MAVZU Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari

MAVZU: Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari. Shartli ekstremumlari.

O’quv mashg’ulotining maqsadi: Eng katta va eng kichik qiymatlarni izlash. Ekstremum va Shartli ekstremumlarni ajrata olish, ulardan foydalana olish ko’nikma, malakalarni shakllantrish.

Reja 1. Funksiyaning eng kichik va eng katta qiymatlari 2. Shartli ekstremumga olib keladigan masalalar 3. Shartli ekstremumlar

Topshiriq Bir o’zgaruvchili funksiyalar uchun eng katta va eng kichik qiymatlarga oid bittadan to`g`ri muloxaza ayting.

Funksiya ekstremumlariga oid tushunchalar bo’yicha bo`sh joylarni to`ldiring. maksi mum Funksiy ekstremu mlari

Funksiyaning eng kichik eng katta qiymatlari. Z=f(x, y) funksiya yopiq D⊂R² sohada berilgsn bo’lsin. Veyershtrass teoremasiga ko’ra funksiya o’zining eng katta va eng kichuk qiymatlariga erishadi. Bu qiymatlar quyidagicha topish tavsiya etiladi. - Funksiyaning statsionar nuqtalari topiladi. - D dagi statsionar nuqtalarda funksiya qiymatlari topiladi. -D ning chegaralarida eng katta va eng kichik qiymatlar topiladi. -Topilgan qiymatlar ichidan funksiyaning D dagi eng katta va eng kichik qiymatlari aniqlanadi.

Misol. F(x, y)=x²+2 xy-3 y²+y funksiyaning D={(x, y)ϵR²: 0≤x≤ 1, 0≤y≤ 1, x+y≤ 1} sohadagi eng katta va eng kichuk qiymatlarini toping. Yechish.

Yechish: D soha rasmda shtrixlangan OAB uchburchakdan iborat. Z’ =2 x+2 y=0 x=-1/8 x { z’y =2 x-6 y+1=0 => { y=1/8 (-1/8; 1/8) tegishli emas D bo’lgani uchun bu statsionar nuqtani qaramaymiz. Demak, funksiya o’zining eng katta va eng kichik qiymatlarini soha chegaralarida qabul qiladi.

a) OB kesma bo’yicha y=0 , 0≤x≤ 1 bo’ladi. Z=x² bu funksiyaning eng kichik qiymati (0, 0) nuqtada z=0, eng katta qiymati (1, 0) z=1 bo’ladi. b) OA kesma bo’ylab x=0 , 0≤y≤ 1 bo’ladi. U holda z=y-3 y² zy’=16 y=0, y=1/6: z(0, 0)=0, z(0, 1/6)=1/12 va z(0, 1)=-2. v ) AB kesma bo’ylab x+y=1, , 0≤x≤ 1, , 0≤y≤ 1, y=1 -x va z=x²+2 x(1 x)-3(1 -x)²+1 -x=x²+2 x-2 x²-3+6 x-3 x²+1 -x=-4 x²+7 x-2, shu funksiyaning [0, 1] kesmada eng katta, eng kichik qiymatini topamiz. z’x=-8 x+7=0, x=7/8. z(0, 1)=-2, z(1, 0)=1, z(7/8, 1/8)=17/16.

Xulosa. Z(0, 0)=0, Z(1, 0)=1, Z(0, 1/6)=1/12, Z(0, 1)=-2, Z(7/8, 1/8)=17/16 sonlarni taqqoslab eng kichigi Z(0, 1)=-2, eng kattasi Z(7/8, 1/8)=17/16 ekanini topamiz. Bu qiymatlar berilgan funksiyaning D sohadagi eng katta va eng kichik qiymatlari bo’ladi.

