Matrici Definizioni Rettangolari Quadrate Identica Nulla Dello stesso

Matrici Definizioni Rettangolari Quadrate • Identica • Nulla • Dello stesso tipo • Uguali • Riga/colonna • trasposta 24/05/2021 • Diagonali secondaria principale e • Diagonale • Scalare • triangolare 1

24/05/2021 § Introduzione Matrici-definizione e terminologia § Rettangolari § Quadrate § Operazioni con le matrici § Principali proprietà delle operazioni tra matrici § Definizione di inversa di una matrice quadrata 2

Definizione e terminologia Si chiama matrice a m righe ed n colonne o anche matrice di tipo (m, n) un insieme formato da mxn numeri, reali o complessi, disposti in una tabella su m linee orizzontali dette righe e su n linee verticali dette colonne. Questi numeri (elementi di una matrice) sono rappresentati tutti da una stessa lettera minuscola munita di due indici, il primo dei quali indica la riga, i , mentre il secondo indica la colonna, j , a cui l’elemento appartiene. Una matrice viene indicata con una lettera maiuscola ed è rappresentata con il simbolo a 11 a 12 …. a 1 n a 21 a 22 …. a 2 n A= [ a ij ] = …. …. … am 1 am 2 …. amn 24/05/2021 3

Matrici Rettangolari Definizione Una matrice si dice rettangolare se il numero delle righe è diverso dal numero delle colonne. Se diciamo m le righe ed n le colonne, per una matrice rettangolare si avrà che m è diverso da n. Facciamo un esempio concreto di matrice rettangolare 4 3 5 A = 1 9 2 24/05/2021 4

DEFINIZIONI una matrice si dice nulla se ha nulli tutti i suoi elementi, e si scrive: A = 0. Due matrici si dicono dello stesso tipo quando hanno lo stesso numero di righe e di colonne. In due matrici dello stesso tipo, gli elementi di ugual posto si dicono corrispondenti. Due matrici dello stesso tipo, A e B, si dicono uguali quando tutti gli elementi corrispondenti sono uguali, e si scrive: A=B Si chiama matrice (o vettore) riga una matrice con un’unica riga, cioè una matrice di tipo (1, n). Si chiama matrice (o vettore) colonna una matrice con un’unica colonna, cioè una matrice di tipo (m, 1). 24/05/2021 5

Trasposta di una matrice Definizione Si chiama trasposta della matrice A, la matrice At: a 11 a 12. . a 1 n A = a 21 a 22. . a 2 n. . . . am 1 am 2. . . amn At = a 11 a 12 …. a 1 n a 21 a 22 …. a 2 n …. am 1 …. am 2 …. …. …. amn Che si ottiene dalla A scambiando, ordinatamente, le 24/05/2021 righe con le colonne. 6

Matrici quadrate q Una matrice si dice quadrata se il numero delle righe è uguale al numero delle colonne q In una matrice quadrata: A = a 11 a 21 …. an 1 a 12 a 22 …. an 2 …. …. … …. a 1 n a 2 n …. ann gli elementi a 11, a 22, …. . , ann costituiscono la diagonale principale, mentre gli elementi a 1 n, …. , an 1 costituiscono la diagonale secondaria. In una matrice quadrata, due elementi aik e aki, che hanno gli stessi indici in ordine inverso, si dicono coniugati: i loro posti sono dunque 7 24/05/2021 simmetrici rispetto alla diagonale principale. q

Matrici Quadrate Definizione La matrice quadrata che ha uguali ad 1 tutti gli elementi delle diagonale principale mentre i rimanenti elementi sono nulli, si chiama matrice identica (o matrice unità) e si indica con I. Essa assume questa forma: 1 0 0 … 0 I= 0 1 0 … 0 0 0 1 … 0 … …… 0 0 0 … 1 24/05/2021 8

Matrici Quadrate Definizione Una matrice quadrata: a 11 0 0 … 0 0 a 22 0 … 0 0 0 a 33 … 0 … … … 0 0 0 … ann 24/05/2021 9

Che ha uguali a 0 tutti gli elementi che non si trovano sulla diagonale principale, si chiama matrice diagonale. Si osservi che la matrice identica è una particolare matrice diagonale, in cui è: a 11 = a 22 = … = ann = 1. Se poi risulta a 11 = a 22 = … = ann = a ± 0, la matrice diagonale si dice matrice scalare. Una matrice quadrata si dice triangolare se ha nulli tutti gli elementi al di sopra o al di sotto della diagonale 24/05/2021 10 principale.

