Matrix sondern viele Matrizen Nicht nur eine aber

Matrix, sondern viele Matrizen Nicht nur eine aber keine Matrize und auch keine Matratzen 1 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Matrix, but many Matrices Not only one Transition matrix for the weather in Bad Markstein States: sun, fog, rain but no matrize and also no mattress 2 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Wie beschreibt man Prozesse? Makov-Modell Markov-Prozess Markov-Kette 3 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

How to Describe Processes? Makov-modell Markov-process Markov chain The following slides will explain the text above. 4 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Wie beschreibt man Prozesse? 5 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

How to Describe Processes? Here are the states and the transition probabilities which are referred to in the text. 6 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Stratus. Wolken 7 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

rain Stratus clouds 8 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Cumulus. Wolken 9 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Cumulus clouds 10 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

11 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

from rain to rain 12 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Darstellung mit Übergangs-Graph, auch Zustands-Graph genannt. Die schwarzen Zahlen sind original vom Wetteramt Hamburg. Die blauen Zahlen sind ausgedacht, so etwa sind sie bei der Math. Gesellschaft Hamburg im Nov. 2005 vorgestellt worden. 13 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

figure with transition graph also named state graph. The black numbers are official of weather office Hamburg. The blue numbers are invented according to the numbers given by the Mathematical Society Hamburg in Nov. 2005. 14 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Wie beschreibt man Prozesse? Darstellung mit Zustands-Graphen. Bedingungen für einen richtigen Zustandsgraphen: • Alle möglichen Zustände sind Knoten des Graphen. • Die Übergangspfeile sind mit Wahrscheinlichkeiten beschriftet. • Die von einem Knoten abgehenden Pfeile haben Gesamtwahrscheinlichkeit 1. 15 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

How to Describe Processes? figure with state graph Conditions for an acceptable state graph: • All possible states are knots of the graph. • The transition arrows are marked with probabilities. • The arrows leaving a knot have as the sum of their probabilties the total probability 1. 16 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Wie beschreibt man Prozesse? Darstellung mit Zustands-Graphen. Darstellung mit einer Übergangsmatrix Re St Cu Zeilensummen müssen 1 sein 17 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

How to Describe Processes? figure with state graph figure with the transition matrix Re St Cu Sums of the rows must be 1. 18 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Darstellung mit Zustands-Graphen. Darstellung mit einer Übergangsmatrix Zeilensummen müssen 1 sein 19 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

figure with state graph figure with the transition matrix Sums of the rows must be 1. 20 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Wie sagt man Entwicklungen vorher? Übergangsmatrix Heute ist Regen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist übermorgen auch Regen? Baumdiagramm, Werkzeug der Wahrscheinlichkeitsrechnung Der Takt soll nun 1 Tag sein und nicht 6 h, damit wir einfacher reden können. 21 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

How to Forecast Developments? transition matrix Today we have rain. Which is the probability for to have rain the day after tomorrow? tree diagram, an important tool of stochastics. Now the pulse shall be 1 day and not 6 h as in the text above. That‘s why it easier to talk about it. 22 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Wie sagt man Entwicklungen vorher? Der Takt soll nun 1 Tag sein und nicht 6 h, damit wir einfacher reden können. Übergangsmatrix Heute ist Regen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist übermorgen auch Regen? Baumdiagramm, Werkzeug der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Pfadregel: längs des Pfades mal; 2. Pfadregel: mehrere Pfad-Wahrscheinl. plus Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus 23

How to Forecast Developments? Now the pulse shall be 1 day and not 6 h as in the text above. That‘s why we can speak easier. transition matrix Today we have rain. Which is the probability to have rain the day after tomorrow? tree diagram, an important tool of stochastics. 1. Pfadregel: längs des Pfades mal; 2. Pfadregel: mehrere Pfad-Wahrscheinl. plus Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus 24

Wie rechnet man Vorhersagen aus? Die Übergangsmatrix muss man mit sich selbst multiplizieren. 25 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

How to Calculate the Forecasts? The transition matrix has to be multiplied by itself. 26 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Wie rechnet man Vorhersagen aus? Die Übergangsmatrix muss man mit sich selbst multiplizieren. Erst Zeile, dann Spalte! Merke: Erst zielen dann schießen! Übergangsmatrizen haben immer Zeilensumme 1. Stochastische Matrizen haben immer Zeilensumme 1. 27 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

How to Calculate the Forecasts? You must square the transition matrix. First row than column rc In transition matrices the rows have the sum 1. In all stochastic matrices the rows have the sum 1. 28 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Wie rechnet man Vorhersagen aus? Die Übergangsmatrix muss man mit sich selbst multiplizieren. Erst Zeile, dann Spalte! Merke: Erst zielen dann schießen! Übergangsmatrizen haben immer Zeilensumme 1. Stochastische Matrizen haben immer Zeilensumme 1. 29 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

