MATRIKS MATEMATIKA DASAR 1 http www mercubuana ac

MATRIKS MATEMATIKA DASAR 1 http: //www. mercubuana. ac. id 1

MATRIKS http: //www. mercubuana. ac. id Matriks merupakan suatu array persegi panjang dari bilangan-bilangan : A a 11 a 21 . a 12 a 22 . . a m 1 a m 2 . . . a 1 n . . . a 2 n a mn . . . m = banyaknya baris n = banyaknya kolom 2

Ordo Matriks http: //www. mercubuana. ac. id Ordo Matriks = menyatakan jumlah baris dan kolom matriks, Misal, matriks A ordo (mxn) : A mxn 3

masing-masing m-triple horisontal baris matriks disebut baris- http: //www. mercubuana. ac. id a 11, a 12, . . . , a 13 , a 21, a 22, . . . , a 2 n , . . . , am 1, am 2, . . . , am sedangkan m-triple vertikal disebut kolom-kolom matriks : a 11 a 21 . a m 1 a 12 a 22 . a m 2 a 1 n … a 2 n . a mn Secara sederhana matriks dapat ditulis A = (aij). 4

Matriks yang sejenis dan matriks yang sama : Dua matriks dikatakan sejenis jika kedua matriks mempunyai ordo yang sama. Jika A sejenis dengan B ditulis A B Dua matriks di katakan sama jika kedua matriks mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama (= , untuk setiap I dan j ) Jika A sama dengan B di tulis A = B http: //www. mercubuana. ac. id 5

Contoh : 2 2 3 4 c d 3 4 A B � sejenis A = C � sama http: //www. mercubuana. ac. id 6

OPERASI PADA MATRIKS a). Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Dua buah matirks dapat dijumlahkan atau dapat di kurangkan jika kedua matriks sejenis atau mempunyai ordo yang sama. Jika A=(aij) dan B=(bij) masing-masing berukuran sama maka A+/- B (A ditambah atau dikurangi B) adalah suatu matriks C=(cij) dimana cij=aij+/-bij , untuk setiap i dan j. http: //www. mercubuana. ac. id 7

Contoh: 2 3 0 � 1 1 2 3 4 5 3 4 5 6 6 2 0 3 (� 1) http: //www. mercubuana. ac. id 2 3 0 � 1 2 4 7 5 6

2 A 11 B 2 3 0 4 5 1 C 2 4 � 6 � 1 A dan C tidak dapat dijumlahkan maupun dikurangkan 3 tidak 4 3 karena kedua matriks sejenis. Catatan : AA BB , (mempunyai + � =B A + A � B ) sifat komutatif A + ( B + C) = ( A + B ) + C , mempunyai sifat assosiatif http: //www. mercubuana. ac. id 8

b). Perkalian Matriks Perkalian Skalar Matrik a b Jika A suatu matriks, A , dan k suatu d skalar, maka: c ka kb kx. A , hasilnya merupakan matriks baru yang sejenis dengan matriks A (untuk k 1) http: //www. mercubuana. ac. id 9

Perkalian Dua Matriks Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom pada matriks pertama sama dengan banyaknya baris pada matriks ke dua. Pada perkalian matriks AB, matriks A disebut matrik pertama dan B matriks kedua Catatan : sebelum melakukan perkalian cek dahulu ordo dari masing-masing matriks sesuai dengan persyaratan di atas. http: //www. mercubuana. ac. id 10

Cara mengalikan = Misal matriks A = (ai j ) berukuran (p x q) dan B = (bi j) berukuran (q x r). Maka perkalian AB adalah suatu matriks C = (ci j ) berukuran (p x r), dimana ci j = ai 1 b 1 j + ai 2 b 2 j +…+ aiqbqj. Atau mudahnya “ Depan Atas Belakang Bawah” http: //www. mercubuana. ac. id 11

Contoh: 1 2 A 3 4 5 6 B 7 8 1 C 2 berapa Ax. B, Cx. A, Ax. C http: //www. mercubuana. ac. id Catatan : sebelum melakukan perkalian cek dulu ordo dari masing-masing matriks sesuai dengan persyaratan perkalian. Jawab : Ordo matriks A = (2 x 2), B = (2 x 2), C = (2 x 1) Ax. B= (2 x 2)x(2 x 2) menghasilkan matriks dengan ordo (2 x 2) Harus sama 1 2 5 6 . . a 12. . 19 22 3 4 7 8 . . a 21. . a 22. . 43 50 a 11 = (1 x 5) + (2 x 7) = 19 , caranya : Depan (1) Atas (5) Belakang (2) Bawah (7) a 12 = (1 x 6) + (2 x 8) = 22 , dengan cara yang sama a 21 = (3 x 5) + (4 x 7) = 43 , dengan cara yang sama a 22 = (3 x 6) + (4 x 8) = 50 , caranya : Depan(3) Atas (6) Belakang (4) Bawah (8) 12

