Mavzu Uchinchi darajali tenglamani Umar Hayyom usuli bilan

Mavzu: Uchinchi darajali tenglamani Umar Hayyom usuli bilan yechish. REJA: n n I. Kirish. 1. Umar Hayyom hayoti va ijodi. II. Asosiy qism. 1. Umar Hayyom kubik tenglamalari: 2. 3. n 4. III. Xulosa.

KIRISH n n Vatandoshimiz Umar Hayyom XI-XII asrlarda yashab va ijod qilgan bo`lib, u falsafa, jumladan matematika, she’riyat va boshqa fan sohalarida umuminsoniy qadriyatlarga molik bir qator asarlar yaratgan. Shulardan biri kubik tenglamalarning bir qancha xususiy ko`rinishlarini geometrik nuqtai nazarda tahlil qilib, sodda geometrik (ikkinchi tartibli chiziqlar xossalari) tushunchalarga asoslanib, ularning yechimlari mavjudligi hamda topishning geometrik chiziqlar yordamida ko`rsata olgan.

n 1. Quyidagi kubik tenglamani yechish (1) n n Yechish. (1) tenglamani yordamida aylana va shaklga keltiramiz: parabolalar n n Demak dan , ya’ni (1”) n ni hosil qilamiz. (1”) tenglamani yechish n n tenglamalar sistemasini yechishga olib kelinadi. Sistemadagi tenglama tekislikda aylana, ikkinchisi parabola bo`lib, ularning grafiklarini sxematik ko`ramiz.

2. (2) Yechish. Umar Hayyom (2) ko`rinishdagi tenglamani quyidagi parabola va teng tomonli giperbolaning chap tarmog`i yordamida yechishga erishadi. . Umar Hayyom (2`) sistemadagi egri chiziqlarni qurishda ko`p hollar ro`y berishini aytadi. Jumladan, egri chiziqlar kesishmasligi mumkin. Yana bir hol, giperbola o`ng tarmog`i parabolaning uchidan o`tib, parabolaning yana bitta nuqtasidan o`tgan holni e’tiborga olmaydi, bu holda ildiz manfiy ekanligidan yechim yo`q deyiladi.

2 -rasm

n Ammo 2 -rasmdan ko`rinadiki (2) tenglama bitta manfiy ildizga, ikkita mavhum ildizga ega. (2) tenglamaning yechimlarini qurishda quyidagi hollarni ham e’tiborga oladi 3 -rasm

n 3 - 4 -rasmlardan birida egri chiziqlar urinishi mumkin, bu holda bitta yechim, ikkinchi holda ikki nuqtada kesishishi mumkin, bunda ikkita yechim deb hisoblangan. Umar Hayyom bu (2) ko`rinishdagi tenglama yordamida kubik tenglamalarning ikkita haqiqiy ildizlarga ekanligini ko`rsatadi.

n 3. (3) ko`rinishdagi tenglamaning ildizlarini topish (qurish) n Yechish. (3) ko`rinishdagi masala Arximed masalasida ham uchragan. Bu tenglamaning ildizlarini qurishda quyidagi parabola va giperbolalar yordamida amalga oshirgan. (3”)

n Umar Hayyomning xulosasiga ko`ra, tenglama parabola tarmoqlari bilan giperbola tarmoqlarining urinishi yoki kesishishlari sababli bitta yoki ikkita ildizlari borligini aytiladi. Egri chiziqlar tarmoqlari kesishmasalar tenglama yechimga emasligi ta’kidlanadi. Endi quyidagi 5 -rasmdan (3) tenglamaning mumkin bo`lgan barcha yechimlarini qurib, ularni tahlil qilamiz.

5 -RASM

n 5 -rasmdagi chizmalarda (3”) tenglamalar sistemasidagi koeffitsiyentlarni inobatga olib, quyidagi belgilashlarni kiritamiz. Umar Hayyom bo`lganda (3) tenglama yechimga emas, chunki bo`lganda bo`ladi, bo`lganda esa bo`lganda bo`lib, (3) tenglamada zidlik kelib chiqadi

n Misol (3”) Bu tenglamada Ammo, egri chiziqlar absissasi bo`lgan x=6 nuqtada kesishadi. ( Lekin ildiz tilga olinmagan).

n n 4. (4) tenglamaning ildizlarini topish (chizmalarda qurish). Umar Hayyomning kubik tenglamalarni tahlil qilishdagi ko`plab urinishlari muvaffaqiyatli bo`lgan. Lekin shular ichida (4) ko`rinishdagi tenglamani to`la tahlili anchagina achinarlidir. Bu ko`rinishdagi tenglamaning ildizlarini aniqlash quyidagi aylana va parabolalarni qurishga olib keladi. (4”)

6 -rasm

n n 6 -rasmdan ko`rinib turibdiki, Umar Hayyom (4), (4”) tenglamalar har doim ildizlarga ega deb to`g`ri ko`rsatgan. Ular K nuqtaning absissasi, bunda, , bo`lib, bo`lganda u ildiz yagonadir. Biroq bo`lganda yana ikkita musbat ildizlar mavjudligini sezmagan. Shu tariqa Umar Hayyom kubik tenglamaning uchta haqiqiy ildizlari ham bo`lishini kashf etishga sal qolgan. Afsuski bu kashfiyot XVI asrning o`rtalarida Jirolamo Kardanoga nasib etdi. Umar Hayyomning 6 rasmdagi chizmasida A va K nuqtalar orasida yana ikkita kesishish nuqtalar borligini ko`rish anchagina mushkul.

n n 2 -masala. Yuzi 90 ga teng bo`lgan, tomonlari shartni qanoatlantiruvchi ABCD trapetsiyani yasang (chizmasini quring).

n n DK=z deb, CDning o`ng davomiga AK perpendikulyar o`tkazilgan. Natijada trapetsiya yuzini hisoblash natijasida quyidagi to`rtinchi darajali tenglama hosil qilingan. (5) AB ga perpendikulyarni o`tkazamiz, so`ng E nuqtadan giperbolani o`tkazamiz. BA ni absissa o`qi, BE ni ordinata o`qi deb, markazi B nuqtada bo`lgan aylanani quramiz. Giperbola va aylanalarning kesishish nuqtasi bo`lgan C nuqta absissasi (5) tenglamaning ildizi bo`ladi.

XULOSA n Umar Hayyom o`z davrida yuqori darajali tenglamalarning bir qancha ko`rinishlarini geometrik chizmalar, egri chiziqlar xossalari yordamida ularning yechimlarini topishning usullarini kashf etgan.

n n n 1. Faynleyb A, Xojiyev M “Algebra va sonlar nazariyasi” T|: 2001 2. Kostrikn A “Введение в алгебру” 1998 3. Ziyonet. uz 4. Guldu. uz 5. Google. uz