How to Calculate the Forecasts? You must square the transition matrix. First row than column rc In transition matrices the rows have the sum 1. In all stochastic matrices the rows have the sum 1. 30 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Das Wetter in Bad Markstein • Drei Zustände: Sonne, Nebel, Regen • Wenn heute Sonne ist, dann ist mit 50%Wahrscheinlichkeit auch morgen Sonne, mit 20 % W. ist Nebel, mit 30 % W. ist Regen. • Wenn heute Nebel ist, dann ist mit 20% W. morgen Sonne, mit 70% W. wieder Nebel, mit 10% W. Regen, • Wenn heute Regen ist, dann ist mit 15% W. morgen Sonne, mit 75% W. Nebel, mit 10% W. wieder Regen. Übung: Beschriften Sie den Zustandsgraphen. Stellen Sie die Übergangsmatrix auf. Denken Sie sich eine „übermorgen-Frage“ aus und beantworten Sie sie. 31 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

The Weather in Bad Markstein • Three states: sun, fog, rain • If it is sun today, the probabilty for sun tomorrow is 50%, for fog tomorrow it is 20%, for rain it is 30%. • If it is fog today, the probabilty for sun tomorrow is 20%, for fog tomorrow it is 70%, for rain it is 10%. • If it is rain today, the probabilty for sun tomorrow is 15%, for fog tomorrow it is 75%, for rain it is 10%. practice: Label the state graph with the probabilties. Configure the transition matrix. Invent a question for the day after tomorrow and calculate the result. 32 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Das Wetter in Bad Markstein • Drei Zustände: Sonne, Nebel, Regen • Wenn heute Sonne ist, dann ist mit 50%Wahrscheinlichkeit auch morgen Sonne, mit 20 % W. ist Nebel, mit 30 % W. ist Regen. • Wenn heute Nebel ist, dann ist mit 20% W. morgen Sonne, mit 70% W. wieder Nebel, mit 10% W. Regen, • Wenn heute Regen ist, dann ist mit 15% W. morgen Sonne, mit 75% W. Nebel, mit 10% W. wieder Regen. Übung: Beschriften Sie den Zustandsgraphen. Stellen Sie die Übergangsmatrix auf. Denken Sie sich eine „übermorgen-Frage“ aus und beantworten Sie sie. 33 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

The Weather in Bad Markstein • Three states: sun, fog, rain • If it is sun today, the probabilty for sun tomorrow is 50%, for fog tomorrow it is 20%, for rain it is 30%. • If it is fog today, the probabilty for sun tomorrow is 20%, for fog tomorrow it is 70%, for rain it is 10%. • If it is rain today, the probabilty for sun tomorrow is 15%, for fog tomorrow it is 75%, for rain it is 10%. practice: Label the state graph with the probabilties. Configure the transition matrix. Invent a question for the day after tomorrow and calculate the result. 34 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Das Wetter in Bad Markstein 35 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

The Weather in Bad Markstein probabilties for the day after tomorrow A=transition matrix, sun, fog, rain 36 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Das Wetter in Bad Markstein • Sonne etwa 27, 5% aller Tage • Nebel etwa 57 % aller Tage • Regen etwa 15, 5% aller Tage 37 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

The Weather in Bad Markstein • Sonne etwa 27, 5% aller Tage • Nebel etwa 57 % aller Tage • Regen etwa 15, 5% aller Tage 38 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Das Wetter in Bad Markstein 39 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

The Weather in Bad Markstein 40 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Das Wetter in Bad Markstein Durch hohe Potenzen der Übergangsmatrix erhält man die stabile Wetterverteilung in Bad Markstein. • Sonne etwa 27, 5% aller Tage • Nebel etwa 57 % aller Tage • Regen etwa 15, 5% aller Tage ist „Eigenvektor zum Eigenwert 1“ 41 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

The Weather in Bad Markstein With high powers of the transition matrix you calculate the stable weather distribution in Bad Markstein. • sun approximately in 27. 5% of all days • fog approximately in 57% of all days • rain approximately in 15. 5% of all days is „eigenvector with eigenvalue 1“ 42 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Das Wetter in Hamburg Durch hohe Potenzen der Übergangsmatrix erhält man eine Matrix mit lauter gleichen Zeilen. So eine Zeile ist der stabile Vektor dieser Markov-Kette, also die stabile Wetterverteilung in Hamburg. Achtung: Nur die erste Spalte in HH ist amtlich. • Regen: 25% aller Tage • Stratuswolken: 50% aller Tage • Cumulus oder keine W. : 25% aller Tage 43 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

