ’aide d ’un intervalle de confiance de 95% de certitude (on suppose l ’écart type connu à 15$): Øm = 155 ± 4. 16 Ø En affirmant que le coût actuel moyen du panier d ’épicerie d ’une famille de 4 personnes résidant à Sherbrooke est dans l ’intervalle [150. 84$, 159. 16$], je suis 95% certain d’avoir raison.

Étude de cas Ø Les données du fichier credit. xls représentent le montant dû sur des cartes de crédit ainsi que le revenu total de 100 familles québécoises choisies au hasard. Ø Quel est le montant dû moyen d’une famille québécoise? Quelle est la précision de votre estimation? Ø Que peut-on dire pour une famille canadienne? Ø En faisant l’hypothèse que 2 500 000 familles utilisent au moins une carte de crédit régulièrement, quelle est la dette totale de ces familles québécoises? Quelle est la précision de votre estimation?

Exemple Ø Une compagnie désire mettre sur le marché un nouveau Ø Ø Ø logiciel permettant de ne plus recevoir de pourriels. Elle vise un marché de 800 000 consommateurs potentiels. Avant de lancer le produit elle fait une enquête auprès de 40 ménages et 6 se déclarent intéressés par le nouveau produit. Le profit par logiciel vendu est de 3$ et la compagnie doit absorber des coûts fixes de 50 000$. Quelle est la décision? Ø Discussion: Est-ce la meilleure façon de répondre à la question?