MATRICES U D 2 2 BCS Angel Prieto

MATRICES U. D. 2 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 1

PRODUCTO DE MATRICES U. D. 2. 3 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 2

PRODUCTO DE MATRICES • Para multiplicar una matriz fila de tamaño 1 xn por una matriz columna de tamaño nx 1, se van multiplicando elemento a elemento y sumando los resultados parciales, de modo que el resultado final es un número real. • Ejemplo_1 • • (a b c) • d e f = a. d + b. e + c. f • Ejemplo_2 • 4 • -3 • 1 (2 5 @ Angel Prieto Benito 4. 2 -7 ) = -3. 2 1. 2 4. 5 -3. 5 1. 5 4. (-7) 8 -3. (-7) = -6 1. (-7) 2 Apuntes 2º Bachillerato C. S. 20 -28 -15 21 5 -7 3

Producto: DEFINICIÓN • Dadas dos matrices A y B de tamaño mxn y nxp respectivamente, dos matrices en que el nº de columnas de la 1ª coincide con el nº de filas de la 2ª, se llama matriz producto A. B a una nueva matriz en la que el elemento de lugar (i, j) se obtiene multiplicando la matriz fila i de A por la matriz columna j de B. • El resultado es una matriz de tamaño mxp. 2 3 4 5 6 7 a d . b e c f 2 a+3 b+4 c 2 d+3 e+4 f 5 a+6 b+7 c 5 d+6 e+7 f = Una matriz [2 x 3] multiplicada por otra [3 x 2] da por resultado una [2 x 2] @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 4

Ejemplo 2 -3 4 -5 6 -1 -2 -12 -8 -1. 4 -2 2 3 2(-1)-3. 4+4(-2) 2. 2 -3. 3+4(-5) = -5 -5(-1)+6. 4 -1(-2) -5. 2+6. 3 -1(-5) 4 -9 -20 = -22 -25 31 13 = 5+24+2 -10+18+5 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 5

Propiedades del PRODUCTO • Asociativa: A. (B. C) = (A. B). C • No es conmutativa: A. B <> B. A • Tiene elemento neutro (La matriz unidad, I). • Distributiva respecto a la suma: • A. (B+C) = A. B+A. C • Elemento inverso: Sólo las cuadradas pueden tenerlo, y no siempre. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 6

Ejemplo de propiedad anticommutativa del producto 1 2 4 7 4 5 2 5 @ Angel Prieto Benito 8 17 26 53 = 4 7 1 2 2 5 4 5 Apuntes 2º Bachillerato C. S. 32 43 22 29 = 7

POTENCIA DE UNA MATRIZ • • A 2 = A. A • • A 3 = A 2. A • A 4 = A 3. A • An = A n – 1. A • • Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz • @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 1 0 1 1 A = 8

Ejemplo de potencias de matrices • 2 1 • A = • 1 • 3 • A = • 1 0 0 1 0 2 1 = 1 1 0 3 1 1 1 = 2 1 1 1 • 4 n • ¿Qué valdrá A ? ¿ Y A ? @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 9