MATRIKS Matriks Definisi Susunan bilangan berbentuk persegi panjang

MATRIKS

Matriks • Definisi: Susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh:

Matriks • Bentuk umum suatu matriks: • Elemen kolom ke-1 = • Elemen baris ke-1 =

Matriks • aij adalah elemen baris ke-i, kolom ke-j • Matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut berordo m n. • Matriks berordo mxn yang banyak baris sama dengan banyaknya kolom disebut matriks persegi. • Contoh: • Elemen 3, -6, -1 disebut elemen-elemen diagonal utama.

Operasi Matriks �Kesamaan Dua Matriks Dua matriks disebut sama jika ordonya sama dan elemen yang seletak sama. �Jumlah Dua Matriks A dan B dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Jumlah dua matriks A dan B ialah matriks C yang ordonya sama dengan ordo matriks A maupun B, sedangkan elemen yang seletak dijumlahkan: Contoh:

Operasi Matriks �Hasil Kali Matriks dengan Skalar Hasil kali matriks A dengan skalar k ialah matriks yang ordonya sama dengan ordo matriks A sedangkan elemennya dikalikan dengan k. �Hasil Kali 2 Matriks Jika A adalah sebuah matriks m r dan B adalah matriks r n maka hasil kali A B adalah matriks mxn yang elemennya ditentukan sbb: elemen di dalam baris ke-i, kolom ke-j dari AB, maka pilihlah baris ke-i dari matriks A dan kolom ke-j dari matriks B, kalikanlah elemen-elemen yang bersangkutan dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil perkalian yang dihasilkan.

Perkalian Matriks • Contoh: 2 3 • 3 4 (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26 2 4

Sifat – Sifat Matriks Misalkan ordo matriks-matriks berikut memenuhi syarat agar operasi-operasi berikut terdefinisi maka berlaku: 1. A+B = B+A (H. Komutatif Penjumlahan) 2. A+(B+C) = (A+B)+C (H. Asosiatif Penjumlahan) 3. k(A+B) = k. A+k. B k skalar 4. (k+l)A = k. A + l. A k dan l skalar 5. (kl)A = k(l. A) k dan l skalar 6. k(AB) = k. A(B) = A(k. B) k skalar 7. A(BC) = (AB)C (H. Asosiatif Perkalian) 8. A(B+C) = AB + AC (H. Distributif) 9. (A+B)C = AC + BC (H. Distributif)

Latihan Soal 1 1. Misalkan A dan B adalah matriks-matriks 4 5 dan misalkan C, D, dan E berturut-turut adalah matriks-matriks: 5 2, 4 2, dan 5 4. Tentukanlah yang mana diantara pernyataan berikut terdefinisi dan berapakah ordo hasilnya. a. BA b. AC + D c. AC + B d. AB+B e. E(A+B) 2. Hitunglah a, b, c dan d jika 3. Ditentukan: dan dengan tidak menghitung hasil keseluruhan, hitunglah:

Latihan Soal 1 dengan tidak menghitung hasil keseluruhan, hitunglah: a. Baris ke-1 dari AB b. Baris ke-3 dari AB c. Kolom ke-2 dari AB d. Kolom ke-1 dari BA e. Baris ke-3 dari A 2 f. Baris ke-2 kolom ke-3 dari B 2 4. Misalkan Q adalah matriks n n yang elemen di dalam baris ke-i, kolom ke-j adalah 1 jika i = j, dan 0 jika i ≠ j. Perlihatkan bahwa a. I = Ia = a untuk setiap matriks A n n. 5. Jika A dan B matriks-matriks persegi yang ordonya sama, apakah (A+B)2=A 2+2 AB+B 2. Mengapa?

Transpose Matriks • Definisi: Jika A suatu matriks persegi didefinisikan Ao = I (matriks Identitas) An =A A … A sebanyak n faktor. • Jika A suatu matriks m n maka transpose matriks A ditulis At atau A’ didefinisikan sebagai matriks nxm dengan kolom ke-i diperoleh dari baris ke-i dalam A, untuk i=1, 2, …, m. • Contoh:

Sifat Transpose Matriks • Berdasarkan pengertian transpose dapat dibuktikan sifat berikut: Jika ordo matriks-matriks berikut memenuhi syarat agar operasinya terdefinisi maka: 1. (At)t = A 2. (A+B)t = At + Bt 3. (k. A)t = k(At) 4. (AB)t = Bt. At Contoh:

Sifat Transpose Matriks Jadi (AB)t = Bt. At

Jenis-Jenis Matriks • Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol. Contoh: • Matriks satuan / Identitas adalah matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, sedangkan elemen lainnya nol. Matriks identitas dinyatakan dengan I. Contoh: • Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya adalah nol, sedangkan elemen diagonal utamanya tidak semua nol. Contoh:

Jenis-Jenis Matriks • Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama nol, sedangkan yang lain tidak semua nol. Contoh: • Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utama nol, sedangkan yang lain tidak semua nol. Contoh: • Matriks simetri adalah matriks persegi yang berlaku A = At. Contoh:

Jenis-Jenis Matriks • Matriks Eselon adalah matriks yang memenuhi sifat-sifat berikut: 1. 2. Jika ada baris nol maka letaknya di bawah. Jika suatu baris tak nol maka elemen tak nol pertama adalah satu. Satu ini disebut satu utama / satu pemuka / leading entry. 3. Satu utama pada baris yang lebih awal terletak pada kolom yang lebih awal pula. Contoh: • Matriks Eselon Tereduksi adalah matriks eselon yang pada setiap kolom yang memuat satu utama maka elemen lainnya nol. Contoh:

Operasi Baris Elementer �Misalkan pada suatu matriks dilakukan operasi-operasi sebagai berikut: 1. Saling menukar dua baris. (misalnya menukar baris ke-i dengan baris ke-j). 2. Mengalikan sutu baris dengan bilangan real tak nol. (Misalnya mengalikan baris ke-i dengan k, k ≠ 0). 3. Menambahkan suatu baris dengan kelipatan baris lain (Misalnya baris ke-i ditambah k kali baris ke-j) Setiap operasi di atas disebut: OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) dan berturut-turut dinyatakan dengan: 1. Rij 2. Ri(k) atau k. Ri 3. Rij(k) atau Ri + k. Rj

Operasi Baris Elemneter Contoh: � Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan satu kali atau beberap kali OBE, maka dikatakan A ekuivalen baris B di tulis A B. � Jika matriks B diperoleh dari matriks A melalui suatu OBE maka dari B dapat diperoleh kembali matriks A melalui OBE sejenis.