MATRICES U D 2 2 BCS Angel Prieto

MATRICES U. D. 2 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 1

SUMA DE MATRICES U. D. 2. 1 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 2

SUMA DE MATRICES • Dadas dos matrices A=(aij) y B=(bij), ambas de dimensiones mxn, se define la suma A+B=(aij+bij) como la matriz obtenida sumando los elementos de A y B que ocupan la misma posición. • PROPIEDADES • • Es asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C. Es conmutativa: A+B = B+A Tiene elemento neutro (La matriz nula). Toda matriz tiene su matriz opuesta. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 3

SUMA DE MATRICES OBSERVAR: Una matriz + su transpuesta = Matriz simétrica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 @ Angel Prieto Benito + + 1 4 7 2 5 8 3 6 9 Apuntes 2º Bachillerato C. S. 1+1 2+4 3+7 = 4+2 5+5 6+8 7+3 8+6 9+9 2 = 6 10 10 14 18 6 4

PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ • Dada la matriz A=(aij) y el número real k llamado escala, se llama matriz producto k. A a la que resulta de multiplicar cada elemento de A por dicho número. • PROPIEDADES • • • Es distributiva respecto a la suma de matrices: k. (A+B)=k. A+k. B Es distributiva respecto a la suma de escalas: (k 1+k 2). A=k 1. A+k 2. A Es asociativa: k 1. (k 2. A) = (k 1. k 2). A Tiene elemento unidad: 1. A = A @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 5

PRODUCTO DE k. A= k. (-2). A = (-2). @ Angel Prieto Benito 1 4 7 2 5 8 3 6 9 1/2 -1 -1/6 2 k = 3 -5 4 k 7 k 2 k 5 k 8 k 3 k 6 k 9 k -1 2 = Apuntes 2º Bachillerato C. S. -6 1/3 - 4 10 6

PROPIEDADES MATRIZ TRANSPUESTA • • ORDEN DE UNA MATRIZ CUADRADA Una matriz cuadrada es de orden 2, 3, 4, etc si presenta 2, 3, 4, etc filas o columnas. • • IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices A=(aij) y B=(bij), de dimensiones mxn y pxq son iguales si, en primer lugar: m=p , n =q ; y en segundo lugar aij=bij para cualquier par i, j • • • PROPIEDADES DE LA M. TRASPUESTA La traspuesta de la traspuesta es la matriz dada. • • • t t t (A. B)=B. A t t t (A+B) =A + B t t (k. A) =k. A @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 7

Ejemplos • (At)t = A • Sea • A = 2 -1 3 -1 2 4 • At = 2 -1 • -1 2 • 3 4 • (At)t = 2 -1 3 • -1 2 4 • Vemos que se cumple dicha propiedad. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 8

Ejemplos • (A. B) t = B t. A t • • • -3 Sea A = 2 -1 3 y B = 5 2 A. B = 2. (-3)+ (-1). 5+3. 2 = - 5 (A. B) t = - 5 B t. A t = -3 5 2 2. - 1 = -3. 2 + 5. (-1)+2. 3 = -5 3 Vemos que se cumple la propiedad. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 9

Ejemplos • (A+B) t = A t + B t • • Sea • • • A+B = 2+5 3+1 -1 -3 4+6 At = 2 3 -1 4 y • • At + Bt = 2+5 -1 -3 • • Vemos que se cumple la propiedad. A = 2 -1 3 4 @ Angel Prieto Benito y B = 5 -3 1 6 = 7 4 -4 10 (A+B) t = 7 4 - 4 10 Bt = 5 1 -3 6 3+1 4+6 = 7 4 -4 10 Apuntes 2º Bachillerato C. S. 10

Ejemplos • (k. A)t =k. At • Sea A = 2 -5 7 y k=3 • -1 6 4 • 6 -3 • k. A = 3. A = 6 -15 21 (3. A)t = -15 18 • -3 18 12 21 12 • 2 -1 • k. At = 3. -5 6 = • 7 4 6 -3 -15 18 21 12 • Vemos que se cumple dicha propiedad. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 11