OPERAZIONI CON LE MATRICI SOMMA TRA MATRICI DEFINIZIONE Si chiama somma di due matrici dello stesso tipo A= [aik] e B = [bik] la matrice dello stesso tipo: A+B = [aik + bik], Ottenuta sommando gli elementi corrispondenti nelle due matrici date. ESEMPIO 1 4 0 5 8 3 + 24/05/2021 0 8 -5 6 12 3 = 2 1 -6 2 9 -11 11

Matrice opposta di una data Definizione Si chiama matrice opposta di una matrice A = [aik] la matrice dello stesso tipo: -A = [-aik], che ha come elementi, rispettivamente, gli opposti di quelli di A Dalla definizione data, risulta che: A + ( - A ) = [aik] + [-aik] = [0 ik]. Una volta definita la matrice opposta, è possibile definire anche la differenza tra matrici: - 24/05/2021 12

Differenza tra matrici Definizione Si chiama differenza tra due matrici dello stesso tipo A e B la somma della matrice A con l’opposta della matrice B, cioè: A – B = A + ( - B ). Facciamo un esempio: 2 3 4 5 7 1 4 3 1 24/05/2021 _ 6 7 8 1 1 4 4 0 0 = -4 -4 0 -3 6 1 3 -1 1 13

Prodotto di una matrice per un numero Definizione Data una matrice A = [ aik ] e un numero reale r, si chiama prodotto della matrice A per il numero r (o del numero r per la matrice A) la matrice: Ar = r. A = [ raik ] I cui elementi si ottengono moltiplicando per r <<tutti>> gli elementi di A. 24/05/2021 14

Facciamo un esempio Data la matrice 2 3 1 6 9 3 A = 1 0 2 , 3 A = 3 0 6 0 3 5 0 9 15 24/05/2021 15

Prodotto tra matrici Definiamo ora un’altra operazione tra matrici che interviene in molte applicazioni ( nell’ambito della geometria, della fisica, dell’economia, …). A tale scopo, prendiamo in esame inizialmente un caso particolare. Sia A una matrice riga e B una matrice colonna. Se A e B hanno lo stesso numero di elementi, si dà la seguente: 24/05/2021 16

Definizione Si chiama prodotto della matrice riga A, di tipo (1, p), per la matrice colonna B, di tipo ( p, 1 ), la matrice C, di tipo ( 1, 1 ) , costituita dal numero che si ottiene moltiplicando ogni elemento di A per l’elemento che in B gli corrisponde in sequenza, e poi sommando i prodotti ottenuti. Se dunque è A = [ a 11 a 12 a 13. . . a 1 p ] , 24/05/2021 b 11 B = b 21 b 31 …. b p 1 17

Risulta, per definizione: A*B = [a 11 b 11+a 12 b 21+a 13 b 31+…+a 1 pbp 1] Facciamo un esempio: -4 A=[1 5 2] , B = 3 7 A * B = [ 1* (-4)+5*3+2*7 ] = [ 25 ] 24/05/2021 18

Consideriamo ora la matrice A, di tipo ( m, p), e la matrice B, di tipo ( p, n ). In questo caso le colonne di A sono uguali al numero delle righe di B, e quindi si possono moltiplicare le matrici riga di A con le matrici colonna di B. Definizione Si chiama prodotto della matrice A, di tipo ( m, p ), per la matrice B, di tipo (p, n), la matrice C, di tipo (m, n), i cui elementi si ottengono nel modo seguente: L’elemento che in C occupa la iesima riga e la kesima colonna è il prodotto della iesima riga di A per la kesima colonna di B. 24/05/2021 19

Pertanto diciamo che se è: A = [ aik ] , ( con i = 1, 2, 3, … , m; k = 1, 2, 3, … , p ), B = [ bik ], ( con i = 1, 2, 3, …, p; k = 1, 2, 3, …, n ), Allora, per definizione, è: A * B = C = [ cik ], dove: cik = ai 1 b 1 k+ai 2 b 2 k+…+aipbpk 24/05/2021 20

Esempio Facciamo ora un esempio di prodotto di due matrici: A= 2 1 3 5 7 -1 1 -2 e B = 6 3 Poiché la matrice A è di tipo ( 3, 2 ) e la matrice B è di tipo ( 2, 2) , esse sono conformabili per il prodotto, ossia per esse si può eseguire il prodotto in quanto il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice. Pertanto sarà: c 11 c 12 C= 24/05/2021 c 22 c 31 c 32 21

Dove: c 11=2*1 + 1*6=8 c 22=3*(-2) + 5*3=9 c 12=2*(-2) + 1*3= -1 c 21= 3*1 + 5*6 = 33 c 31=7*1+(-1)*6=1 c 32=7*(-2)+(-1)*3 = -17 E quindi: 8 A * B = 33 1 -1 9 -17 Bisogna ricordare che, in generale, il prodotto tra matrici non è commutativo. 24/05/2021 22

Definizione di inversa di una matrice quadrata Si chiama matrice inversa di una matrice quadrata A una matrice B ( se esiste ) che, moltiplicata a destra e a sinistra per A, dia come prodotto la matrice identica I. In altre parole: se la matrice B è inversa della A, per definizione, deve essere: A*B = B*A = I, E pertanto, la matrice B, se esiste, deve essere necessariamente quadrata e dello stesso ordine di A. Ogni matrice che ammetta un’inversa si dice invertibile, o non singolare, in caso contrario si dice singolare. 24/05/2021 23

Fine presentazione Docente : Raffaela Scognamiglio 24/05/2021 24