Cx. A = (2 x 1)x(2 x 2) = tidak bisa dikalikan http: //www. mercubuana. ac. id Tidak sama sehingga tidak bisa di kalikan Ax. C = (2 x 2)x(2 x 1) = matriks dengan ordo (2 x 1) Sama, sehingga bisa di kalikan Ax. C 1 2 1 5 3 4 112 x 13

Beberapa hukum pada perkalian matrik Jika A, B, C matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat perkalian matriks yang diperlukan, maka : 1. A(B+C) = AB + AC, (B+C)A = BA + BC memenuhi hukum distributif 2. A(BC) = (AB)C, memenuhi hukum assosiatif 3. Perkalian tidak komutatif, AB BA. Tetapi ada beberapa matriks yang berlaku AB = BA 4. Bila AB = 0, dimana 0 adalah matriks nol yaitu matriks yang semua elemennya = 0, kemungkin-kemungkinannya: http: //www. mercubuana. ac. id (i) A = 0 dan B = 0 (ii) A = 0 atau B = 0 (iii)A 0 dan B 0 5. Bila AB = AC belum tentu B = C 14

Contoh: 1. A Maka, 2 1 1 0 , B 1 1 4 6 B C 3 Sedangkan, AB 1 dan 4 3 Sehingga, http: //www. mercubuana. ac. id 2 1 3 2 1 4 0 3 , C 2 1 3 1 2 A ( B C ) 3 2 1 1 0 4 1 x 3 1 3 6 14 4 7 3 19 9 1 4 7 8 2 1 1 7 18 1 1 x 1 3 , AC x 2 1 0 1 3 3 1 0 1 4 16 0 1 3 2 7 8 7 18 14 18 AB AC A( B C ) 3 3 4 16 9 7 15

2 3 4 3 1 0 2. A maka : , 1 4 B 1 , C 23 1 4 3 1 0 10 9 2 3 10 9 29 A( BC ) Ax 3 1 3 3 22 1 1 x 2 3 4 x 3 27 21 2 3 4 3 11 9 1 0 29 27 7 Terlihat A(BC) = (AB)C http: //www. mercubuana. ac. id 16

3. Pada umumnya AB BA. Misal , A http: //www. mercubuana. ac. id 3 1 1 2 0 2 3 , B 1 maka AB terdifinisi dengan ukuran (2 x 2) AB 3 1 1 0 2 6 2 x 3 7 2 1 6 sedang BA juga terdifinisi tetapi AB 1 2 3 1 3 5 BA 5 3 1 x 0 2 9 17

1 4. A � 3 � 2 1 � 1 AB � 3 2 � 2 1 � 1 2 1 1 1 � 1 , B 2 1 0 3 2 6 4 2 3 1 1 3 2 0 0 0 � 1 x 2 6 4 0 0 0 0 2 http: //www. mercubuana. ac. id 18

5. 2 1 1 1 0 1 A ternyata: , , 4 2 B 1 0 C 3 0 2 1 1 1 3 2 1 1 0 1 3 2 BC 4 1 0 x 30 6 ternyata meskipun B C tetapi AB = AC http: //www. mercubuana. ac. id 19

TRANSPOSE DARI SUATU MATRIKS Misal matriks A=(ai j ) berukuran ( m x n ) maka transpose dari A adalah matriks AT berukuran ( n x m ) yang di dapatkan dari A dengan menuliskan baris ke-I dari A, i=1, 2, 3…, m, sebagai kolom ke-I dari AT. dengan perkataan lain AT = (aj i). 1 2 0 1 3 1 Contoh : A 2 4 5 0 7 6 maka AT 3 4 7 1 5 6 http: //www. mercubuana. ac. id/#-1, 5 20

Beberapa sifat Matriks Transpose : 1. (A+B)T = AT + BT 2. (AT)T = A 3. (AT) = ( A)T, Bila suatu skalar 4. (AB)T = BT AT http: //www. mercubuana. ac. id 21

BEBERAPA JENIS MATRIKS KHUSUS 1. Matriks bujur sangkar Matriks dengan banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Barisan elemen a 11, a 22, a 33, …ann disebut diagonal utama dari matriks bujur sangkar A tersebut. 2. Matriks Nol Yaitu matriks di mana semua elemennya nol (0) 3. Matriks Diagonal Ialah Matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar diagonal utama adalah nol. Atau dengan kata lain ( ij) adalah matriks diagonal bila ij =0 untuk i j. http: //www. mercubuana. ac. id 22