Shartli ekstremumlar. Funksiyaning argumentlari qo’shimcha shartlarni qanoatlantiradigan ekstremumlariga shartli ekstremumlar deyiladi. Bu masalani qo’yilishi quyidagicha z=f(x 1 , x 2 , ……. , xn ) (1) funksiyaning argumentlari ϕ 1(x 1 , x 2 , ……. , x n)=0 ϕ 2(x 1 , x 2 , ……… , xn)=0 ………. . ϕ m(x 1 , x 2 , ……. . , xn )=0 Shartlarni qanoatlantiruvchi ekstremumlarini toping.

Bu masalani yechish uchun (2) –shart tenglamalarini mos rac=vishda Lagranj ko’paytuvchilari deb ataladigan λ 1 , λ 2 , ……. , λ m -larga ko’paytirib qo’shimcha L funksiya tuzib olinadi. L=f+ λ 1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2 + ……+ λ m ϕ (3) Bu funksiya x 1 , x 2 , ……. , xn , λ 1 , λ 2 , ……. , λ m n+m ta o’zgaruvchining funksiyasi bo’ladi. L- ning barcha argumentlari bo’yicha hususiy hosilalari topiladi va ular nolga tenglab shartli statsionar nuqtalar topiladi. Bu yerda yordamchi parametrlar (λ k ) larni tashlab yuborish mumkin.

Bu n+m ta noma’lumli n+m ta tenglamadan (3) iborat sistemani yechib shartli statsionar nuqtalarni topamiz. Bu topilgan nuqtalarni funksiya maksimumgami, minimumgami ega ekanligi qo’yilgan masalaning harakteriga qarab aniqlanadi. Yoki shu nuqta atrofida berilgan funksiyaning Δz ortirmasining ishorasini tekshirib aniqlash mumkin. Misol: yuzasi 2 a ga teng bo’lgan temir listdan hajmi eng katta bo’lgan to’g’ri parallelipiped shaklidagi ochiq quti yasalgan. Uning o’lchamlarini toping.

Yechish. Qutining o’lchamlari x, y, z bo’lsin, u holda V=xyz funksiyasining xy+2 xz+2 yz= 2 a, 0<x<2 a, 0<y<2 a, 0<z<2 a shartlardagi ekstremumini topish talab qilinadi. L=xyz+λ(xy+2 xz+2 yz-2 a) funksiyani tuzib olamiz. Uning hususiy hosilalarini nolga tenglaymiz.

Tayanch tushunchalar: 1. shartli ekstremumlar: Funksiyaning argumentlari qo’shimcha shartlarni qanoatlantiruvchi ekstremumlari shartli ekstremum deyiladi 2. Shartli statsionar nuqtalar: Lagranj funksiyasining xususiy hosilalarini nolga aylantiradigan nuqtalar shartli statsionar nuqtalar deyiladi.

Adabiyotlar ro’yhati 1. Azlarov. T. , Mansurov. X. , Matematik analiz. T. : «O`zbekiston» . 2 t: 1994, 1995 2. Toshmetov O’. Matematik analiz. T. , TDPU. 2005 y. 3. Hikmatov A. G`. , Turdiyev T. «Matematik analiz» , T. 1 -qism. 1990 y. 4. Sa’dullayev A. va boshqalar. Matematik analiz kursi misol va masalalar to`plami. T. , «O`zbekiston» . 1 -q. 1993. , 2 -q. 1995. 5. Vavilov V. V. i dr. Zadachi po matematike. Nachala analiza. M. Nauka. , 1990. 608 s.

UYGA VAZIFA Eng katta va eng kichik qiymatlarga OID TUSHUNCHALARNI TOIFALASH JADVALIGA JOYLANG Bir o’zgaruvchili funksiya ucun Ikki o’zgaruvchili funksiya ucun 1 1 2 2 3 3

Tekshirish savollari: 1. Veyershtrass teoremasini ifodalang (ko’p o’zgaruvchili funksiya uchun) 2. Shartli va shartsiz ekstremumlar farqi nimada 3. Shartli statsionar nuqtalar qanday nuqtalar

E’tiborihgiz uchun rahmat