The Weather in Hamburg With high powers of the transition matrix you get a matrix with identic rows. Such a row is the stable vector of the Markov chain, that is the stable weather distribution Hamburg. Attention: Only the first column ist official. • rain: 25% of all days • stratus clouds: 50% of all days • cumulus or no clouds: 25% of all days 44 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Das Wetter in Hamburg • Regen: 25% aller Tage • Stratuswolken: 50% aller Tage • Cumulus oder keine W. : 25% aller Tage 45 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

The Weather in Hamburg • rain: 25% of all days • stratus clouds: 50% of all days • cumulus or no clouds: 25% of all days 46 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Zum Merken: Ein stochastischer Prozess mit Zustandsübergängen heißt Markov-Kette (oder Markov-Prozess), wenn die Übergangswahrscheinlichkeiten nicht von der Vorgeschichte, sondern nur vom letzten Zustand abhängen. Sind sie außerdem noch zeitlich konstant, spricht man von einer homogenen Markov-Kette. Die Übergangsmatrizen A sind stochastische Matrizen. (d. h. mit Zeilensumme 1) Eine Zustandsverteilung schreibt man als Zeilenvektor. Mit ergibt sich die nächste Zustandsverteilung. Eine stabile Zustandsverteilung erhält man durch hohe Potenzen von A oder als Eigenvektoren von A zum EW 1. 47 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

To Bear in Mind: A stochastic process with transitions of states in named markov chain (or markov process), with the condition that the probabilties for the transitions do not depend from the history of the states but only from the last state. If the probabilties are further constant in time the process is named homogenous markov chain. The transition matrices A are stochastic matrices. (that is: the sum of the rows is 1) A state distribution is decribed as a row vector. With you calculate the next state distribution. A stable state distribution can be calculated by high powers of A or as eigenvectors of A for the eigenvalue 1. 48 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Warteschlangen sind auch Markow-Prozesse Beachte Sonderdruck Stochastik in mystudy 49 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Waiting Queues are Markov-prozesses too Mark: Sonderdruck Stochastik in mystudy 50 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Definition einer Matrix, rechnen mit Matrizen: Eine m x n-Matrix ist ein rechteckiges Schema mit m Zeilen und n Spalten. Kurz Erst Zeile, dann Spalte! Merke: Erst zielen dann schießen! 51 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Definition of a Matrix, Calculating with Matrices: A m x n-Matrix is a rectangular schema with m rows and n columns. short The sum of the matrices A and B is defined by To add two matrices of the same order you must add elementwise. First row than column rc To multiply a matrix with a real scalar you must multipy each element with the scalar. 52 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Definition einer Matrix, rechnen mit Matrizen: Eine m x n-Matrix ist ein rechteckiges Schema mit m Zeilen und n Spalten. Kurz Mathematische Kurzform: „Die mxn-Matrizen bilden einen Vektorraum“ 53 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Definition einer Matrix, rechnen mit Matrizen: A m x n-Matrix is a rectangular schema with m rows and n columns. short Calculation rules for addition of matrices and multiplication with a scalar. Mathematical short theorem: „the mxn-matrices are a vector space“ 54 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Matrizen in der Wirtschaft Verflechtungsgraph R 1 Schrauben R 2 Muttern srews R 3 Nieten nuts rivets Wieviele Elemente von den Rohstoffen braucht man für die Endprodukte jeweils? 55 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Matrices in Oeconomics resources linkage graph intermediates R 1 srews R 2 nuts R 3 rivets How many elements of the resources yue need for the each ending produkt? 56 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Matrizen in der Wirtschaft für ein E 1 braucht man 150 Schrauben, 24 Muttern, 14 Nieten für ein E 2 braucht man 42 Schrauben , 6 Muttern, 37 Nieten 57 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Matrices in Oeconomics for one E 1 you need 150 srews, 24 nuts, 14 rivets for one E 2 you need 42 srews, 6 nuts, 37 rivets 58 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Matrizen als Allrounder 1. Sie fassen viele Einzelgleichungen zusammen. 2. Sie beschreiben Gleichungssysteme und helfen beim Lösen. 3. Sie vermitteln Abbildungen. 4. Sie verfolgen Prozesse. 5. Sie strukturieren und beschreiben in vielen mathematischen Gebieten. 59 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Matrices as Allrounder 1. They embrasse many single equations. 2. They describe equation systems and help finding the results. 3. They are a calculation tool for mappings. 4. They decribe and calculate processes. 5. They structure and describe objects in a lot of mathematical subjects. 60 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Gleichungssysteme Matrizen sind „Mädchen für alles“ 61 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Equation Systems Matrices are „utility men“ 62 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Gleichungssysteme Die Matrizen sind ein sehr gutes Werkzeug 63 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Equation Systems Matrices are a very good tool. 64 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

Mit Matrizen beschreibt man ein Stück Welt, um es besser zu verstehen. 65 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus

With Matrices We Describe a Slice of the World for Better Understanding. 66 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http: //www. leuphana. de/matheomnibus