4. Matriks identitas (satuan) Ialah matriks diagonal yang elemen-elemen diagonalnya adalah =1, dengan perkataan lain (uij) adalah matriks identitas bila uij=1, bila I=j, dan =0 bila i j. Matriks identitas biasa ditulis I atau In dimana n menunjukkan ukuran matriks bujur sangkar tersebut. Sifat matriks identitas adalah seperti bilangan 1 (satu) dalam operasi-operasi dengan bilangan biasa, yaitu: AI = A IA = A 5. Matriks Skalar Ialah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utama = k. Matriks I adalah bentuk khusus dari , atriks skalar dimana k=1. http: //www. mercubuana. ac. id 23

6. Matriks Segitiga Bawah (lower trianguler) Yakni matriks bujur sangkar yang semua elemennya di baeah diagonal utamanya =0. dengan perkataan lain (aij) adalah matriks segitiga bawah bila aij=0, untuk i<j. 7. Matriks Segitiga Atas (upper trianguler) Yaitu matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal utama = 0. dengan perkataan lain (aij) adalah matriks segitiga atas bila aij = 0, untuk i<j. http: //www. mercubuana. ac. id 24

8. Matriks Simetris Matriks yang trasnpose-nya sama dengan sendiri, denganperkataan lain bila A = AT atau aij = aji untuksemua i dan j. dirinya 1 2 0 http: //www. mercubuana. ac. id/#-1, 5, myslide 5 Contoh : A 2 3 1 dan AT 2 3 1 simetris. 0 1 1 0 1 1 maka A adalah 25

9. Matriks Antisimetris http: //www. mercubuana. ac. id Ialah matriks yang transposenya adalah negatifnya, dengan perkataan lain bila AT = -A atau aji =-aji untuk semua i dan j sehingga mudah di pahami bahwa semua elemen diagonalnya adalah = 0 0 1 2 1 0 � 3 4 � 1 � 2 3 0 1 0 0 � 1 AT � 1 3 1 � 3 0 1 2 4 � 1 0

26 Contoh : A � 1 � 4 � 1 1 0 � 2 � 4 http: //www. mercubuana. ac. id/#-1, 5, myslide 5 ac. id

10. Matriks Hermitian http: //www. mercubuana. ac. id Matriks A disebut matriks Hermitian bila transpose hermitiannya = dirinya sendiri, dengan perkataan lain bila AH = A. Mudah dimengerti bahwa matriks yang simetris adalah matriks hermitian. Disebut antihermitian bila AH = -A 3 2 � i Contoh: A 2 i 4 2 � i 3 A 4 2 i H dan jadi A hermitian 27

11. Matriks Invers (Kebalikan) http: //www. mercubuana. ac. id Kalau A dan B matriks-matriks bujur sangkar berordo n dan berlaku AB = BA = I maka dikatakan B invers dari A dan ditulis B = A-1, sebaliknya A adalah invers dari B, dan ditulis B-1. Sebuah matriks yang inversnya adalah dirinya sendiri, dengan perkataan lain AA=I, disebut matriks yang Involutory. Contoh: Karena A 1 3 3 1 2 4 AA � 1 � 2 � 3 0 A� 1 1 � 1 0 1 6 1 2 3 Matriks mempunyai invers 1 0 0 A � 1 A 0 1 0 0 0 1 28

12. Matriks Komutatif http: //www. mercubuana. ac. id Kalau A dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku AB= BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain. Jelas bahwa setiap matriks bujur sangkar berkomutatif dengan I (yang ukurannya sama) dan dengan inversnya (bila ada) Kalau AB =-BA, dikatakan antikomutatif. Contoh: 2 1 A 1 2 dan berkomutatif karena 3 1 B 1 3 2 1 3 1 7 5 AB 3 1 2 1 7 5 sedangkan : BA x 1 3 1 2 5 7 29

13. Matriks Idempoten, Periodik, Nilpotent Bila berlaku AA=A 2=A, dikatakan matriks bujur sangkar A adalah matriks yang idempotent Secara umum bila p bilangan asli (bulat positif) terkecil sehingga berlaku AAA…A= AP=A. maka dikatakan A matriks periodik dengan periode p-1. Kalau Ar = 0 dikatakan A nilpoten dengan indeks r (di mana r adalah bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi hubungan di atas) http: //www. mercubuana. ac. id 30

Contoh: 1 1 3 2 6 adalah nilpoten dengan indeks r = 3 A 5 � 2 � 1 � 3 1 1 3 karena 2 A 3 5 6 2 x 5 6 2 http: //www. mercubuana. ac. id � 2 � 1 � 3 0 = = 0 0 1 1 3 3 3 9 x 5 6 2 � 1 � 3 � 2 � 1 � 3 0 0 0 0 0 0 0 31