Matrizen und Matrizenoperationen in der Anwendung Prof Dr

Matrizen und Matrizenoperationen in der Anwendung Prof. Dr. Wolfgang Konen TH Köln Wolfgang Konen, TH Köln – Mathematik Seite - 1

Matrizen / Überblick © Ziele dieses Kapitels Ø Wieso Matrizen Ø Definition Matrix, Matrixmultiplikation Ø Anwendung Produktionsplanung Ø Basiswechsel Wolfgang Konen, TH Köln – Mathematik Seite - 2

Motivation Matrizen © Beispiel Produktionsplanung Ø Aus k=1, . . . , 3 Rohstoffen Rk werden Endprodukte En hergestellt. Die benötigten Rohstoffeinheiten je Einheit En sind: Ø Wenn die Rohstoffpreise pk je Einheit Rk sind, was sind dann die Kosten qn je Einheit En ? Ø LGS: Lineares Gleichungssystem Wolfgang Konen, TH Köln – Mathematik Seite - 3

Motivation Matrizen © Mathematiker sind (schreib-) faule Leute Ø Statt Ø schreiben sie einfacher Wolfgang Konen, TH Köln – Mathematik Seite - 4

Matrix © Definition Unter einer (m x n)-Matrix (Matrix vom Typ(m, n) ) verstehen wir eine rechteckige Zahlenanordnung Zeile zuerst, Spalte später ! oder kürzer Wolfgang Konen, TH Köln – Mathematik Seite - 5

Sonderfälle © Spalten- und Zeilenmatrix Eine (m x 1)-Matrix heißt Spaltenmatrix (Vektor) nur ein Index ! Eine (1 x n)-Matrix heißt Zeilenmatrix (Zeilenvektor) Wolfgang Konen, TH Köln – Mathematik Seite - 6

Multiplikation von Matrizen © Definition Es sei A eine (n x k)-Matrix und B eine (k x p)-Matrix. Unter dem Produkt C=A·B verstehen wir die (n x p)Matrix mit heißt auch inneres Produkt, weil über die inneren Indizes summiert wird Wolfgang Konen, TH Köln – Mathematik Seite - 7

Rechenschema A·B = C A muss soviele Spalten haben wie B Zeilen!! k Zeilen Matrix B k Spalten Matrix A c 11 c 12 c 13 Matrix C c 21 c 22 c 23 Auch hier gilt: Zeile zuerst (in A), Spalte später (in B) Wolfgang Konen, TH Köln – Mathematik Seite - 8

Anwendung Produktionsplanung © Die Definition Matrixmultiplikation ist genau so gewählt, dass sich wieder das LGS ergibt: Ø bedeutet ausmultipliziert Wolfgang Konen, TH Köln – Mathematik Seite - 9

Die Vorteile Q 2 1. Quartalspreise: Q 1 Q 3 Q 4 Ø Gelten in jedem Quartal andere Rohstoffpreise, so haben wir eine kompakte Darstellung und Berechnungsform der Endpreise. Wolfgang Konen, TH Köln – Mathematik Seite - 10

Die Vorteile 2. Wertstoffketten, Zwischenprodukte, „Basiswechsel“: Ø Rohstoffe Rk Zwischenprodukte Zm Endprodukte En Ø Gegeben die Rohstoffpreise p, wieviel kostet eine Einheit jedes Endproduktes? Wolfgang Konen, TH Köln – Mathematik Seite - 11

Wertstoffketten (2) © kompakte Matrixschreibweise (Endpreise e): © bedeutet ausgeschrieben: z. B. c 11= b 11 a 11+ b 12 a 21 Wolfgang Konen, TH Köln – Mathematik Matrix C vermittelt direkt zwischen Rohstoffpreisen und Endpreisen! Seite - 12

Wertstoffketten (3) Dieses Beispiel zeigt, daß folgendes gilt: © Die Multiplikation eines Vektors mit einer Matrix bildet einen Vektor (hier: p) auf einen neuen Vektor (hier: e)ab. © Die Hintereinanderausführung zweier solcher Abbildungen (hier erst die Multiplikation mit der Matrix A, anschließend die Multiplikation mit B) entspricht gerade der Multiplikation mit der Matrix C = BA. Das Matrizenprodukt wird gerade so definiert, daß es diese Eigenschaft hat. Wolfgang Konen, TH Köln – Mathematik Seite - 13

Zusammenfassung © Matrizen: kompakte Darstellung von LGS © Vektor als Spezialfall einer Matrix © Matrixmultiplikation © Matrizen vermitteln Wechsel zwischen Koordinatensystemen (Wertstoffketten, „Basiswechsel“) Wolfgang Konen, TH Köln – Mathematik Seite - 14