MATRIZ INVERSIBLE Definicin Una matriz a IKnxn se

MATRIZ INVERSIBLE Definición Una matriz a IKnxn se dice inversible ( o regular o no singular ), si existe una matriz b IKnxn tal que a. b = b. a = Id Decimos entonces que b es la inversa de a, y escribimos b =

OBSERVACIÓN Si la inversa de una matriz cuadrada existe, es única Ejemplo: es inversible porque existe tal que a. = . a= Y no hay otra matriz que cumpla con esto.

Se plantean dos interrogantes • Cómo determinar si una matriz es inversible o no. • Si lo es, cómo hallar su matriz inversa.

OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS Definición Llamaremos operación elemental sobre las filas de una matriz a IKmxn a cualquiera de las siguientes: 1) Intercambiar dos filas entre sí. Fi Fj 2) Reemplazar una fila por la que se obtiene multiplicando a sus elementos por un escalar no nulo. Fi k. Fi k IK, k 0 3) Reemplazar una fila por la que se obtiene sumando a sus elementos los de otra fila multiplicados por un escalar. Fi + k. Fj k IK

OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS Ejemplo 1 Sea a = intercambiando sus filas 1 y fila 2, resulta F 1 F 2.

OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS Ejemplo 2 Sea a = reemplazando la fila 2 por esa fila multiplicada por 3, resulta F 2 3. F 2

OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS Ejemplo 3 Sea a = reemplazando la fila 1 por esa fila sumada con el doble de la fila 2, resulta F 1+2 F 2 En forma análoga pueden definirse operaciones elementales sobre las columnas.

MATRICES ELEMENTALES Aplicando las operaciones elementales a la matriz identidad se obtienen las llamadas matrices elementales. Ejemplo 1: en IR , Id = si intercambiamos fila 2 y fila 3 resulta = F 2 F 3

MATRICES ELEMENTALES Ejemplo 2: En IR , Id = si reemplazamos la fila 3 por esa fila multiplicada por el escalar 5 resulta F 3 5. F 3

MATRICES ELEMENTALES Ejemplo 3 en IR , Id = si reemplazamos la fila 3 por esa fila más dos veces la F 1 resulta: F 3+2. F 1

EJEMPLOS Dada la matriz • pre-multiplicarla por de orden 2 ¿Qué observa en cada caso?

OBSERVACIÓN • En una matriz, cada una de las operaciones elementales de fila, puede ser considerada como el resultado de la premultiplicación por la matriz elemental compatible con ella, obtenida de la identidad mediante la misma operación sobre sus filas. Análogamente, • En una matriz, cada una de las transformaciones elementales de columna, puede ser considerada como el resultado de la post-multiplicación por la matriz elemental compatible con ella, obtenida de la identidad mediante la misma operación sobre sus columnas.

PROPIEDADES DE LAS MATRICES ELEMENTALES • Las matrices elementales son inversibles y se cumple que:

MATRICES EQUIVALENTES POR FILAS Sean a y b dos matrices de orden mxn, se dice que a es equivalente por filas a b, si b puede obtenerse a partir de a mediante un número finito de operaciones elementales aplicadas a sus filas. Ejemplo Teorema a es inversible sii filas a la matriz identidad. a es equivalente por

Ejemplo • Analizar si las matrices dadas son o no inversibles

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Se usa para calcular la inversa de una matriz “a” inversible. Justificación Se realiza aplicando el teorema anterior y propiedades de la multiplicación de matrices.

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN • Se trabaja “en paralelo” con la matriz ”a” y la unidad de su mismo orden. • La matriz “a” es el eje del proceso: las operaciones elementales de fila que aplicadas a “a” la reducen a la matriz unidad, aplicadas a la matriz unidad la reducen a (inversa de a)

Ejemplo Hallar la matriz inversa de la matriz “a” del último ejemplo:

MATRIZ TRASPUESTA Definición Dada la matriz a = aij IKmxn llamaremos traspuesta de ”a” y la notaremos “at “, a la matriz b =( bij ) IKnxm tal que bij = aji para i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , m Ejemplo a= 1 3 7 5 2 1 at = 1 5 3 2 7 1 Observamos que la matriz at (traspuesta de a), e resulta de intercambiar en a filas por columnas ( o bien, columnas por filas). Observamos además que, toda matriz de orden 1 es igual a su traspuesta.

PROPIEDADES DE LA TRASPOSICIÓN t 1. Traspuesta de la traspuesta de una matriz La transposición verifica que ( at ) t = a siendo a IKmxn. Ejemplo Sea a = 2 3 y = 2 3 1 a 3 = a. 1 t 2 = 1 3 3 2 1

PROPIEDADES DE LA TRASPOSICIÓN t 2. Traspuesta de la suma de dos matrices Si a, b IKmxn se cumple que (a+b)t = at + bt para i = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . , n. Ejemplo

PROPIEDADES DE LA TRASPOSICIÓN t 3. Traspuesta del producto de un escalar por una matriz Si a IKmxn y k IK se cumple que (k. a)t = k. at Ejemplo

PROPIEDADES DE LA TRASPOSICIÓN t 4. Traspuesta del producto de dos matrices Si a IKmxn y b IKnxp, entonces (a. b) t = Ejemplo Dadas a = 2 3 (a. b)t = bt. at 1 2 4 1 y 1 2 b= 0 1 2 0 comprobar que

Observación La trasposición de matrices permite definir de otra forma los conceptos de matriz simétrica y de matriz antisimétrica Definición a IKnxn es simétrica si y sólo si a = a t Definición a IKnxn es antisimétrica si y sólo si a =- a t Ejemplos

Ejemplos Demostrar que si a, b Iknxn son inversibles, entonces: a) es una matriz simétrica b) es una matriz antisimétrica c)